2020-2021学年江苏省无锡一中高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省无锡一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合，，，4，，，则　　

A．，4，5， B． C．， D．，4，

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

3．（5分）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）已知幂函数的图象经过点，，则　　

A．1 B．2 C．4 D．8

5．（5分）如果集合中只有一个元素，则的值是　　

A．0 B．4 C．0或4 D．不能确定

6．（5分）已知，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知，，设，则函数大致图象是　　

A． B． 

C． D．

8．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，且，则 D．若，则

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．（5分）已知关于的不等式的解集为，，，则　　

A． 

B．不等式的解集为 

C． 

D．不等式的解集为或

10．（5分）下列函数中是偶函数的有　　

A． B． C． D．

11．（5分）如图，某河塘浮萍面积与时间（月的关系式为，则下列说法正确的是　　

A．浮萍每月增加的面积都相等 

B．第4个月时，浮萍面积会超过 

C．浮萍面积蔓延到只需6个月 

D．若浮萍面积蔓延到，，所需时间分别为，，，则

12．（5分）对于给定数集，若对于任意，，有，，则称集合为集合，则下列说法中正确的有　　

A．集合，0，为集合 

B．有理数集为集合 

C．集合，为集合 

D．若集合，为集合，则为集合

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）函数的定义域为　　．

14．（5分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量　　．

15．（5分）已知函数是上的减函数，则的取值范围为　　．

16．（5分）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程在，上有解，则的最大值为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）求值：

（1）；

（2）．

18．（12分）已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，设命题，命题．已知命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．（12分）已知，，且．

（1）求的最小值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

20．（12分）某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产台需另投入成本元，且．若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．

（1）求制造商所获月利润（元关于月产量（台的函数关系式；

（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．

21．（12分）设，函数为常数，．

（1）若，求证：函数为奇函数；

（2）若．

①判断并证明函数的单调性；

②若存在，，使得成立，求实数的取值范围．

22．（12分）关于函数对称性的问题，有如下事实：

①证明函数图象的对称性就是证明图象上点的对称性．例如，证明函数图象关于轴对称，就是证明图象上的任一点关于轴的对称点也在图象上．

②点的坐标能满足函数关系式就说明点在函数图象上．

③偶函数图象关于轴对称这个结论可以推广．例如，函数图象关于直线对称的充要条件是函数是偶函数．

请根据上述信息完成以下问题：

（1）从偶函数定义出发，证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于轴对称；

（2）求函数的对称轴；

（3）已知函数为偶函数，且在上单调递减，若函数图象上两点，满足，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省无锡一中高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合，，，4，，，则　　

A．，4，5， B． C．， D．，4，

【分析】由，得到，从而，，由此能求出．

【解答】解：集合，，，4，，，

，，，

，4，5，．

故选：．

【点评】本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】因为命题“，”为全称命题，其否定为特称命题，将“”改为“”，“ “改为“”即可．

【解答】解：命题“，”为全称命题，

命题的否定为：，，

故选：．

【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题，注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．

3．（5分）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：由“”能推出“”，是充分条件，

由“”推不出“”，不是必要条件，

故选：．

【点评】本题考查了充分必要条件，考察不等式的性质，是一道基础题．

4．（5分）已知幂函数的图象经过点，，则　　

A．1 B．2 C．4 D．8

【分析】由题意可得，解得，再求解即可求得结果．

【解答】解：由已知幂函数的图象经过点，

则有，解得，

则，

故，

即，

故选：．

【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．

5．（5分）如果集合中只有一个元素，则的值是　　

A．0 B．4 C．0或4 D．不能确定

【分析】利用与，结合集合元素个数，求解即可．

【解答】解：当时，集合，只有一个元素，满足题意；

当时，集合中只有一个元素，可得△，解得．

则的值是0或4．

故选：．

【点评】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题．

6．（5分）已知，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

【解答】解：，，

故．

故选：．

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．

7．（5分）已知，，设，则函数大致图象是　　

A． B． 

C． D．

【分析】先求出函数的解析式，再根据，即可得到函数的图象．

【解答】解：当时，即时，解得或或，

，

故图象为，

故选：．

【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．

8．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，且，则 D．若，则

【分析】由不等式的基本性质及作差法逐一判断即可．

【解答】解：对于，，

当时，，即，

当时，，即，

当时，，即，故错误；

对于，若，则，故错误；

对于，若，则，，则，所以，故正确；

对于，取，，满足，此时，，，即，故错误．

故选：．

【点评】本题主要考查不等式的基本性质，作差法和取特殊值法是解本类题型的常用方法，属于基础题．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．（5分）已知关于的不等式的解集为，，，则　　

