2021-2022学年江苏省扬州市江都区高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省扬州市江都区高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，2，4，8，，，8，，则　　

A． B．， C． D．，2，

2．（5分）下列各组函数是同一函数的是　　

A．与 B．与 

C．与 D．与

3．（5分）已知，，则是的　　条件

A．既不充分又不必要 B．充要 

C．必要不充分 D．充分不必要

4．（5分）下列函数中为偶函数且在区间上是增函数的是　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知命题，是假命题，则的取值范围为　　

A． B． C．或 D．或

6．（5分）已知函数，若，则的值为　　

A．0 B． C．1或 D．0或1

7．（5分）标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）若，，则下列不等式中成立的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列运算中正确的是　　

A． 

B．当时， 

C．若，则 

D．

11．（5分）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是　　

A． B． C． D．

12．（5分）函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是　　

A． 

B．若在，上为增函数，则在，上为减函数 

C．若在，上有最小值，则在，上有最大值1 

D．若时，，则值域为，，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13．（5分）已知函数，则函数的定义域为 　　．

14．（5分）已知关于的不等式的解集为，则　　．

15．（5分）请写出一个满足以下条件的函数：①为偶函数②值域为，，　　．

16．（5分）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，，称为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆．过点作的垂线，交半圆于，连结，，．过点作的垂线，垂足为．则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段　　的长度是，的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为　　．

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）求下列各式的值：

（1）；

（2）．

18．（12分）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若___，求实数的取值范围．

19．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，且．

（1）确定函数的解析式；

（2）用定义证明在上是增函数．

20．（12分）为响应创建文明卫生城市的号召，某校计划在学校空地建设一个面积为的长方形花草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形种植花卉，矩形上、下各留，左、右各留种植草坪，设花草坪长度为（单位：，宽度为（单位：，矩形的面积为（单位：．

（1）试用，表示；

（2）求的最大值，并求出此时，的值．

21．（12分）已知函数是定义在，上的偶函数，当时，．

（1）求函数在，上的解析式；

（2）画出函数的图像并根据图像写出函数的单调增区间及值域；

（3）解不等式．

22．（12分）已知是二次函数，其两个零点分别为、1，且．

（1）求的解析式；

（2）若，，恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，，，的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围．

2021-2022学年江苏省扬州市江都区高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，2，4，8，，，8，，则　　

A． B．， C． D．，2，

【解答】解：集合，2，4，8，，，8，，

，．

故选：．

2．（5分）下列各组函数是同一函数的是　　

A．与 B．与 

C．与 D．与

【解答】解：的定义域为，的定义域为，定义域和对应关系都相同，是同一函数；

的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

和的对应关系不同，不是同一函数．

故选：．

3．（5分）已知，，则是的　　条件

A．既不充分又不必要 B．充要 

C．必要不充分 D．充分不必要

【解答】解：，，

是的充分不必要条件，

故选：．

4．（5分）下列函数中为偶函数且在区间上是增函数的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于，函数在区间上是减函数，故选项错误；

对于，函数为偶函数且在区间上是增函数，故选项正确；

对于，函数的定义域为，，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故选项错误；

对于，函数为奇函数，故选项错误．

故选：．

5．（5分）已知命题，是假命题，则的取值范围为　　

A． B． C．或 D．或

【解答】解：根据题意，命题，是假命题，

则，是真命题，即不等式恒成立，

必有△，

解可得：，

故选：．

6．（5分）已知函数，若，则的值为　　

A．0 B． C．1或 D．0或1

【解答】解：函数，，

当时，由，得，即，此时无解．

当时，由，得可得．

当时，由，得，即，此时无解．

综上可得，，

故选：．

7．（5分）标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，对于，有，

则，

分析选项：中与其最接近，

故选：．

8．（5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解答】解：当时，恒成立，

则恒成立，即，

所以函数在，上为单调递增函数，

因为为偶函数，

所以，（2），（8），

故．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）若，，则下列不等式中成立的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于，，，

