2023年湖南省邵阳市中考数学试卷（含解析）

2023年湖南省邵阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列四个图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  党的二十大报告提出，要坚持以文塑旅、以旅彰文，推进文化和旅游深度融合发展湖南是文化旅游资源大省，深挖红色文化、非遗文化和乡村文化，推进文旅产业赋能乡村振兴湖南红色旅游区点年接待游客约人次，则用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，直线，被直线所截，已知，，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  不等式组的解集在数轴上可表示为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  有数字，，的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是的倍数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知是抛物线是常数，上的点，现有以下四个结论：该抛物线的对称轴是直线；点在抛物线上；若，则；若，则，其中，正确结论的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  的立方根是______ ．

12.  因式分解： ______ ．

13.  分式方程的解是______ ．

14.  下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：

评总分时，按跑步占，花样跳绳占，跳绳占考评，则小红的最终得分为______ ．

15.  如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为______ ．

16.  如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子接缝忽略不计，如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为______ 结果保留

17.  某校截止到年底，校园绿化面积为平方米为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为______ ．

18.  如图，在矩形中，，，动点在矩形的边上沿运动当点不与点、重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

21.  本小题分
如图，，，点是线段上的一点，且已知，，．
证明：∽．
求线段的长．

22.  本小题分
低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台元，乙型自行车进货价格为每台元该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元．
该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共台，且资金不超过元，最少需要购买甲型自行车多少台？

23.  本小题分
某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为优、良好、合格、不合格四个等级现从中随机抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出了如下频数分布图和如图所示的条形统计图不完整请根据图表中的信息回答下列问题．

求频数分布表中，的值．
补全条形统计图．
该市九年级学生约人，试估计该市有多少名九年级学生可以评为“”级．

24.  本小题分
我国航天事业捷报频传，年月日，被誉为“神箭”的长征二号运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功如图，有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为，后，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为，求火箭从到处的平均速度结果精确到．
参考数据：，，

25.  本小题分
如图，在等边三角形中，为上的一点，过点作的平形线交于点，点是线段上的动点点不与、重合将绕点逆时针方向旋转，得到，连接、，交于．
证明：在点的运动过程中，总有．
当为何值时，是直角三角形？

 

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线：交于、两点点在点的右侧，点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
求抛物线的解析式．
过点作轴的垂线，与抛物线交于点若，求面积的最大值．
抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由倒数的定义可知：的倒数是，
故选：．
由倒数的意义可得出结论．
本题考查了倒数的定义及应用，明确倒数的概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由中心对称图形可知：、该图形旋转可与原图形重合，故本选项正确；
B、、中图形旋转均未与原图形重合；
故选：．
由中心对称图形的定义可得出结论．
本题考查了旋转的知识，掌握中心对称图形的概念是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
由科学记数法可得出结论．
本题考查了用科学记数法表示较大的数，注意数的取值范围是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：．
分别根据分式的加减法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则对各选项进行逐一计算即可．
本题考查的是分式的加减法，涉及到幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：

，
，
，，
．
故选：．
根据对顶角相等，可得，又由平行线的性质，求得的度数．
此题考查了平行线的性质与对顶角的性质，注意掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
由得，，
由得，，
在数轴上表示为：
．
故选：．
分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：
，
三位数有个，是的倍数的三位数是：，；
三位数是的倍数的概率为：；
故选：．
根据题意，画出图形即可，再根据数据进行分析．
本题主要考查了概率的相关知识，难度不大，认真分析即可．
 

8.【答案】 

【解析】解：点的坐标为在反比例函数上，
．
．
反比例函数的解析式为．
点在反比例函数上，
可设
．
，．
，
．
．
故选：．
由题意，首先根据的坐标求出，然后可设，再由正方形，建立关于的方程，进而得解．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要理解并能灵活运用．
 

9.【答案】 

【解析】解：、由，，不能判定四边形为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、，
，
不能判定四边形为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由，，不能判定四边形为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
正确；
当时，，则点点在抛物线上，
正确；
当时，，则；
当时，，则；
错误；
当，则，
错误；
故正确的有个，
故选：．
根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
先求出的值，再根据立方根的定义解答即可．
本题考查的是立方根及算术平方根，熟知如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．
 

