2.4-y=ax2+bx+c-2023年升初三人教版暑假衔接教材

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❊2.4 y=ax2+bx+c的图像与性质
考点先知

知 识
考 点
将y=ax2+bx+c化为顶点式
1.将y=ax2+bx+c化为顶点式

y=ax2+bx+c的图像与性质
2.作y=ax2+bx+c的图像
3.求y=ax2+bx+c的对称轴
4.求y=ax2+bx+c的最值
5.二次函数的对称性
6.利用增减性比较大小
7.利用增减性求范围内的最值
题型精析

知识点一 将y=ax2+bx+c化为顶点式

步骤
内容
已知，将其化为顶点式，则：
第一步（提）

第二步（配）

第三步（整理1）

第三步（整理2）

题型一 将y=ax2+bx+c化为顶点式

例1

利用配方法求出下列抛物线的顶点坐标和对称轴．
（1）
（2）



（3）


例2

用配方法把抛物线化成的形式，并写出顶点坐标和对称轴．



变1
把二次函数用配方法化成的形式（ ）
A．
B．
C．
D．
变2
通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）
（2）




知识点二 y=ax2+bx+c的图像与性质


内容
已知，将其化为顶点式为，则：
【性质1】函数的对称轴为______，顶点坐标为______，最值为______.
【性质2】函数的增减性与______和______有关.
【性质3】当a>0且时，函数递______，时，函数递______.
【性质4】当a<0且时，函数递______，时，函数递______.
【总结】1.二次函数中，a决定函数的_________，a、b共同决定函数的_________，c决定函数_________；
2.a、b共同决定函数的_________，并且满足“左同右异”.




题型二 y=ax2+bx+c的图像与性质

类型一 作二次函数的图像

【作图步骤】①第一步：将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标；
②第二步：对称轴左右两边各取两个点；
③第三步：描点作图.
例1

已知抛物线．
（1）该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标_______；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．

…





…

…





…

例2

已知二次函数．

（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中（如图），画出这个二次函数的图像．
变1
已知二次函数．

（1）用配方法将其化为的形式；
（2）该函数图象的对称轴为_______，顶点坐标为_______；
（3）在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象（列表，描点、连线）．




变2
已知二次函数．

（1）求出抛物线的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．




类型二 求二次函数的对称轴

【对称轴公式】二次函数的对称轴是________.
例1

求下列二次函数的对称轴：
（1）_______；（2）_______；
（3）_______；（4）_______.
变1
求下列二次函数的对称轴：
（1）_______；（2）_______；
（3）_______；（4）_______.

例2

已知a，b，c满足a+b=-c，4a+c=2b，则二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为（ ）
A．直线x=1
B．直线x=
C．直线x=
D．直线x=
变2
抛物线的对称轴是直线，则m=_______．
类型三 求二次函数的最值

求二次函数的最值的方法：
【方法一】配方法，将二次函数配成顶点式，即可得出最值；
【方法二】对称轴法，先求出对称轴，再将对称轴带入函数解析式.
例1

求函数的最值.
【方法一】配方法：

【方法二】对称轴法：
对称轴：
带入：



例2

求函数的最值.
【方法一】配方法：

【方法二】对称轴法：
对称轴：
带入：
变1
求函数的最值.
【方法一】配方法：

【方法二】对称轴法：
对称轴：
带入：
变2
求函数的最值.
【方法一】配方法：

【方法二】对称轴法：
对称轴：
带入：
类型四 二次函数的对称性

【二次函数的对称性】若二次函数上的两个点纵坐标相同，则这两个点关于对称轴对称.
【例如】若二次函数过点与（即纵坐标相同），则二次函数的对称轴为.
例1

若A（-1，7）、B（5，7）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的对称轴是（　　）
A．直线x=1
B．直线x=2
C．直线x=3
D．直线x=4


例2

下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…





0
…
y
…
4
0


0
a
…
其中，a的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
变1
抛物线y=ax2+bx+c过和两点，那么该抛物线的对称轴是_______．
变2
已知二次函数中x与y的部分对应值如表，则m的值为_______．
x


0
1
2
3
5
y


5
6
m
2

例3

已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表．则的值是_______．
x
…



0
…
y
…




…
例4

对于二次函数y=ax2+bx+c，令f（x）=ax2+bx+c，则f（x0）表示当自变量x=x0时的函数值．若f（5）=f（-3），且f（-2018）=2020，则f（2020）=（　　）
A．2020
B．2018
C．-2018
D．-2020
例5

若抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点A(m-1，n)、B(m+3，n),则n=_______．
变3
二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…





0
1
2
m
…
y
…

0

4

4

n

…
（1）这个二次函数的顶点坐标为_______，解析式中的_______；
（2）表中的m=_______，n=_______．
变4
二次函数经过，和，两点，则的值是（ ）
A．-4
B．-2
C．2
D．4


变5
已知二次函数自变量与函数值之间满足下列数量关系．则代数式的值等于_______．














变6
二次函数（，a，b，c为常数）的部分对应值列表如下：
x
…
-1
0
1
2
…
y
…

c

c
…
则代数式9a+3b的值为（        ）
A．4
B．5
C．6
D．7
类型五 利用增减性比较大小

例1

，，三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为_______．
【分析】函数的开口方向向______，对称轴是______，所以离对称轴越远函数值越______.
【解答】在、1和4中，它们距离非常轴的距离分别是_____、_____、_____，所以大小关系是__________.
例2

