2022高考数学选填经典题型汇编 题型16 取对数

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题型16   取对数【方法点拨】取对数是最易为学生所忽视的运算,当已知中出现复杂的指数式时,取对数往往就起到了”柳暗花明”的作用.【典型题示例】  例1   已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是       ．【答案】【解析】是偶函数，问题转化为，即（）有两个零点易知，两边均为曲线，较难求解.两边取自然对数，，即   问题即为：与有两个交点   先考察直线与相切，即只有一点交点的“临界状态”   设切点为，则，解得，此时切点为   代入   再求与有两个交点时，m的取值范围   由图象知，当在直线下方时，满足题意   故，解之得，此时也符合   所以实数m的取值范围是．点评：取对数的目的在于“化双曲为一直一曲”，简化了运算、难度，取对数不影响零点的个数.   例2   设正实数x，则的值域为_____．【答案】[0，]【分析】所求函数结构是商的形式，分子、分母又是指对运算，让人“雾里看花”一头雾水，无从下手.联想到“取对数”、“换元”，就可以“拨开浓雾终见日”了.【解析】当lnx≠0时，两边取对数得：令lnx＝t     ∴设∵∴当时，；当时，∴，∴，又lnx≠0时，∴的值域为[0，]，∴函数的值域为[0，]．例3   已知实数，满足，，则______.【答案】【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.【解法一】对两边取自然对数得：，对两边取自然对数得：    （※）为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：设，则所以在单调递增，的解只有一个.∴， ∴【解析二】实数，满足，，，，则，，所以在单调递增，而，.点评：两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.
【巩固训练】1.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<a<b2. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（   ）.                                 3.若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为       　 ．  4.若函数（且）的定义域[m，n] 上的值域是[m2，n2]（1<m<n），则实数a的取值范围是       ．5. 若函数（）有且只有三个零点，则实数a的取值范围是       ．6.已知变量(),且,若恒成立,则实数m的最大值是       ．
【答案与提示】1.【答案】A2. 【答案】【提示一】变形为，构造函数，等价转化为，即，只需，答案为.【提示二】变形为，两边取对数，构造函数，该函数单增，故等价转化为，即，只需，答案为.3 【答案】【提示】，，令，，.4.【答案】【提示】方法同例1.5. 【答案】【提示】，取对数得，即，分离函数转化为、有三个交点.6.【答案】e【提示】，则单增.