【高考真题】2023年新高考Ⅱ卷数学

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 【高考真题】2023年新高考Ⅱ卷数学一、单选题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)1．（5分）在复平面内，对应的点位于（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）设集合， 若， 则（　　） A．2 B．1 C． D．-13．（5分）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同抽样结果共有（　　）.A．种 B．种C．种 D． 种4．（5分）若为偶函数，则a=(　　)A．-1 B．0 C． D．-15．（5分） 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，直线y=x+m与C交于点A，B两点，若面积是 的 2 倍， 则m=（　　）A． B． C． D．6．（5分）已知函数f(x)=在区间单调递增，则a的最小值为（　　）A． B． C． D．7．（5分） 已知为锐角， 则（　　）A． B． C． D．8．（5分）记为等比数列的前n项和，若则（　　）A．120 B．85 C．-85 D．120二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。(共4题；共20分)9．（5分）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为45°，则（　　）A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为10．（5分）设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与C交于M，N两点，为C的准线，则（　　）A． B．C．以MN为直径的圆与相切 D．为等腰三角形11．（5分）若f(x)=alnx++(a≠0)既有极大值也有极小值，则（　　）A．bc>0 B．ab>0 C． D．ac<012．（5分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码：三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到 1，0，1的概率为C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(共4题；共20分)13．（5分） 已知向量，满足　     　14．（5分）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为　     　 .15．（5分）已知直线与⊙C：交于A，B两点，写出满足“面积为”的的一个值　                            　16．（5分）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则　     　 . 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共6题；共70分)17．（10分） 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为D为BC的中点，且AD=1.（1）（5分）若求tanB；（2）（5分）若，求b，c.18．（12分）已知为等差数列，，记 ，为的前n项和，，（1）（6分）求的通项公式.（2）（6分）证明：当n>5时，>.19．（12分） 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳形，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）（6分）当漏诊率时，求临近值c和误诊率；（2）（6分）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.20．（12分） 如图，三棱锥中，60°，E为BC中点.（1）（6分）证明：（2）（6分）点F满足 ，求二面角D-AB-F的正弦值.21．（12分）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为（1）（6分）求的方程；（2）（6分）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明：点在定直线上.22．（12分）  （1）（6分）证明：当 时，（2）（6分）已知函数 若是 的极大值点， 求a的取值范围.
答案解析部分1．【答案】A【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】 ，
对应的点位于第一象限。
故选：A
【分析】利用复数的乘法运算直接计算判断。2．【答案】B【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】 ，
当时，，则，，不符合题意；
当时，，则，，符合题意。
故选：B
【分析】根据，分别讨论或的情况。3．【答案】D【知识点】分层抽样方法；分步乘法计数原理【解析】【解答】 根据分层抽样定义
初中抽取：(人)，高中抽取：(人)，
再利用分步乘法计数原理共有不同抽样结果。
故选：D
【分析】根据分层抽样计算初中抽取40人，高中抽取20人，再用分步乘法计算共有多少结果。4．【答案】B【知识点】偶函数【解析】【解答】根据题意易得函数定义域为，即关于原点对称
为偶函数 ，
则有，即，解得。
检验：当时，有，
时为偶函数。
故选：B
【分析】根据偶函数性质在定义域范畴内代值即得答案。5．【答案】C【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】如下图，设与轴交点为，
，，，
，即，其中，
当位于中间时，，解得，

当位于右侧时，，解得，易检验此时直线与椭圆无交点，舍去。  故选：C
【分析】画图辅助图分析，将转化为计算分类讨论结果即得答案。6．【答案】C【知识点】简单复合函数的导数；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】 在区间单调递增，
时，恒成立，
在恒成立，即，
设，由复合函数单调性可知在单调递减，

故选：C
【分析】根据在区间单调递增，利用在区间恒成立，分离参数转化成另一恒成立问题，构造新函数求其最值即得答案。7．【答案】D【知识点】二倍角的余弦公式【解析】【解答】由，
又∵为锐角 ，

故选：D
【分析】直接用二倍角公式求解。8．【答案】C【知识点】等比数列的前n项和【解析】【解答】 数列为等比数列，
显然当时不符合题意，
，
，，
，，
解得，
代入得，

故选：C
【分析】直接利用等比通项公式，代入条件解出公比，为避免分类讨论跳过求a1，得到值关系即得答案。9．【答案】A,C【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）【解析】【解答】如图

， ，
在中，
A：圆锥体积，故A正确；
B：圆锥侧面积，故B错误；
C、D：设D为中点，连接，，
在等腰，有，，
二面角的平面角为，即，
在等腰中有，，
在中，，AC=2AD=
，故C正确，D错误。
故选：AC
【分析】画图分析，由圆锥几何特征求出圆锥半径和高，结合圆锥体体积与扇形面积可判断A、B，由二面角分析构造垂直转化为，再计算即可判断C、D。10．【答案】A,C【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】A：由题意可得 直线 过焦点 ，即，，
抛物线C：，故A正确；
B、D：设，，联立，

