2021-2022学年江苏省无锡一中高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省无锡一中高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1．（5分）复数的值为　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知平面向量，，，若，，则实数与的和为　　

A．6 B． C．2 D．

3．（5分）若复数是方程的一个根，则实数的值为　　

A．4 B． C．2 D．

4．（5分）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，，则 D．若，，，则

5．（5分）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为　　

A． B． C． D．

6．（5分）下列命题中正确的个数为　　

①若，则；

②若，且，则；

③若，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为；

④若，则必定存在实数，使得．

A．0 B．1 C．2 D．3

7．（5分）如图，四边形为正方形，平面，，，则异面直线与所成角的余弦值是　　

A． B． C． D．

8．（5分）在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为　　

A． B．1 C．2 D．

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．

9．（5分）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．下列说法正确的是　　

A．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 

B．若复数满足，则复数对应的点在一条直线上 

C．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 

D．若复数是的共轭复数，则与对应的点关于实轴对称，且

10．（5分）的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是　　

A．若，则 

B．若，则为钝角三角形 

C．若，则是等腰三角形 

D．若，，，则有两解

11．（5分）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是　　

A．若，则 

B．若，则点、、三点共线 

C．若点是的重心，则 

D．若且，则的面积是的面积的

12．（5分）如图，在直三棱柱中，，，，点是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的是　　

A． 

B．的最小值为 

C．直线与平面所成角的正弦值为 

D．存在点，使得异面直线与所成角为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则边上的中线长为 　　．

14．（5分）在矩形中，已知，，点是对角线上一动点，则的最小值为 　　．

15．（5分）在平行四边形中，，，，为的中点，若线段上存在一点满足，则的值是 　　．

16．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数是虚数单位）．

（1）若对应复平面上的点在第四象限，求实数的取值范围；

（2）若是纯虚数，求实数的值．

18．（12分）已知向量，，其中，是夹角为的两个单位向量．

（1）求及与夹角；

（2）求的值．

19．（12分）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点．

（1）求证：；

（2）求证：平面．

20．（12分）已知的内角、、所对的边分别为、、，且，．

（1）求和的大小；

（2）若为锐角三角形，求的面积的取值范围．

21．（12分）如图，已知四棱锥中，，分别为棱，的中点，平面，为正三角形，四边形是等腰梯形，，，，的面积为．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

22．（12分）缉私船在处测出某走私船在方位角为（航向），距离为10海里的处，并测得走私船正沿方位角的方向以海里时的速度沿直线方向航行逃往相距25海里的陆地处，缉私船立即以海里时的速度沿直线方向前去截获．（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）

（1）若，，求缉私船航行方位角的正弦值和截获走私船所需的时间；

（2）在走私船到达陆地之前，若缉私船有两种不同的航向均恰能成功截获走私船，求与满足的条件．

2021-2022学年江苏省无锡一中高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1．（5分）复数的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：．

故选：．

2．（5分）已知平面向量，，，若，，则实数与的和为　　

A．6 B． C．2 D．

【解答】解：，

，解得，

，

，解得，

．

故选：．

3．（5分）若复数是方程的一个根，则实数的值为　　

A．4 B． C．2 D．

【解答】解：复数是方程的一个根，

由实系数一元二次方程虚根成对原理，可得另一根为，

则，即．

故选：．

4．（5分）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，，则 D．若，，，则

【解答】解：若，，则，的位置不确定，与的位置关系不确定，故错误；

若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故错误；

若，，则或，又，则，故正确；

若，，或，又，则或与相交或与异面，故错误．

故选：．

5．（5分）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为　　

A． B． C． D．

【解答】解：作出该圆锥截面，如图，

由题意，底面半径，

母线，

侧面积．

故选：．

6．（5分）下列命题中正确的个数为　　

①若，则；

②若，且，则；

③若，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为；

④若，则必定存在实数，使得．

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：对于①，若，则错误，由于向量还有方向，不能比较大小，故①错误；

对于②，若，且，则，由于向量有方向，故②错误；

对于③，若，，且与的夹角为，则，整理得，所以在方向上的投影向量为，故③正确；

对于④，若，则必定存在实数，使得，故④错误．

故选：．

7．（5分）如图，四边形为正方形，平面，，，则异面直线与所成角的余弦值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由于平面，所以，，