13.【答案】 

【解析】解：
分式两边同乘以得：，
去括号得：，
合并化系数为得：．
检验：当时，，
原分式方程的解为：．
故答案为：．
确定最简公分母去分母将分式方程化为一元一次方程即可得出结论．
本题考查了解分式方程，能正确找到最简公分母是解题的关键．
 

14.【答案】分 

【解析】解：小红的最终得分为：分．
故答案为：分．
根据加权平均数的计算公式进行计算即可．
本题考查的是加权平均数，熟记加权平均数的计算公式是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：与相切于点，
，
．
，
．
，
，
．
故答案为：．
利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：这张扇形纸板的面积
故答案为：．
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

17.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故答案为：．
根据年底绿化面积年平均增长率年底绿化面积，列出一元二次方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
，，
如图所示，当点在上时，

，
在为圆心，为半径的弧上运动，
当，，三点共线时，最短，
此时，
当点在上时，如图所示，

此时，
当在上时，如图所示，此时，

综上所述，的最小值为，
故答案为：．
根据折叠的性质得出在为圆心，为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解．
本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】分别根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，涉及到特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质，熟知以上知识是解题的关键．
 

20.【答案】解：


，
当，时，原式． 

【解析】利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将，的值代入计算即可求解．
本题主要考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：完全平方公式：．
 

21.【答案】证明：，，，
，
，，
，
∽；
解：∽，
，
，
． 

【解析】利用同角的余角相等得，可证明结论；
根据相似三角形的性质即可求出答案．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，利用同角的余角相等得是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：设该公司销售一台甲型自行车的利润是元，一台乙型自行车的利润是元，
由题意得：，
解得：，
答：该公司销售一台甲型自行车的利润是元，一台乙型自行车的利润是元；
需要购买甲型自行车台，则需要购买乙型自行车台，
由题意得：，
解得：，
答：最少需要购买甲型自行车台． 

【解析】设该公司销售一台甲型自行车的利润是元，一台乙型自行车的利润是元，根据该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
需要购买甲型自行车台，则需要购买乙型自行车台，根据资金不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：被调查的人数为人，
，；
如图：
；
名，
答：估计该市有名九年级学生可以评为“”级． 

【解析】先根据等级人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再分别由、等级频率和频数即可求出和的值；
根据的值即可补全条形统计图；
用总人数乘以样本中等级所占比例即可．
本题考查的是频数率分布表，条形统计图和用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

24.【答案】解：由题意可得：，，，
则，
，
，
，
则火箭从处到处的平均速度为：，
答：火箭从处到处的平均速度． 

【解析】利用已知结合锐角三角函数关系得出以及的长，再求出的长，即可得出平均速度．
此题主要考查了解直角三角形的应用，得出的长是解题关键．
 

25.【答案】证明：将绕点逆时针方向旋转，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
；
解：如图，

根据题意：只有当时，成立，
绕点逆时针方向旋转，得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
． 

【解析】由旋转的性质可得，，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，即可得结论；
由旋转的性质可得，，由角的数量关系可求，，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

26.【答案】解：把，代入得：
，
解得：，
抛物线解析式为；
联立，
解得或，
，，
点为直线上的一动点，横坐标为，
，
，
，
，
，，
当时，取最大值，
面积的最大值是；
在中，令得，
，
设，，
又，
当，为对角线时，，的中点重合，且，
，
解得，
；
当，为对角线时，，的中点重合，且，
，
解得或，
或；
当，为对角线时，，的中点重合，且，

解得或，
或；
综上所述，的坐标为或或或或 

【解析】待定系数法求解析式即可；
根据题意，联立抛物线与直线解析式，求得点，的横坐标，表示出的长，可得，再根据二次函数性质可得答案；
求出，设，，分三种情况：当，为对角线时，，的中点重合，且，当，为对角线时，，的中点重合，且，当，为对角线时，，的中点重合，且，分别列方程组可解得答案．
本题考查了二次函数的综合应用，涉及三角形面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，准确的计算是解题的关键．