A． 

B．不等式的解集为 

C． 

D．不等式的解集为或

【分析】由题意利用二次函数的性质，求得关于的不等式的解集．

【解答】解：关于的不等式的解集为，，，

故，且和4是方程的两个实数根，，，

，，．

不等式，即，它的解集为．

不等式，即，即，它的解集为或，

故选：．

【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，属于中档题．

10．（5分）下列函数中是偶函数的有　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，为二次函数，其对称轴为轴，是偶函数，

对于，，其定义域为，有，是偶函数，

对于，，有，则有，即函数的定义域为，不关于原点对称，不是偶函数，

对于，，其定义域为，有，则为偶函数，

故选：．

【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．

11．（5分）如图，某河塘浮萍面积与时间（月的关系式为，则下列说法正确的是　　

A．浮萍每月增加的面积都相等 

B．第4个月时，浮萍面积会超过 

C．浮萍面积蔓延到只需6个月 

D．若浮萍面积蔓延到，，所需时间分别为，，，则

【分析】先求出函数的解析式，再分别代值计算即可判断．

【解答】解：由题意可知，函数过点和点，代入函数关系式：，且；，且，得，

解得，

函数关系式：，

函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项错误；

当时，，浮萍的面积超过了，故选项正确；

当时，，故选项正确；

令得：；令得：；令得：，

，故选项正确；

故选：．

【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．

12．（5分）对于给定数集，若对于任意，，有，，则称集合为集合，则下列说法中正确的有　　

A．集合，0，为集合 

B．有理数集为集合 

C．集合，为集合 

D．若集合，为集合，则为集合

【分析】集合的定义是，集合中的任意两个元素的加法、减法运算后得到的数任然是该集合的元素．

【解答】解：中：，所以选项不符合；

中，任意的两个有理数的和或者差仍然是有理数，所以选项符合；

中，任意的两个元素，，，则，，结果都是偶数，任然属于集合，故选项符合；

中，，，，，此时集合，为集合，2，，而，故选项不符合．

故选：．

【点评】本题考查了集合新概念的理解，按照新定义解题，属于基础题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）函数的定义域为　，　．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：，解得的范围即可．

【解答】解：根据题意得：，

解得：．

函数的定义域是，．

故答案为：，．

【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．注意偶次开方一定非负．

14．（5分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量　16　．

【分析】设该月用水量为，可知时不合题意，若，列出水费关于的函数式，由求解值即可．

【解答】解：设该月用水量为，

若，则水费元；

若，则水费为，

由，解得，符合题意．

所以该月用水量为．

故答案为：16．

【点评】本题考查分段函数的实际应用，选择合适的函数模型是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

15．（5分）已知函数是上的减函数，则的取值范围为　，　．

【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求．

【解答】解；是上的减函数，

，

解可得，．

故答案为：，

【点评】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键．

16．（5分）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程在，上有解，则的最大值为　　．

【分析】先由已知求出（2），根据函数是奇函数的性质可得，由此方程可等价转化为在区间，上有解，再根据函数有解问题即可求出的最大值．

【解答】解：由已知可得：当时，（2），

又函数是奇函数，则（2），

所以方程化为：在区间，上有解，

即在区间，上有解，

即在区间，上有解，

又函数在区间，上单调递减，

则当时，，

即实数的最大值为，

故答案为：．

【点评】本题考查了函数的奇偶性以及闭区间上求最值问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）求值：

（1）；

（2）．

【分析】由已知结合指数与对数的运算性质进行求解即可．

【解答】解：（1）原式，

（2）原式

【点评】本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．

18．（12分）已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，设命题，命题．已知命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【分析】（1）时，，可得，再利用集合运算可得：．

