2023年河南省郑州外国语中学中考数学一模试卷(含解析)

2023年河南省郑州外国语中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年河南省在全民抗疫的同时，开展了各种夏收及播种保障工作，其中播种面积和总产量均继续保持全国第一，总产量和单产再创新高，中原粮仓再次稳稳扛起了保障国家粮食安全的重任，其中，小麦总产量亿斤，同比增长，数据“亿”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各项运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  一把直尺和一个含角的直角三角板按如图所示方式放置其中三角板的直角顶点落在直尺上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  年月日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，为了培养学生的历史自信、文化自信，某校举行“百日读百书”活动，下面是小明近周每周的读书时长折线统计图，根据统计图判断下列说法错误的是(    )
 

A. 小明近周每周读书时长的众数是和
B. 小明近周每周读书时长的中位数是
C. 小明近周每周读书时长的平均数是
D. 小明近周每周读书时长的方差是

7.  如图，在数学实践课上，某数学兴趣小组将两张矩形纸片重叠放置，重叠部分阴影部分为四边形下列说法正确的是(    )

A. 四边形一定为矩形
B. 四边形一定为菱形
C. 四边形一定为正方形
D. 四边形一定为平行四边形

8.  下列一元二次方程没有实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，在中，点点在轴正半轴上，点在第一象限内，，，过点作轴于点，平分交于点，则点的坐标(    )

A.  B.  C.  D.

10.  杆秤是人类发明的各种布器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器如图所示是数学兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，使用原理：将待测重物挂于秤钩处，提起提纽在秤杆上移动金属秤锤质量为当秤杆水平时，金属秤锤所在的位置对应的刻度就是重物的质量量程范围内为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下实验，用表示待测重物的质量，表示秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离，则距离与质量的关系如图所示根据以上信息，下列说法正确的是(    )
 

A. 重物的质量越大量程范围内，则金属秤锥与提纽的水平距离越大
B. 待测重物的质量为时，测得的距离为
C. 若金属秤锤移动到处时，测得距离为，则秤杆处的刻度应为
D. 若，则待测物体的质量为

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请写出一个在第一象限内随的增大而减小的函数表达式：______ ．

12.  不等式组的解集为______ ．

13.  某学校为了加强学生对体育锻炼的兴趣，特开展了篮球、足球、花样跳绳、体操四门课程，要求每位学生只能选择一门课程，小明和小红从中随机选取一门课程，恰好选中同一门课程的概率是______ ．

14.  如图，在扇形中，将弓形沿弦折叠，若，，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，在中，，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段，连接，，当时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
为落实“双减”政策，丰富学生课余生活，某按开展以下四种兴趣活动：文学鉴赏，：数学与生活，：豫州文化，：科学探索每位同学必须参与，且只能选择参加一种活动为了解全校名学生对四种活动的选择意向，某数学兴趣小组做了以下工作：
抽取名学生作为调查对象；
收集这名学生对四种活动的选择意向的相关数据；
整理数据并绘制统计图如图；
结合统计图分析数据并得出结论．
上述抽取名学生最合适的方式是______ 填序号
选择七年级上次数学测试前名的学生作为调查对象；
随机抽取八年级女生人作为调查对象；
随机抽取九年级男生人作为调查对象；
在全校随机抽取名学生作为调查对象．
学校规定每个兴趣活动小组的学生不超过人，且为每个小组配一名专业老师，则至少需要安排多少名专业老师去参与数学与生活兴趣小组？
该数学兴趣小组要根据以上调查信息在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上调查数据写出一条你获取的信息并进行评价．

18.  本小题分
如图，已知反比例函数的图象经过点，．
求反比例函数的解析式．
请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线要求：不
写作法，保留作图痕迹
设反比例函数图象与中所作垂直平分线交于点，请直接写
出点的坐标．

19.  本小题分
许昌文峰塔又称文明寺塔，位于河南省许昌博物馆内小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量文峰塔的高度如图，小刚在点处用测角仪测得塔顶端处的仰角为，再往前走到点处测得塔顶端处的仰角为，已知测角仪的高度为为即，测量点，与文峰塔的底部在同一水平直线上，请你帮小刚计算出文峰塔的高度结果保留一位小数参考数据：，，
 

20.  本小题分
某运动类商店准备购进一批足球和篮球共个，这两种球的进价和售价如下表所示：

若该商店计划销售完这批球后，可获利元，则足球和篮球分别需购进多少个？
根据市场调研，商店决定购进足球的数量不少于篮球的倍，求该商店购进足球和篮球各多少个时，才能使这批球全部销售完所获利润最大，最大利润为多少元？

