2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学平行班高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学平行班高一（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学平行班高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设向量，，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
2．（5分）已知复数，则下列说法正确的是　　
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点在第二象限
C．
D．的共轭复数为
3．（5分）从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是　　
A．至少有一名男同学与都是男同学
B．至少有一名男同学与都是女同学
C．恰有一名男同学与恰有两名男同学
D．至少有一名男同学与至少有一名女同学
4．（5分）在中，，，，则此三角形解的情况是　　
A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解
5．（5分）如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为　　

A． B． C． D．
6．（5分）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．（5分）如图，点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是　　

A． B． C． D．
8．（5分）若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为　　
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则　　
A．平均数为3 B．标准差为
C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5
10．（5分）下列说法正确的是　　
A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125
B．若，是互斥事件，则（A）（B），
C．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人
D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
11．（5分）下列结论正确的是　　
A．在中，若，则
B．在中，若，则是锐角三角形
C．若，则三角形为等腰三角形
D．在锐角三角形中，
12．（5分）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是　　
A．
B．
C．过点的直线交、于、，若，，则
D．与共线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在中，，，，则其外接圆的面积为 　　．
14．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马” ，底面，，，则该“阳马”的最长棱长等于　　；外接球表面积等于　　．
15．（5分）某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子技”，“国学”三个社团的概率依次为，，，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，则的值是 　　．
16．（5分）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的是 　　．（写出所有正确的序号）
①平面平面
②直线与平面所成角是
③平面平面
④二面角余弦值为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知向量，，，．
（Ⅰ）若四边形是平行四边形，求，的值；
（Ⅱ）若为等腰直角三角形，且为直角，求，的值．
18．（12分）已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且满足．
（1）求复数；
（2）设复数满足：为纯虚数，，求的值．
19．（12分）在中，角，，对应的边分别是，，，已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积，，求的值．
20．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过的部分按0.5元收费，超过但不超过的部分按0.8元收费，超过的部分按1.0元收费．
（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：的函数解析式；
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图．若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占，求，的值；
（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75百分位数．

21．（12分）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，证明：．

22．（12分）夜晚，在侨中栋5楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事．完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度．图（1），博爱路沿线的水平路面上有两点，，其中指向正西方向．首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的，两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是准确的．

（1）通过计算说明百度地图测距是否准确？
（2）如图（2），小组在处测得完美大厦主楼楼顶在西偏北方向上，在处测得楼顶在西偏北方向上，且仰角；通过计算得，，，若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度（精确到1米）．

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学平行班高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设向量，，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据向量的坐标运算和向量的垂直和平行的关系，分别判断即可．
【解答】解：对于向量，，，，，故错误，
对于，故错误，
对于，，，，故正确，
对于，不平行于，故错误
故选：．
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的关系，属于基础题
2．（5分）已知复数，则下列说法正确的是　　
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点在第二象限
C．
D．的共轭复数为
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后分别判断四个选项即可．
【解答】解：，
的虚部为4，故错误；
在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故错误；
，故错误；
的共轭复数为，故正确．
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义和复数模的求法，是基础题．
3．（5分）从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是　　
A．至少有一名男同学与都是男同学
B．至少有一名男同学与都是女同学
C．恰有一名男同学与恰有两名男同学
D．至少有一名男同学与至少有一名女同学
【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
【解答】解：从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，
在中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故错误；
在中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故错误；
在中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，
但能同时不发生，是互斥而不对立的事件，故正确；
在中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故错误．
故选：．
【点评】本题考查互斥而不对立的事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）在中，，，，则此三角形解的情况是　　
A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解
【分析】由，及的值，利用正弦定理即可求出的值，发现的值有两种情况，即得到此三角形有两解．
【解答】解：由正弦定理得：，
即，
则或，
即此三角形解的情况是两解．
故选：．
【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．
5．（5分）如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为　　

A． B． C． D．
【分析】求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，若该图形为“和谐图形”，
则另外两个三角形上的数字之和恰为，
从1，2，3，4，5中任取两个数字的基本事件数为个，
其中“两个数字之和为6”的基本事件数为2个，
则所求概率为．
故选：．
【点评】本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．
6．（5分）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【分析】．若，，则，可由面面平行的条件判断；
．，，则，或；
．若，，则，可由面面垂直的判断定理作出判断；
．，，则或，异面．
【解答】解：．若，，则；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故不正确；
．，，则，或，故不正确；
．若，，则；此命题正确，因为，则一定存在直线在，使得，又可得出，由面面垂直的判定定理知，，正确；
．，，则或，异面，故不正确．
故选：．
【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，空间中两个平面的位置关系主要有相交与平行，相交中比较重要的位置关系是两面垂直，本题考查了利用基础理论作出推理判断的能力，是立体几何中的基本．
7．（5分）如图，点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是　　

