2023年广东省深圳市福田区红岭中学深康学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省深圳市福田区红岭中学深康学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  观察下列图形，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  据统计，截止年月日，我国接种新冠疫苗已达亿人次，将亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列几何体中，主视图和左视图不同的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  某校名同学在“悦享冰雪，筑梦冬奥”绘画比赛活动中，成绩单位：分分别是，，，，这组数据的平均数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，则在中边上的高为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度顺时针运动一周，图是点运动时，线段的长度随运动时间变化的关系图象，则图中曲线部分最低点点的坐标是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解 ______ ．

12.  把一副普通扑克牌中的张红桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于的概率是______ ．

13.  如图，已知点，过点作轴于点，轴于点，反比例函数的图象交于点，交于点若四边形的面积为，则 ______ ．

14.  取整函数就是，也被称为高斯函数，记号表示不大于的最大整数，例如：，，若，则 ______ ．

15.  已知正方形，，平分且，，连接、，点是上一点，：：连接，点是上一点且满足，过点作交于点，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
为了让学生更好地掌握疫情防控知识，增强疫情防控意识，某市中学生举行了一次“疫情防控知识竞赛”，共有名中学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计，并绘制扇形统计图．

根据上面提供的信息，解答下列问题：
______ ， ______ ；
被抽取学生的成绩的中位数落在分数段______ 上；
在扇形统计图中，组所对应的圆心角为______ ；
若竞赛成绩在分以上的学生为合格请估计该市参加“疫情防控知识竞赛”成绩为合格的学生有______ 人

18.  本小题分
为保护师生健康，深圳某中学在校门安装了测温门，如图为该“测温门”示意图身高米的小聪做了如下实验：当他在地面处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为；当他在地面处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为如果测得小聪的有效测温区间的长度是米，求测温门顶部处距地面的高度约为多少米？注：额头到地面的距离以身高计，，最后结果精确到米

19.  本小题分
弗朗索瓦韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”圆幂定理之一，指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．
作图保留作图痕迹：
已知是圆的直径，点是延长线上的一点，
作线段的中垂线交于点；
以为圆心，为半径作圆，交圆于点、；
连接和；
试说明是圆切线的理由．
计算：
若圆半径，，尝试证明“切割线定理”并计算出的长度．

20.  本小题分
冰墩墩是年北京冬季奥运会的吉祥物某商场以元台的价格购进一批冰墩墩玩偶出售，在销售过程中发现，其日销售量单位：只与销售单价单位：元之间存在如图所示的函数关系．
求与的函数关系式；
若物价局规定，产品的利润率不得超过，该商场销售冰墩墩玩偶每天要想获得元利润，销售单价应定为多少？

21.  本小题分
已知菱形，，为射线上的一点，以为边作菱形，使点在线段的延长线上，连接，．

如图，若点在线段的延长线上，求证：；
若点在线段上，且．
如图，连接，相交于点，当为的中点时，判断四边形的形状，并说明理由；
如图，设，，当平分时，求的值．

22.  本小题分
【知识介绍】
如图在平面直角坐标系中，若点，则线段的长度为请结合下面证明过程填空：
分别过点作轴，点作轴，相交于点，则 ______ 填与位置关系．
，，
______ ， ______ 用含，，，，代数式表示．
在中，根据勾股定理可得：
______ 用含，，，，代数式表示．
利用公式快速计算和间的距离为______ ．

【模型构建】
试结合上述知识点分析的最小值如何求解？
分析：可认为则是和间的距离请尝试利用如图平面直角坐标系构图并计算．
【迁移思考】
已知矩形如图，，，点是对角线上一动点，点是线段上一动点且满足，请结合上述方法尝试计算的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故A正确．
故选：．
根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：、主视图与左视图都是两个并列的正方形，不合题意；
B、主视图是长方形，左视图是圆，符合题意；
C、主视图与左视图都是三角形，不合题意；
D、主视图和左视图都是圆，不合题意．
故选：．
分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体．
本题考查了简单几何体的三视图，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：平均数．
众数出现的次数最多，故为．
故选：．
根据众数、平均数的概念求解即可．
本题考查了平均数和众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