（2）时，．根据命题是命题的充分不必要条件，可得，可得，等号不能同时成立，解得实数的取值范围．

【解答】解：（1）时，，（2分）

则，，（4分）

所以，．（6分）

（2）时，．

因为命题是命题的充分不必要条件，则，（8分）

所以，等号不能同时成立，解得，

所以实数的取值范围为，．（12分）

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合的应用、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

19．（12分）已知，，且．

（1）求的最小值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

【分析】（1），利用基本不等式性质即可求得最小值．

（2）利用基本不等式求出的最小值，代入求出的范围即可．

【解答】解：（1）因为，，

所以，

当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值为9．

（2）因为，，

所以，

所以．

因为恒成立，

所以，

解得，

所以的取值范围为．

【点评】本题考查了恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值问题，属于基础题．

20．（12分）某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产台需另投入成本元，且．若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．

（1）求制造商所获月利润（元关于月产量（台的函数关系式；

（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．

【分析】（1）根据月利润售价月产量成本，分和两种情况写出函数关系式即可；

（2）分别利用配方法和基本不等式的性质来求两段函数的最大值，取较大者即可．

【解答】解：（1）当时，；

当时，，

所以．

（2）①当时，，

所以当时，；

②当时，，

当且仅当，即时，取等号，

因为，

所以当时，最大，

故当月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．

【点评】本题考查分段函数的实际应用，训练了利用配方法与基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．

21．（12分）设，函数为常数，．

（1）若，求证：函数为奇函数；

（2）若．

①判断并证明函数的单调性；

②若存在，，使得成立，求实数的取值范围．

【分析】（1）把代入后，检验与的关系即可判断；

（2）①结合单调性的定义先设，利用作差法比较与的大小关系即可判断；

②结合命题的否定，然后结合不等式的恒成立，利用单调性进行转化即可求解．

【解答】解：（1）当时，函数，

因为，则，

所以定义域为，

对任意，

所以是奇函数．（4分）

（2）①当时，为上的单调增函数，证明如下：

证明：时，恒成立，故函数定义域为．

任取，，且，则，

因为，

所以为上的单调增函数．（8分）

②设命题：存在，，使得成立．

下面研究命题的否定：

，，恒成立．

若为真命题，由①，为上的单调增函数，

故，，恒成立．

设，，，解得．

因为为真，则为假命题，

所以实数的取值范围为．（12分）

（注：其他解答酌情给分．

【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断及利用单调性处理不等式恒成立问题，函数性质的综合应用是求解问题的关键．

22．（12分）关于函数对称性的问题，有如下事实：

①证明函数图象的对称性就是证明图象上点的对称性．例如，证明函数图象关于轴对称，就是证明图象上的任一点关于轴的对称点也在图象上．

②点的坐标能满足函数关系式就说明点在函数图象上．

③偶函数图象关于轴对称这个结论可以推广．例如，函数图象关于直线对称的充要条件是函数是偶函数．

请根据上述信息完成以下问题：

（1）从偶函数定义出发，证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于轴对称；

（2）求函数的对称轴；

（3）已知函数为偶函数，且在上单调递减，若函数图象上两点，满足，求实数的取值范围．

【分析】（1）分充分性和必要性两部分证明，（2）先设出函数的对称轴，利用③偶函数的推广可得函数为偶函数可求出的值，

（3）利用偶函数的性质即可求解．

【解答】解：（1）①先证充分性：如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数为偶函数，

设函数，在函数图象上取两点，，，．

因为函数的图象关于轴对称，

所以横坐标互为相反数的两个点的纵坐标应该相等，即，

所以函数为偶函数．

②再证必要性：如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于轴对称，

设是偶函数，

要证明图象关于轴对称，

即证明图象上任意一点关于轴的对称点还在自身图象上，

设为图象上任意一点，则，

此时关于轴的对称点，

则，，

又函数是偶函数，所以，即，

所以点在函数图象上．

所以函数是偶函数的充要条件是它的图象关于轴对称；

（2）函数，

设为的对称轴，

由题意，为偶函数．

任取，，

所以，

所以，

所以恒成立，

故，则，

所以的对称轴为直线；

（3）因为函数为偶函数，且在上单调递减，

所以，

解得或，

所以的取值范围，，．

【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，考查了充要条件的证明以及偶函数的性质问题，属于中档题．

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日期：2021/2/23 14:13:12；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394