若点，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　）
A．
B．
C．
D．
变1
若函数y＝x2-4x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜2，则（　　）
A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．y1=y2
D．y1，y2的大小不确定
变2
已知（-1，y1），（-2，y2），（-4，y3）是抛物线y=2x2+8x+m上的点，则_______．
【分析】函数的开口方向向______，对称轴是______，所以离对称轴越远函数值越______.
【解答】在-1、-2和-4中，它们距离非常轴的距离分别是_____、_____、_____，所以大小关系是__________.
例3

已知二次函数（a为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（        ）
A．
B．
C．
D．
例4

在平面直角坐标系xOy中，已知点，，在抛物线上，若，则，，的大小关系为_______（用“<”表示）
变3
已知，，是抛物线上的三点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5

二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
1
m
n
1
…
下列判断正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
变4
点，，，，均在二次函数的图象上，则的大小关系是_______．
变5
若二次函数的图象经过，，，四点，则，，的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例6

在二次函数的图象上有，两点，若，则的取值范围是_______．
变6
已知二次函数（m为常数），点，是该函数图象上的点，若，则m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变7
二次函数（a为常数）的图象经过点、、．若，则a的取值范围为_______．
类型六 利用增减性求最值

例1

二次函数的最大值是_______，最小值是_______．
【分析】函数的开口方向向______，对称轴是______，所以离对称轴越远函数值越______.
【解答】-3和0谁离对称轴更远？______，所以当x=______时取最______值，为______；当x=______时取最______值，为______.
例2

二次函数，当时，y的取值范围为_______．
变1
已知抛物线，当时，则y的取值范围是_______．
【分析】函数的开口方向向______，对称轴是______，所以离对称轴越远函数值越______.
【解答】-2和4谁离对称轴更远？______，所以当x=______时取最______值，为______；当x=______时取最______值，为______.
变2
已知抛物线，当时，y的最小值为，则当时，y的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1
知识点三 二次函数的平移


内容
平移方法
左“+”右“-”，上“+”下“-”.
【注意】左右平移只能用“x”加减.
题型三 二次函数的平移

例1

将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是 _______．
【二次函数的平移】
第一步：将二次函数配成顶点式___________________；
第二步：利用左“+”右“-”，上“+”下“-”得出平移后的解析式：___________________.
例2

通过平移的图象，可得到的图象，平移方法正确的是（ ）
A．向左移动1个单位，再向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，再向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，再向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，再向下移动3个单位
例3

将二次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的图象的顶点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．



变1
将抛物线向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______．
【二次函数的平移】
第一步：将二次函数配成顶点式___________________；
第二步：利用左“+”右“-”，上“+”下“-”得出平移后的解析式：___________________.
变2
将抛物线先向左平移2个单位、再向下平移1个单位后，得到（ ）
A．
B．
C．
D．
变3
把抛物线经过平移得到，平移方法是（ ）
A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
例4

将某抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的表达式为，则原抛物线的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
变4
某抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的表达式为，则原抛物线的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5

将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
变5
将二次函数的图象向左平移m个单位后过点，则m的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
课后强化

1.将二次函数化成的形式，则变化后正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

2.二次函数的顶点坐标是（　　）
A．
B．
C．
D．
3.拋物线的顶点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.已知抛物线．

（1）请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象．



5.已知二次函数．

（1）用配方法将二次函数的表达式化为的形式；
（2）在平面坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）根据（2）中的图象，写出该二次函数的性质．


6.关于抛物线y=x2+2x﹣2，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上
B．顶点坐标为（1，-3）
C．函数的最小值是-3
D．对称轴为x=-1
7.若（2，5）（4，5）是抛物线上的两个点，则对称轴是（ ）
A．x=-
B．x=1
C．x=2
D．x=3
8.已知二次函数，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当x取时的函数值为（ ）
A．-1
B．-2
C．2
D．1
9.二次函数的与的部分对应值如下表：

-1
0
1
2
3
4

m
2
1
2
5
10
则m的值为_______．
10.二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如下表．下列结论错误的是（ ）

…
-1
0
1
2
3
…

…
0
3
4
3

…
A．a<0
B．
C．时，的值随的增大而增大
D．表中盖住的数是0
11.已知抛物线，若点，点，点在该函数图像上，用“”连接为_______．
12.已知抛物线，点，是抛物线上两点，若，则，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法比较
13.若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3-m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1< y2< y3
B．y1 < y3< y2
C．y3< y2< y1
D．y2< y3< y1


14.已知二次函数．当时，，且二次函数图象经过两点．则的大小关系为（　　）
A．m=n
B．
C．
D．无法判断
15.已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
16.已知二次函数，当时，y的取值范围是_______．
17.通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左移动2个单位，向上移动3个单位
B．向右移动2个单位，向上移动3个单位
C．向左移动2个单位，向下移动3个单位
D．向右移动2个单位，向下移动3个单位
18.将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
19.将二次函数的图象向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
20.将抛物线沿轴的正方向平移2个单位后能与抛物线重合，则抛物线的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
21.已知二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线的顶点恰好落在原抛物线图象上，则a的值为（ ）
A．
B．
C．
D．