2024年新高考数学一轮复习 第一章 第五节 二次函数与一元二次方程、不等式

课时跟踪检测(五) 二次函数与一元二次方程、不等式

一、全员必做题

1．不等式－3x2＋5x＋2<0的解集是(　 )

A． B.∪(2，＋∞)

C. D.∪

解析：选B　由－3x2＋5x＋2<0，可得3x2－5x－2>0，即(x－2)(3x＋1)>0，进而可得x>2或x<－，所以不等式－3x2＋5x＋2<0的解集为∪(2，＋∞)．

2．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则a－b＝(　 )

A．0  B．2

C．－2  D．2或－2

解析：选C　由于不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，所以a<0，且a×(－1)2＋b×(－1)＋2＝0，即a－b＝－2.

3．若命题p：“∀x∈R，x2＋(1－k)x＋1≥0”是真命题，则k的取值范围是(　 )

A．(－3,1) B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)   

C．[－1,3] D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)  　

解析：选C　由题意可知x2＋(1－k)x＋1≥0恒成立，所以Δ＝(1－k)2－4≤0，解得－1≤k≤3，故选C.

4．设a，b，c∈R，若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，则关于x的不等式b(x2＋3)－a(x＋3)＋c>0的解集为(　 )

A．{x|－2<x<1}  B．{x|－1<x<2}

C．{x|x<－1或x>2}  D．{x|x<－2或x>1}

解析：选B　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，则即所以b(x2＋3)－a(x＋3)＋c>0，即为a(x2＋3)－a(x＋3)－2a>0，所以(x2＋3)－(x＋3)－2<0，解得－1<x<2，即不等式的解集为{x|－1<x<2}．

5．若不等式x2＋ax－1≤0对于一切x∈[1,4]恒成立，则实数a的取值范围是(　 )

A.  B．

C．{a|a>0}  D．

解析：选D　x2＋ax－1≤0，x∈[1,4]，则a≤－x＋，y＝－x和y＝在[1,4]单调递减，故f(x)＝－x＋在[1,4]单调递减，f(x)min＝f(4)＝－4＋＝－.即a≤－.

6．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是(　 )

A.  B．

C．(1，＋∞)  D．

解析：选A　由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－.

7．若关于x的不等式>0的解集为，则a的取值范围为(　 )

A．(－1，＋∞)  B．(0,1)

C．(－∞，－1)  D．(－1,0)

解析：选C　不等式>0等价于(x－1)(ax＋1)>0，设f(x)＝(x－1)(ax＋1)，显然a＝0不符合题意，若a>0，f(x)＝a(x－1)，f(x)是开口向上，零点分别为1和－的抛物线，对于f(x)>0，解集为x<－或x>1，不符合题意；若a<0，则f(x)是开口向下，零点分别为1和－的抛物线，对于f(x)>0，依题意解集为，则－<1，即a∈(－∞，－1)．

8．不等式≤1的解集是________．

解析：由≤1，得－1≤0，≤0，≤0，所以解得x<2或x≥7，所以不等式的解集为(－∞，2)∪[7，＋∞)．

答案：(－∞，2)∪[7，＋∞)

9．甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是_______．

解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100≥3 000，整理得5x－14－≥0，又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.故x的最小值是3.

答案：3

10．不等式(a－3)x2<(4a－2)x对a∈(0,1)恒成立，则x的取值范围是________．

解析：由题意知(a－3)x2<(4a－2)x对a∈(0,1)恒成立等价于(x2－4x)a－3x2＋2x<0对a∈(0,1)恒成立．令g(a)＝(x2－4x)a－3x2＋2x，当x＝0时，g(a)＝0，不满足题意．当x≠0时，则解得x≤－1或x≥.

答案：(－∞，－1]∪

11．已知函数f(x)＝ax＋－3，若xf(x)<4的解集为{x|1<x<b}．

(1)求a，b；

(2)解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.

解：(1)因为函数f(x)＝ax＋－3，所以不等式xf(x)<4，即为ax2－3x＋2<0，由不等式的解集为{x|1<x<b}可得，1＋b＝，且1×b＝，解得a＝1，b＝2.

(2)由(1)得关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.

当c＝2时，不等式即(x－2)2<0，它的解集为∅；

当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为(c,2)；

当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为(2，c)．

12．已知函数f(x)＝mx2＋3mx＋2，m∈R.

(1)若m＝1，求不等式f(x)<0的解集；

(2)若不等式f(x)>0对一切实数x都成立，求m的取值范围．

解：(1)当m＝1时，f(x)＝x2＋3x＋2，

由f(x)<0，得x2＋3x＋2<0，(x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－1，

所以不等式的解集为{x|－2<x<－1}．

(2)由题意可得mx2＋3mx＋2>0对一切实数x都成立，

当m＝0时，2>0恒成立，符合题意，

当m≠0时，

解得0<m<.

综上，0≤m<，即m的取值范围为.

二、重点选做题

1．已知不等式(4x2＋4ax＋1)(2x2＋x＋a)>0对于一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　 )

A.  B．

C.  D．

解析：选B　因为4x2＋4ax＋1＝42＋1－a2,2x2＋x＋a＝22＋a－，令1－a2>0，即－1<a<1，此时4x2＋4ax＋1>0对于一切实数x恒成立，因此2x2＋x＋a>0对于一切实数x恒成立，所以a－>0，即a>，故<a<1；当1－a2≤0时，关于x的方程4x2＋4ax＋1＝0有实数解，即存在实数x使得(4x2＋4ax＋1)(2x2＋x＋a)＝0，不满足题意．

2．设命题p：已知a>0，b>0，且a＋b＝ab，不等式a＋b≥m2－5m－2恒成立，命题q：存在x∈[－1,1]，使得不等式x2－2x＋m－1≤0成立，若命题p，q中有一个为真命题，一个为假命题，则实数m的取值范围是________．

解析：对于p：因为a＋b＝ab≤2，所以a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以m2－5m－2≤a＋b恒成立，则m2－5m－2≤4，即－1≤m≤6.对于q：存在x∈[－1,1]，使得不等式x2－2x＋m－1≤0成立，只需(x2－2x＋m－1)min≤0，而(x2－2x＋m－1)min＝－2＋m，所以－2＋m≤0，所以m≤2.因为p，q有一真一假，所以若q为假命题，p为真命题，则所以2<m≤6；若p为假命题，q为真命题，则所以m<－1.

综上，m<－1或2<m≤6.

答案：(－∞，－1)∪(2,6]

3．已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1)．

(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；

(2)若不等式对于m∈[－2,2]恒成立，求实数x的取值范围；

(3)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围．

解：(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0，

当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立；

当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解，

所以不存在实数m，使不等式恒成立．

(2)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，

当m∈[－2,2]时，f(m)＜0恒成立．

则⇔

由①，得＜x＜.

由②，得x＜或x＞.

取交集，得＜x＜.

所以x的取值范围是，.

(3)因为x＞1，所以m＜.

设2x－1＝t(t＞1)，x2－1＝，所以m＜＝.

设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)，显然g(t)在(1，＋∞)上为增函数．

当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0，所以m≤0.故实数m的取值范围为(－∞，0]．