21.  本小题分
年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷其中，滑雪运动备受人们青睐下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线，经研究该曲线呈抛物线形状某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台与水平地面平行高的处腾空滑出，在距点水平距离为的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为以滑雪台所在直线
为轴，过点作轴的垂线为轴建立平面直角坐标系完成以下问题：
求该抛物线的解析式；
当滑雪人员距滑雪台高度为，则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为．

22.  本小题分
水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，如图所示是一种水车的实物图，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成，某数学兴趣小组对其进行了研究，示意图如图所示，为立式水轮，水轮在水流的作用下，将水送至处，再经水槽送至处水渠，为水轮与水面的交汇处连接，，，交于点，连接，已知，与相切．
求证：为等腰三角形．
若米，米，且，求水渠离水面的高度．
 

23.  本小题分
综合与实践
在一次数学实践探究课上，老师带领学生对矩形纸片进行如下操作：
探究一：
如图，矩形纸片中，如图，点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使落在直线上，对应点为，折痕为猜想：，之间的位置关系是______ ；
探究二：
如图，将纸片任意翻折，折痕为在上，在上，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使点落在直线上，对应点为，折痕为．
猜想两折痕，之间的位置关系，并给出证明；
如图，连接，，若，求证：四边形是平行四边形．
探究三：
如图，若的角度在每次翻折的过程中都为，，，当为的三等分点时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
【解答】
解：的相反数是：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、正三棱柱的主视图是三角形，左视图是矩形，符合题意；
B、圆柱的主视图与左视图都是长方形，不合题意；
C、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，不合题意；
D、正方体的主视图和左视图相同，都是正方形，不合题意．
故选：．
分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体．
本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：和不能合并，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，去括号法则，幂的乘方与积的乘方和完全平方公式进行计算，再得出选项即可．
本题考查了合并同类项法则，去括号法则，幂的乘方与积的乘方和完全平方公式等知识点，能熟记合并同类项法则、去括号法则、幂的乘方与积的乘方和完全平方公式是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据，得出，由于为直角三角形，由此得出答案．
本题主要考查平行线的性质，求出的度数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知：
小明近周每周读书时长的众数是和，故选项A不符合题意；
小明近周每周读书时长的中位数是，故选项B不符合题意；
小明近周每周读书时长的平均数是，故选项C不合题意；
小明近周每周读书时长的方差为，故选项D符合题意．
故选：．
根据折线统计图给出的数据，对每一项进行分析，即可得出答案．
此题主要考查了折线统计图的运用，看懂折线统计图的变换趋势是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，作于，于．
纸条对边平行，
为平行四边形．
纸条等宽，
．
，
．
为菱形．
故选：．
首先，四边形显然是平行四边形．然后根据平行四边形的面积表达式，高相等则底相等，即邻边相等，说明为菱形
此题考查了矩形的性质和菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．利用了图形的等积表示法证明线段相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：，方程有两个不相等实数根，此选项错误，不合题意；
B.，方程有两个不相等的实数根，此选项错误，不合题意；
C.，方程没有实数根，此选项错误，符合题意；
D.，方程有两个相等的实数根，此选项错误，不合题意．
故选：．
求出每个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．
本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
轴于点，
，
，
解得：，
平分，
，
，
即，
解得：，
点，
，
，
点的坐标为：．
故选：．
由可得，则可求得，利用余弦可求得的长度，再由角平分线的定义可得，利用正切即可求的长度，从而可点的坐标．
本题主要考查解直角三角形，坐标与图形，解答的关键是以相应的知识的掌握与运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，重物的质量越大，则金属秤锥与提纽的水平距离越大，故A正确，符合题意；
由图可知，待测物体质量为，则秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离为，
待测重物的质量为时，测得的距离为，故B错误，不符合题意；
若金属秤锤移动到处时，测得距离为，则秤杆处的刻度应为，故C错误，不符合题意；
若，则待测物体的质量为，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据题意，即可判断A正确；由待测物体质量为，秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离为，可得待测重物的质量为时，测得的距离为，判断B错误；金属秤锤移动到为，则秤杆处的刻度应为，判断C错误；若，则待测物体的质量为，判断D错误，不符合题意．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设反比例函数的解析式为，
在第一象限内随的增大而减小，
，
函数解析式为答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
根据反比例函数的性质解答即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：把篮球、足球、花样跳绳、体操四门课程分别记为、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小红恰好选中同一门课程的结果有种，
小明和小红恰好选中同一门课程的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小红恰好选中同一门课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：作交延长线于，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的面积，
扇形的面积，
弓形的面积扇形的面积的面积，
由题意知：弓形的面积弓形的面积，
阴影的面积弓形的面积的面积．
故答案为：．
作交延长线于，由，得到，因此是等腰直角三角形，即可求出的长，求出的面积，求出扇形的面积，得到弓形的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，关键是求出的面积，弓形的面积．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当点在内部时，如图，连接，过点作于点，