整理，解得，，代入直线得，，
即，，
，，
由抛物线性质可得，
不为等腰三角形，故B、D错误；
C：设中点为，到准线距离为，则，
以直径的圆与准线相切，故C正确。
故选：AC
【分析】根据题意求出焦点坐标得出p判断A，联立可求得直线与抛物线交点坐标结合抛物线性质可判断B、D，
利用抛物线性质表示圆心到的距离即可判断C。11．【答案】B,C,D【知识点】利用导数研究函数的极值；一元二次方程【解析】【解答】 定义域为，，
既有极大值又有极小值，在有两个变号零点，即在有两个不等实数根，
，，，
，，即，故A错误，B、C、D正确
故选：BCD
【分析】先求导数，转化为有两个变号零点，进而转化为一元二次方程有两个不等实数根。12．【答案】A,B,D【知识点】概率的应用【解析】【解答】依题意 发送01收到0的概率收到1的概率
A：依次发送1，0，1的事件相互独立，依次发送1，0，1的概率为，故A正确；
B：三次传输发送1依次收到1，0，1是相互独立，概率为，故B正确
C：三次传输发送1译码为1的概率，是依次收到1，1，1；1，1，0；1，0，1；0，1，1的概率和，
概率为，故C错误
D：由C知三次传输发送0译码为0的概率，单次传输0译码为0的概率，
，
由知，
三次传输方案译码为0的概率大于单次传输方案译码为0，故D正确
故选：ABD
【分析】利用相互独立事件和互斥事件的概率求解逐项判断可得答案。13．【答案】【知识点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】 ，化简得，
，，
故答案为：
【分析】利用向量性质，同时平方化简得出答案。14．【答案】28【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】如图

根据题意，如图，，，，
由相似易得 ，
，，，

故答案为：28
【分析】由相似易得所截棱台的高，结合棱台体积公式直接求解。15．【答案】中选一个即可【知识点】直线和圆的方程的应用【解析】【解答】由圆的方程知，由 可知直线其过
若m=0，易得此时与圆有且仅有一个交点，故不符合题意
若，由题意设，，
面积为，，
代入圆的方程，解得，
为或或或，
此时直线斜率为，代入解得
故答案为：中任选一个
【分析】初步分析 过定点，利用面积公式与原方程求得符合条件的坐标，由直线方程斜率公式建立关系解得m值。16．【答案】【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】根据图象设，
，，
由图象可知，，，
不妨令
，解得，
，，即
或
又，，

故答案为：
【分析】结合图象和得，求出，再根据和确定，进而求解。17．【答案】（1）D为BC中点 ，，
，
在中，，
由余弦定理得，
由正弦定理得，求得，
且
，（2）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
两式相加得，又，
，
，解得，
，
又D为BC中点，
.【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用【解析】【分析】(1)根据题意可解三角形求出，再利用余弦定理和正弦定理解；
（2）利用中线AD为已知直线结合余弦定理、与诱导公式联立得出等量关系，即可求出，再用面积公式求。18．【答案】（1） 数列为等差数列，设首项为公差，
由
，
由等差数列前n项和公式得，........①
，........②
联立①②，解得，，
为通项公式为（2）由（1）知，
，，
①当n为偶数且n>5，此时



则，即
②当n为奇数且n>5，此时



则，即
综上所述，当时，.【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和【解析】【分析】（1）直接利用等差数列通项公式与前n项和公式代入求解；
（2）分组求出当为奇数和偶数的值，与作差结合二次函数或因式分解比较代数式的大小。19．【答案】（1）由患病者的指标图象
其矩形面积=> ，
，解得，
 （2）当时，
∵-0.008<0，
∴当c=100时，
当时，
∵0.01>0，
∴当c=100时，
，
在区间的最小值为.【知识点】频率分布直方图【解析】【分析】（1）分析患病者的图象求出，再分析未患病者图象求出指标大于等于的矩形面积即为；
（2）分别讨论和时的解析式并从函数角度分析其最值。20．【答案】（1）连接，，

为中点，，

，，
为等边三角形，同理也为等边三角形，
，，
又，，
，
，（2）不妨设，
，
，，
由（1）知，
，，
又，，，两两垂直，
以E为原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图：

则，，，，
，
，，，
四边形是平行四边形，

设平面，平面的法向量为分别为，，
，即，
取，解得，
同理可得，
，
，
二面角的正弦值为【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）通过证明线面垂直，即，得出线线垂直，即。
（2）为建立直角坐标系，先证明，，两两垂直，得出二者法向量得出面面夹角的余弦值即得答案。21．【答案】（1）设双曲线方程为，
又左焦点，离心率，
可得，，
∴
双曲线方程为（2）由（1）知，，
设，，
①若直线斜率为0，则此时M、N、P均为定点，可视作点P在定直线上.
②若直线MN斜率不为0，由直线过定点 ，
设：，


联立，整理得：，
其中，，，
直线的斜率，即此时直线的方程为
同理可得直线的方程为
联立方程可得
解得，
即点P在定直线上运动。【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）利用双曲线性质直接求出与曲线方程；
（2）分类讨论斜率的两种情况，过x轴上定点的直线可设为，联立双曲线方程，再利用点斜式表达出，方程，联立求其交点，进而结合韦达定理化简整理求解。22．【答案】（1）令，，则在恒成立，
在单调递增，，
有
令，，则
则，
，
在单调递增，

在单调递增，

，
有，
综上：当时，.（2）由函数 可知定义域
是的极大值点，
∴在范围内单调递减，且，即
有
，
代入显然
，解得，
.【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件【解析】【分析】（1）构建新函数，求导进行分析单调性与极值，进而作差比较不等式恒成立问题；
（2）由题意可转化为是的变号零点，且由函数在连续，故总存在某个区间使得单调递减，即，同时满足上述条件即得答案.