A． B． C． D．
【分析】连接，证得，可得为异面直线与所成角，连接，设正方体的棱长为2，求解三角形可得异面直线与所成角的余弦值．
【解答】解：如图，
连接，，，
四边形为平行四边形，则，
则为异面直线与所成角，连接．
设正方体的棱长为2，则，．
．
即异面直线与所成角的余弦值是．
故选：．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．
8．（5分）若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为　　
A． B． C． D．
【分析】设球的半径为，则圆锥的底面半径为，设圆锥的高为，由体积相等可得与的关系，再求出圆锥的侧面积与球的表面积，作比得答案．
【解答】解：设球的半径为，则圆锥的底面半径为，设圆锥的高为，
由，得，得，
圆锥的母线长．
则圆锥的侧面积为，
球的表面积．
圆锥的侧面积与球的表面积之比为：．
故选：．
【点评】本题考查圆锥的体积与侧面积，考查球的表面积与体积，考查运算求解能力，是基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则　　
A．平均数为3 B．标准差为
C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5
【分析】把数据从小到大依次排列然后根据标准差公式，由此可求出标准差、众数、平均数．
【解答】解：平均数：
众数为：出现次数最多的2和3
标准差：，
将数据按从小到大顺序排列，则1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，
一共10个数，，
8.5不是整数，则第9项5是第85百分位数，
故选：．
【点评】主要考查标准差、众数、平均数的求法，是基础题，解题时要注意计算公式的合理运用．
10．（5分）下列说法正确的是　　
A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125
B．若，是互斥事件，则（A）（B），
C．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人
D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
【分析】甲乙两人各自解出的概率分别为0.5，0.25，求解出两人都不能解出此题的概率，其对立事件即为此题能被解出的概率，即可判断选项，根据互斥事件的定义，即可判断选项，结合分层抽样的计算方法，即可判断选项，根据已知条件，结合排列组合中的“捆绑法”，即可求解．
【解答】解：甲乙两人各自解出的概率分别为0.5，0.25，
此题不能解出的概率为，则此题能解出的概率为，故选项错误，
由于，是互斥事件，则（A）（B），，故选项正确，
由题意可得，高级教师应抽取人，故选项正确，
一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了分层抽样的性质和互斥事件的定义，以及排列组合中的“捆绑法”，需要学生较强的综合知识，属于中档题．
11．（5分）下列结论正确的是　　
A．在中，若，则
B．在中，若，则是锐角三角形
C．若，则三角形为等腰三角形
D．在锐角三角形中，
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用判断、、、的结论．
【解答】解：对于：在中，若，故，利用正弦定理：，故正确；
对于：在中，若，所以，所以：，故为锐角，但是并不能说明是锐角三角形，故错误；
对于：若，所以或，整理得：，或，则三角形为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于：在锐角三角形中，，所以，
则，故，同理：，故，故正确；
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12．（5分）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是　　
A．
B．
C．过点的直线交、于、，若，，则
D．与共线
【分析】根据外心在上的射影是的中点，利用向量数量积的定义即可判断选项，利用向量数量积的运算法则将变形，得到，利用三角形的外心的定义即可判断选项，利用三角形中线的定义，线性运算以及平面向量基本定理的推论即可判断选项，利用向量数量积的运算和向量垂直的条件可判断与垂直，从而可判断选项．
【解答】解：如图，设中点为，则，
所以，
所以
，故选项正确；
因为，所以，
则，故，
对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，
比如直角三角形中，若为直角顶点，
则为斜边的中点，与不垂直，故选项错误；
设的中点为，
则，
因为，，三点共线，
所以，则，故选项正确；
因为


，
所以与垂直，
又因为，
所以与共线，故选项正确．
故选：．


【点评】本题考查了命题真假的判断，主要考查了平面向量的综合应用，涉及了三角形外心、重心、垂心的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在中，，，，则其外接圆的面积为 　　．
【分析】由，可得；又根据余弦定理得计算出，从而根据可计算出外接圆的半径，最后根据圆的面积公式即可求出外接圆面积．
【解答】解：根据题意，由，，得；
又根据余弦定理得，
所以，则，解得，
所以外接圆面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
14．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马” ，底面，，，则该“阳马”的最长棱长等于　3　；外接球表面积等于　　．
【分析】由题意画出图形，利用勾股定理求得几何体最长棱长，再由分割补形法得到多面体外接球的半径，则球的表面积可求．
【解答】解：如图，

底面，底面为长方形，且，，
最长棱；
其外接球的半径为．
则其外接球的表面积为．
故答案为：3；．
【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，训练利用“分割补形法”求多面体外接球的半径，是基础题．
15．（5分）某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子技”，“国学”三个社团的概率依次为，，，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，则的值是 　　．
【分析】利用相互独立事件概率加法公式和对立事件概率计算公式列出方程组，能求出的值．
【解答】解：三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率加法公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（5分）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的是 　②③④　．（写出所有正确的序号）
①平面平面
②直线与平面所成角是
③平面平面
④二面角余弦值为