由旋转的性质得，，
，
，
，
，，
，，
，
，
在中，；
当点在外部时，连接，过点作交的延长线于点，

同可得，，，，
，
在中，，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
分点在的内部和外部两种情形，分别画出图形即可解答．
本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】原式利用立方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：上述抽取名学生最合适的方式是在全校随机抽取名学生作为调查对象．
故答案为：；
人，
名，
答：至少需要安排名专业老师去参与数学与生活兴趣小组；
由统计图可知，文学鉴赏和数学与生活占比相同且最多，豫州文化所占比例最小．答案不唯一．
根据抽样调查的方法即可求解；
用乘样本中所占比例，估计学校参与数学与生活兴趣小组的人数，进而得出答案；
根据统计图数据解答即可．
本题考查了条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，，
反比例函数的解析式为；
如图所示；

反比例函数的解析式为经过点，
，
，
点是线段垂直平分线与线段的交点，
线段中点坐标为，
线段垂直平分线是第一三象限角平分线，
即，
解方程组，得舍去负值，
点的坐标为． 

【解析】根据反比例函数的图象经过点，解方程即可得到结论；
根据题目中的要求作出图象即可；
根据反比例函数的解析式为经过点，解方程得到，设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，根据线段垂直平分线的性质得到，解方程组即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，待定系数法求函数的解析式，正确地作出图象是解题的关键．
 

19.【答案】解：延长交于点，

由题意得：，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
文峰塔的高度约为． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：设需购进足球个，篮球个，
由题意得，，
解得，，
答：需购进足球个，篮球个．
设购进足球个，则购进篮球个，利润为元，
由题意得，，
，
，
，
随的增大而减小，
为整数，
当时，取得最大值吗，，
此时．
答：该商店购进足球个，篮球个时，所获利润最大，最大利润为元． 

【解析】设需购进足球个，篮球个，列出二元一次方程组求解即可．
设购进足球个，则购进篮球个，利润为元，列出与的函数关系式，根据的取值范围求得最大值即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系或不等关系，建立方程组、函数、不等式模型，进而求解．
 

21.【答案】解：抛物线的解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
抛物线的解析式为；
由知，抛物线的对称轴为直线，
当时，；
令，则，
解得或舍去，
，
他继续滑行的水平距离为米时，可以使他距滑雪台的高度为． 

【解析】设出抛物线解析式的顶点式，再把的坐标代入解析式求出即可；
分别把和代入解析式求出对应的，再作差即可．
本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
 

22.【答案】证明：连接，延长交于点，连接．
圆周角、都对着弧，
．
是的直径，
．
．
与相切，
．
．
．
，
．
．
为等腰三角形．
解：，，
∽．
．
．
在中，
，
米．
答：水渠离水面的高度为米． 

【解析】利用圆周角定理、等腰三角形的性质及角的和差关系先说明，再得结论．
先说明∽，再利用相似三角形的性质求出的长，最后在中，利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了圆的相关定理和计算，掌握切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：．
四边形为矩形，
，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
，
；
故答案为：；
证明如下：
四边形为矩形，
，
，
由折叠的性质可得，，，
，
；
证明：连接，，如图，

由知，，
四边形为矩形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
解：当时，过点作于点，如图，

，，
，，，
，
，
在中，，
；
当时，过点作的延长线于点，如图，

，，
，，，
，
，
在中，，
．
综上，的值为或．
由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是得到，进而得到，由内错角相等，两直线平行即可证明；
由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是，由内错角相等，两直线平行即可证明；
易通过证明≌，得到，则可根据“对边平行且相等的四边形为平行四边形”来证明；
分两种情况讨论：当时，过点作于点，则，，，易得，于是可得，则；当时，过点作的延长线于点，则，，，易得，于是可得，则．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、解直角三角形，正确理解题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．