6.【答案】 

【解析】解：，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算错误，不符合题意；
，故D计算正确，符合题意．
故选：．
根据算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则，合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方法则逐项计算即可判断选择．
本题考查求算术平方根，负整数指数幂，合并同类项，积的乘方和幂的乘方．掌握各运算法则是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，，
，
，
，
，
是的外角，
，
．
故选：．
由题意得，，从而求得，由平行线的性质得，利用三角形的外角性质求得，从而可求的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：作于如图：
由作图可知，是的角平分线，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
作于，利用是角平分线以及直角三角形所对的直角边是斜边的一半即可求解．
本题主要考查了含角的直角三角形，以及角的直角三角形三边的关系，解答本题的关键在于利用其性质进行解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
直线经过第一，二，四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知：，，
，
，
当点运动到图所示点位置时，对应图中，如图：

，
，
，
，
，
图中曲线部分最低点点的坐标是，
故选：．
根据图可知：，，然后由勾股定理求出，再根据图中的点坐标是图中对应的下，的值，然后由三角形面积相等求出，再由勾股定理求出即可．
本题考查了动点问题的函数图象，明确图中的点坐标是图中对应的，的值是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
提公因式，括号里用平方差公式因式分解．
本题考查了用提取公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

12.【答案】 

【解析】解：抽出的牌的点数小于有，，，，，共个，总的样本数目为，
从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于的概率是：．
故答案为：．
抽出的牌的点数小于有，，，，，共个，总的样本数目为，则问题得解．
此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：的面积的面积，
四边形的面积四边形的面积．
故答案为：．
由题意的面积的面积，可得四边形的面积四边形的面积．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，解答本题的关键是根据点、的纵横坐标，代入解析式表示出其坐标，然后根据面积公式求解．
 

14.【答案】 

【解析】解：


，
，
故答案为：．
先计算，再根据新定义求值即可．
本题考查新定义，数式规律，实数的运算，找出数式规律，求得的值是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于点，作于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，

在正方形中，，，
平分，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，，
四边形是矩形，是直角三角形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是的中线，
，
中线也是高线，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
故答案为：，
连接，过点作于点，作于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，证明是等腰直角三角形，可得；证明四边形是矩形，即可得的长；证明∽，进而可得是等腰三角形，即有是等腰直角三角形，证明四边形是矩形，可得，即有是等腰三角形，可得的长，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、平分线分线段成比例、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，构造合理的辅助线是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：原式


，
当时，原式． 

【解析】先对括号内式子进行通分，再进行加法计算，最后将除法变成乘法计算，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查了分式的化简求值，解决此题的关键是先根据分式的运算性质，将其化简，再将未知数的代入求值．
 

17.【答案】         

【解析】解：被调查的总人数为人，
，，
故答案为：，；

被抽取学生的成绩的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据均落在组，
所以被抽取学生的成绩的中位数落在分数段上，
故答案为：；

组所对应的圆心角为：，
故答案为：；

若竞赛成绩在分以上的学生为合格，则该市参加“疫情防控知识竞赛”成绩为合格的学生有：
人．
故答案为：．
由组频数及频率求出样本总量，再根据频率频数总数求解即可；
根据中位数的概念求解即可；
用组的占比乘即可．
用总人数乘以样本中、、组频率之和即可．
本题考查频数分布直方图、统计表、样本容量、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：延长交于点，设米．

，，
米，米，
米．
解得，
米，
米．
答：测温门顶部处距地面的高度约为米． 

【解析】延长交于点，构造直角和矩形，设米．通过解直角三角形分别表示出、的长度，根据得到，解得，进一步解答即可求得、．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：作图如下：