由不等式的加法性可得，，即，故正确，

对于，，，

由不等式的加法性可得，，故正确，

对于，令，，，，满足，，但，故错误，

对于，令，，，，满足，，但，故错误．

故选：．

10．（5分）下列运算中正确的是　　

A． 

B．当时， 

C．若，则 

D．

【解答】解：对于选项，，故选项错误；

对于选项，，故选项正确；

对于选项，令，则，故，选项错误；

对于选项，，故选项正确；

故选：．

11．（5分）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：选项，，当且仅当时，等号成立，即正确；

选项，由选项知，，所以，

所以，即错误；

选项，由选项知，，所以，即正确；

选项，，当且仅当，即时，等号成立，即正确．

故选：．

12．（5分）函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是　　

A． 

B．若在，上为增函数，则在，上为减函数 

C．若在，上有最小值，则在，上有最大值1 

D．若时，，则值域为，，

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，是定义在上的奇函数，则，变形可得，正确；

对于，是定义在上的奇函数，若在，上为增函数，则在，上也是增函数，错误；

对于，若在，上有最小值，即当时，，

则有，，即在，上有最大值1，正确；

对于，，函数的值域中应该有元素0，错误；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13．（5分）已知函数，则函数的定义域为 　，　．

【解答】解：由题意得：，解得：，

故函数的定义域是，，

故答案为：，．

14．（5分）已知关于的不等式的解集为，则　8　．

【解答】解：关于的不等式的解集为，

，

解得，，，

故，

故答案为：8．

15．（5分）请写出一个满足以下条件的函数：①为偶函数②值域为，，　（答案不唯一）　．

【解答】解：根据题意，可以为二次函数，

故满足以下条件的函数可以为，

故答案为：（答案不唯一）．

16．（5分）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，，称为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆．过点作的垂线，交半圆于，连结，，．过点作的垂线，垂足为．则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段　　的长度是，的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为　　．

【解答】解：由题意得：，，

由于，，

所以，

则，故，

解得，

利用直角三角形的边的关系，所以．

当和重合时，，

所以．

故答案为：；

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式，

，

，

；

（2）原式，

，

．

18．（12分）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若___，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，，

所以；

（2）选①，可得，

则，解得，即的取值范围是，；

选②“”是“”的充分不必要条件，可得，

则（等号不同时取得），解得，即的取值范围是，；

选③，可得或，解得或，

即的取值范围是，，．

19．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，且．

（1）确定函数的解析式；

（2）用定义证明在上是增函数．

【解答】解：（1）函数是定义在上的奇函数，，，而，解得．

，．

（2）证明：任意，且，

则，

，且，，，

，即，

函数在上为增函数．

20．（12分）为响应创建文明卫生城市的号召，某校计划在学校空地建设一个面积为的长方形花草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形种植花卉，矩形上、下各留，左、右各留种植草坪，设花草坪长度为（单位：，宽度为（单位：，矩形的面积为（单位：．

（1）试用，表示；

（2）求的最大值，并求出此时，的值．

【解答】解：（1）由题意可得，矩形长为，宽为，

故．

（2），

，

当且仅当，即，时取等号，

故的最大值为，此时，．

21．（12分）已知函数是定义在，上的偶函数，当时，．

（1）求函数在，上的解析式；

（2）画出函数的图像并根据图像写出函数的单调增区间及值域；

（3）解不等式．

【解答】

解：（1）函数是定义在，上的偶函数，可得，

当时，，

则时，，，

则；

（2）由分段函数的画法可得的图象：

由图象可得单调递增区间为，，，；值域为，；

（3）等价为或，

由图象可可得当时，；当或时，．

所以原不等式即为

或，

解得或，

所以原不等式的解集为，，．

22．（12分）已知是二次函数，其两个零点分别为、1，且．

（1）求的解析式；

（2）若，，恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，，，的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围．

【解答】解：（1）是二次函数，其两个零点分别为、1，

设，

，

；

（2），，恒成立，，，

，当且仅当，即时取等号，

，即实数的取值范围为，；

（3），其对称轴方程为，

①若，即时，在，上单调递增，；

②若，即时，，

③若，即时，在，上单调递减，（2）；

的最小值为，

，

，

令，则，作图如下：

由图可知，若方程有两个不等的根，则，

即的取值范围为，．

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