【分析】①反证法，假设平面平面，容易推出垂直于平面，从而，出矛盾；
②利用几何法找到其平面角为，求解即可判断；
③证明平面，从而得到平面平面；
④证明为二面角的平面角，求解三角形得二面角的余弦值判断．
【解答】解：在四边形中，由已知可得，假设平面平面，
又平面平面，且平面平面，可得平面，
有，与矛盾，则假设错误，故①错误；
在四边形中，由已知可得，
又平面平面，且平面平面，则平面，
为直线与平面所成角是，故②正确；
由判断②时可知，平面，则，又，，则平面，
而平面，则平面平面，故③正确；
由判断③时可知，平面，则为二面角的平面角，
设，则，由，得，得，故④正确．
判断正确的是②③④．
故答案为：②③④．

【点评】本题考查空间中平面与平面垂直、线面角与二面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知向量，，，．
（Ⅰ）若四边形是平行四边形，求，的值；
（Ⅱ）若为等腰直角三角形，且为直角，求，的值．
【分析】（Ⅰ）根据条件即可求出，根据四边形是平行四边形，即可得出，从而求出，；
（Ⅱ）可求出，根据为直角即可得出，从而得出①，而据题意可知，从而得出②，联立①②即可解出，．
【解答】解：（Ⅰ），，；
，；
四边形是平行四边形；
；
；
，；
（Ⅱ），；
为直角，则；
；
又；
，再由，解得：或．
【点评】考查向量减法的几何意义，向量坐标的减法和数量积运算，向量垂直的充要条件，以及根据向量坐标求向量长度的方法，相等向量的定义．
18．（12分）已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且满足．
（1）求复数；
（2）设复数满足：为纯虚数，，求的值．
【分析】（1）直接求解实系数一元二次方程可得值；
（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0可得，的关系式，结合求得，值，则答案可求．
【解答】解：（1），，
又复数在复平面内对应的点位于第二象限，
；
（2），
，
为纯虚数，
，
由，得，
联立可得，或，．
．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．
19．（12分）在中，角，，对应的边分别是，，，已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积，，求的值．
【分析】利用倍角公式和诱导公式即可得出；
由三角形的面积公式即可得到．又，解得．由余弦定理得，即可得出．又由正弦定理得即可得到即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，
即，解得（舍去）．
因为，所以．
（Ⅱ）由，得到．又，解得．
由余弦定理得，故．
又由正弦定理得．
【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．
20．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过的部分按0.5元收费，超过但不超过的部分按0.8元收费，超过的部分按1.0元收费．
（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：的函数解析式；
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图．若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占，求，的值；
（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75百分位数．

【分析】（1）由题目条件分别表示各段上的即可表示出分段函数的解析式；
（2）根据频率分布直方图得到，所满足的条件，求解即可；
（3）由图计算得到分位数在，内，列出方程即可得到答案．
【解答】解：（1）当时，；
当时，；
当时，，
所以，
（2）由（1）可知，当时，，即用电量低于400千瓦时的占，
结合频率分布直方图可知，
解得，；
（3）设分位数为，
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为，
用电量低于400千瓦时的占，所以分位数在，内，
所以，解得，
即用电量的分位数为375千瓦时．
【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
21．（12分）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，证明：．

【分析】（1）证明，推出，然后证明平面．
（2）在平面内，过作于，证明平面，推出，证明，得到平面，即可证明．
【解答】证明：（1）在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以（2分）
在中，，分别为，的中点，故，所以，（4分）
又平面，平面，
所以平面．（7分）
（2）在平面内，过作于，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，（11分）
又平面，所以，
在直三棱柱中，平面，平面，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以．．（14分）
注：作时要交代在平面内作或要交代垂足点，否则扣（1分）

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
22．（12分）夜晚，在侨中栋5楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事．完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度．图（1），博爱路沿线的水平路面上有两点，，其中指向正西方向．首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的，两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是准确的．

（1）通过计算说明百度地图测距是否准确？
（2）如图（2），小组在处测得完美大厦主楼楼顶在西偏北方向上，在处测得楼顶在西偏北方向上，且仰角；通过计算得，，，若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度（精确到1米）．
【分析】（1）设，利用等腰求出，求出，再利用正弦定理求得，余弦定理求得，求出的值，即可判断百度地图测距是否准确．
（2）由题意，利用余弦定理求出和，列方程求出、，再计算的值即可．
【解答】解：（1）设，所以等腰中，；
在中，，，，可得，
由正弦定理得，解得；
在中，由余弦定理得；
因为，所以，
又因为，所以百度地图测距是准确的．
（2）由已知，在中，，
设，则，由余弦定理得，
，
，
且，
所以，所以，解得，
所以，；
在中，，
所以，
即测得完美大厦主楼的高度约为．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．
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日期：2021/8/23 17:51:06；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394