连接，，
以为圆心，为半径作圆，交圆于点、；
，
是的中垂线，
，点在圆上，
，
，，
，
，
，即，垂直，
是圆的切线．

证明：连接，，

是圆的切线，为圆的直径，
，，

和为圆的半径，
，
，
，
∽，
，
．
，，
，，
，
． 

【解析】按要求作图，根据是的中垂线，得到，点在圆上，，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得，即可证明；
根据切线的性质和圆周角定理的推论可得，证得∽，所以，，根据，，求出的长度，代入计算即可．
本题属于圆综合题，考查圆的切线证明以及相似三角形的性质与判定，根据题意证明∽是解题的关键．
 

20.【答案】解：设函数关系式为，
由图可知，直线经过点和点，
则有：，
解得：，
即函数关系式为：；

根据产品的利润率不得超过，可知产品的售价最高为：元，
根据题意有：，
将代入中，
整理，得：，
解得，，
价格不得超过元，
，
即售价应该定为元． 

【解析】设函数关系式为，利用待定系数法即可求解；
根据产品的利润率不得超过，可知产品的售价最高为：元，根据题意有：，将代入中，解一元二次方程即可求解．
本题主要考查了用待定系数法求解一次函数解析式以及一元二次方程的应用的知识，根据一次函数图象用待定系数求出一次函数解析式是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：因为四边形、四边形都是菱形，
所以，，，

所以即，
所以≌，
所以．
解：四边形是矩形．理由如下：

因为四边形是菱形，，
所以，，
所以，，．
因为四边形是菱形，，为的中点，
所以，，，
所以，是等边三角形，
所以，，
所以，．
即，
所以四边形是矩形．
如图，延长到点，使得，连接，

因为四边形是菱形，，
所以，，
所以是等边三角形，
所以，
因为四边形是菱形，平分，
所以，，
所以，
所以∽，
，
因为，，
所以，，，
所以，
整理，得，
解得，
所以舍去，
所以． 

【解析】利用菱形的性质，证明≌即可；
利用三个角都是直角的四边形是矩形证明即可；延长到点，使得，连接，得证是等边三角形，证明∽，构造方程，以为主元解方程即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，求根公式法解一元二次方程，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和三角形相似的判定和性质是解题的关键．
 

22.【答案】        

【解析】解：如图中，
轴，轴，
，
，
点的横坐标与点相同，纵坐标与点相同，
，
结合图形有：，，
利用勾股定理有：，
即点和点的距离为：，
故答案为：，，，，；
可认为则是点和点间的距离，
，则可看作是点和点间的距离，
即：的最小值可以看作是点到点和到距离的和的最小值，
设、、分别为、、，连接，，作点关于轴的对称点，连接，，交轴于点，连接，在网格中画图如下，

即问题转化为求的最小值，
点关于轴的对称点，，
，，，
，
根据两点之间线段最短，可知、、三点共线时，最小，
即点与点重合时，最小，
此时，
，，
，
即的最小值为；
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，过点作于点，如图，

，，
，，
设点坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，点坐标为，，
，
整理，得：，
根据中的方法，可知的最小值可看做是点到点的距离与点到点的距离之和的最小值，
点关于轴的对称点的坐标为，
根据中的方法，可求得最小值为：，
即的最小值为．
利用平行的性质即可判断、的位置关系；根据图形即可作答；利用推导的公式计算即可；
根据给出的解题思路，可将，则可看作是点和点间的距离，即：的最小值可以看作是点到点和到距离的和的最小值，设、、分别为、、，连接，，作点关于轴的对称点，连接，，交轴于点，连接，结合两点之间线段最短即可求解；
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，过点作于点，先求出，设点坐标为，先证明，即有，可得，，即有，则有，整理，得：，根据中的方法，可知的最小值可看作是点到点的距离与点到点的距离之和的最小值，再根据中的方法即可求解．
本题主要考查了结合勾股定理推倒坐标系中两点之间的距离公式，以及运用距离公式和两点之间线段最短求解二次根式和的最小值的知识，充分利用中给出的解题思路是解答本题的关键．