由于，，所以平面，

设是的中点，连接，，

由于，，所以四边形是平行四边形，

所以，，

由于，，所以，，

所以四边形是平行四边形，

所以，，

所以是直线与直线所成角，

设，，，

所以，

所以．

故选：．

8．（5分）在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为　　

A． B．1 C．2 D．

【解答】解：延长交于，

是重心，

为中线．

，

即，故是等腰三角形，且，

则外接圆圆心在上，设为，则，

，

是等边三角形，

，即外接圆半径为1．

故选：．

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．

9．（5分）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．下列说法正确的是　　

A．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 

B．若复数满足，则复数对应的点在一条直线上 

C．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 

D．若复数是的共轭复数，则与对应的点关于实轴对称，且

【解答】解：对于选项，

复数与分别表示向量与，

表示向量的复数为，

故正确；

对于选项，若复数满足，

则复数对应的点在直线上，

故正确；

对于选项，若复数满足，

则复数对应的点在以原点为圆心，

内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，

故所构成的图形面积为，

故正确；

对于选项，若，则，故错误；

故选：．

10．（5分）的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是　　

A．若，则 

B．若，则为钝角三角形 

C．若，则是等腰三角形 

D．若，，，则有两解

【解答】解：在中，，，，，因为在，上单调递减，

若，则，故正确；

因为，若，

则，即，

由正弦定理可得，则，所以为钝角，

则为钝角三角形，故正确；

若，则或，

即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故错误；

因为，且，故有两解，故正确．

故选：．

11．（5分）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是　　

A．若，则 

B．若，则点、、三点共线 

C．若点是的重心，则 

D．若且，则的面积是的面积的

【解答】解：，，，正确，

，，且，、、三点不共线，错误，

，若点是的重心，则，，，，正确，

，若且，可得，设，如图，

由图可得，则的面积是面积的，故正确．

故选：．

12．（5分）如图，在直三棱柱中，，，，点是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的是　　

A． 

B．的最小值为 

C．直线与平面所成角的正弦值为 

D．存在点，使得异面直线与所成角为

【解答】解：对于，由题可知平面，平面，，

又，，平面，

平面，，故正确；

对于，将矩形沿翻折到与矩形在同一个平面，如图，

则，故错误；

对于，由项可知平面，同理可知平面，

为直线与平面所成角，

，故正确；

对于，，为异面直线与所成角或其补角，

设，，则，

则若或时，在中，由余弦定理得，

，

经验证，无论还是，均无解，

故不存在使得异面直线与所成角为，故错误．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则边上的中线长为 　　．

【解答】解：，，，

，，

设边上的中线为，

，

，

，即边上的中线长为．

故答案为：．

14．（5分）在矩形中，已知，，点是对角线上一动点，则的最小值为 　　．

【解答】解：如图所示：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，

又因为，，

所以，，，，

则直线的方程为，

所以设，且，

而，，

所以，

结合二次函数的性质可知，当时，有最小值，且最小值为．

故答案为：．

15．（5分）在平行四边形中，，，，为的中点，若线段上存在一点满足，则的值是 　　．

【解答】解：如图所示：

因为，

设，其中，，

所以，

又，

则，解得，

故，

又，，，

所以．

故答案为：．

16．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是 　　．

【解答】解：如下图所示，分别取棱，的中点、，连，，

，，，分别为所在棱的中点，则，，

，又平面，平面，

平面．

，，

四边形为平行四边形，

，

又平面，平面，

平面，

又，

平面平面．

是侧面内一点，且平面，

点必在线段上．

在△中，．

同理，在△中，可得，

△为等腰三角形．

当点为中点时，，此时最短；点位于、处时，最长．

，．

线段长度的取值范围是，．

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数是虚数单位）．

（1）若对应复平面上的点在第四象限，求实数的取值范围；

（2）若是纯虚数，求实数的值．

【解答】解：（1）对应复平面上的点在第四象限，

，

故实数的取值范围为．

（2）是纯虚数，

，

故．

18．（12分）已知向量，，其中，是夹角为的两个单位向量．

（1）求及与夹角；

（2）求的值．

【解答】解：（1），

又，同理，

，又，，

（2）由（1）可得：．

19．（12分）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点．

（1）求证：；

（2）求证：平面．

【解答】证明：（1）在三棱柱中，平面，平面，

，

又，，平面，平面，

平面，

又平面，

；

（2）设与的交点为，连结，则为中点，

又是中点，

是的中位线，

，

又平面，平面，

平面．

20．（12分）已知的内角、、所对的边分别为、、，且，．

（1）求和的大小；

（2）若为锐角三角形，求的面积的取值范围．

【解答】解：（1）因为，

由正弦定理得，，即，

由余弦定理得，，所以，

又，所以，

因为，由余弦定理得，，

可得或（舍

所以，，；

（2）由（1）知，，

由正弦定理得，，，

因为为锐角三角形，所以，得，

从而的面积

，

又，，

所以，

从而的面积的取值范围为．

21．（12分）如图，已知四棱锥中，，分别为棱，的中点，平面，为正三角形，四边形是等腰梯形，，，，的面积为．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

【解答】（1）证明：因为，

所以，所以，

所以为等边三角形，所以，

又因为四边形为等腰梯形，所以，，

所以，且，

所以四边形为菱形．

则，

又因为，分别为棱，的中点，

所以，所以，

因为平面，平面，所以，

又平面，平面，，所以平面．

（2）由题意知，，．

由（1）知，平面，平面，故，

又平面，设点到平面的距离为，

，

由得，，

即，解得，

所以点到平面的距离为．

22．（12分）缉私船在处测出某走私船在方位角为（航向），距离为10海里的处，并测得走私船正沿方位角的方向以海里时的速度沿直线方向航行逃往相距25海里的陆地处，缉私船立即以海里时的速度沿直线方向前去截获．（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）

（1）若，，求缉私船航行方位角的正弦值和截获走私船所需的时间；

（2）在走私船到达陆地之前，若缉私船有两种不同的航向均恰能成功截获走私船，求与满足的条件．

【解答】解：（1）设缉私船在处截获走私船，所需的时间为，

依题意，得，

在中，由余弦定理得，，

即，解得（负值舍），

截获走私船所需时间为；

（2）由余弦定理得，，

即，因为走私船距离陆地25海里以海里时的速度航行，

所以要能截获需在小时之内，

令，，若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船，

则关于的方程在上有两个不同的实根，

设，

则等价于直线与抛物线在有两个不同的交点，

因为抛物线开口向上，对称轴，

所以函数在上单调递减，在单调递增，

故当且仅当，即时，

直线与抛物线在上有两个不同的交点，

当时，缉私船有两种不同的航向均恰能成功截获走私船．

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