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专题10 证明-2022-2023学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）
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这是一份专题10 证明-2022-2023学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版），文件包含专题10证明解析版docx、专题10证明原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共105页， 欢迎下载使用。
专题10证明
一、定义与命题
命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.
二、证明
证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.
证明的步骤：
1.根据题意，画出图形；
2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
3.写出证明过程.
推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理.
三、三角形的内角和定理及其推论
三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.
(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
(2)三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
(3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（4）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
四、互逆命题
每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.
反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.
类型一、判断真假命题
【解惑】
（2022秋·浙江杭州·八年级期末）下列句子中，属于命题的是（ ）
A．直线和垂直吗？ B．过线段的中点作的垂线
C．同旁内角不互补，两直线不平行 D．已知，求的值
【融会贯通】
1．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．三角形三条高的交点在三角形的内部
C．同旁内角互补 D．三角形的一个外角等于两个内角的和
2．（2023春·重庆巴南·七年级重庆巴南育才中学校校考阶段练习）下列命题中，真命题的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
B．互补的角是邻补角
C．内错角相等
D．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变
3．（2023春·福建福州·七年级校联考期中）对于命题“如果，那么，下面四组关于的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·广西南宁·七年级校考阶段练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．垂线段最短 D．两个锐角之和一定为钝角
5．（2021秋·浙江杭州·八年级统考期末）说明“若，则”是假命题的反例可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2023春·重庆江津·七年级重庆市江津中学校校考阶段练习）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①直线外一点到这条直线的垂线，叫点到直线的距离；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
类型二、反证法
【解惑】
（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明，“在中，、对边是a、b．若，则．”第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．（2022·浙江温州·瑞安市安阳镇滨江中学校考三模）用反证法证明“若，则”时，应假设（ ）
A． B． C． D．
2．（2019春·四川成都·八年级校联考期中）用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于”时，第一步应是
A．假设三角形三内角中至多有一个角不大于
B．假设三角形三内角中至少有一个角不小于
C．假设三角形三内角中至少有一个角大于
D．假设三角形三内角中没有一个角不大于（即假设三角形三内角都大于
3．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设_________．
4．（2023春·全国·八年级期中）用反证法证明某一命题的结论“”时，应假设___________．
5．（2018春·四川达州·八年级统考期末）用反证法证明：“三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中_____．
类型三、写出逆命题
【解惑】
（2023·江苏无锡·统考一模）有些真命题的逆命题也是真命题，在你学过的命题中，请写出一个这样的命题：______．
【融会贯通】
1．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）写出命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题__________.
2．（2023春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）“等边三角形的三个内角都得于”的逆命题是______．
3．（2022秋·山西·八年级期末）命题“如果，，那么”的逆命题是___________．
4．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）命题“如果三角形中有一个角是钝角，那么另两个角是锐角”的逆命题是：__________，这个逆命题是_______命题（填写“真”或者“假”）．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）“如果，那么”的逆命题为_____．
类型四、平行证明之“t”值
【解惑】
（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考期中）汉江是长江的最大支流，在历史上占居重要地位，常与长江、淮河、 黄河并列，舍称“江海河汉”．每年汛期来临之时，汉江防汛指挥部都会在一危险地带两岸各安置一组探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，已知灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，假定这一带汉江两岸河堤是平行的，即，且，转动时间是t秒．
(1)当 秒时，灯A射线第一次平分，此时灯A射线记为射线，当 秒时，灯A射线第一次与射线垂直；
(2)若两灯同时转动，秒时，两束光线所在直线的位置关系是______；（填“平行”或“垂直”）
(3)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行．
【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即为上两点，平分交于点为上一点，连接平分交于点．
(1)若，则_______；
(2)作交于点且满足，当时，试说明：；
(3)在（1）问的条件下，探照灯照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值．
2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
(1)填空：_________，_________．
(2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，
①请直接写出__________，________（结果用含n的代数式表示）；
②若恰好是的倍，求n的值．
(3)如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．
①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P．当时，则_______
②在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
3．（2023春·湖北省直辖县级单位·七年级统考阶段练习）已知，点是直线上一定点．
(1)如图1，现有一块含角的直角三角板（，，），将其点固定在直线上，并按图1位置摆放，使，点恰好落在射线上，此时，，求的度数；
(2)现将射线从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点顺时针旋转，转到与重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为秒，在旋转过程中，当与三角板的一边平行时，求的值；
(3)若将射线从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点顺时针旋转，同时，将三角板也从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与的角平分线交于点．
①如图2，当时，________度；
②如图3，当时，________度．
4．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图所示，，三角形的顶点E、顶点F分别在直线、直线上，点M在直线与直线之间，平分，
(1)如图1，已知平分，，则 ；
(2)如图2，已知点N为延长线上一点，且，请用含的式子表示的度数，并说明理由；
(3)如图3，在（2）问的条件下，，将三角形绕点F顺时针以每秒5°的速度旋转得三角形，将三角形绕点E顺时针以每秒3°的速度旋转得三角形，当首次旋转到直线上时三角形立刻绕点E逆时针以原速旋转，当旋转到直线上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出边与三角形的边平行时的旋转时间t的值．
类型五、平行证明之值不变
【解惑】
（2023春·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）已知直线直线c，直线直线c且垂足为A，点B、点C是直线a上的两点，连接AB、AC．
(1)如图1，若，作的平分线交于D，交直线c于点E；
①若，则的度数为______；
②求证：．
(2)如图2，点F为直线b的一点，若，点B在直线a上向右运动，的平分线交的延长线于点G，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．
【融会贯通】
1．（2023春·七年级单元测试）已知如图，两条射线，连结端点和.点是射线上不与点重合的一个动点，，分别平分和，交射线于点，.
(1)若，求的度数.
(2)与的比值是否发生变化?若不变，求出的值；若变化，请说明理由.
(3)若，当时，求的度数.
2．（2023春·江苏·七年级校联考期中）如图，在中，平分，点P为线段上一动点，过点P作交射线于点E．
(1)当时，求的度数；
(2)当点P在线段上运动时（点P与点A、点D不重合），设．猜想：的值是否变化？若不变，求出这个值；如变化，请说明理由．
3．（2023春·重庆渝北·七年级校联考阶段练习）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补．
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请直接写出其值．
4．（2023春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间的一点．．
(1)求证：；
(2)如图2，作，与的角平分线交于点F，若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，，已知，试探究的值，若不变求其值，若变化说明理由．
类型六、平行证明值数量关系
【解惑】
（2023春·福建三明·七年级统考期中）如图①，直线，直线EF和直线、分别交于C、D两点，点A、B分别在直线、上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
(1)如图①，若点P在线段CD上，，，求的大小；
(2)猜想：如图①，若点P在线段CD上移动，直接写出、、之间的数量关系；
(3)探究：如图②，若点P不在线段CD上，则（2）中的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由．
【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级期中）如图1， ，，，求度数．小明的思路是：过P作，如图2，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为 ；请说明理由；
(2)如图3，，点P在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．
2．（2023春·上海·七年级期中）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且．
(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．
①当点G在点F的右侧时，若，求β的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
3．（2023春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图，，点E为两直线之间的一点．
(1)如图1，若，，则 ；
如图1，若，，则 ；
(2)如图2，试说明，；
(3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由．
4．（2023春·福建·七年级期中）已知直线，点，分别在直线，上．
(1)如图①，当点在直线，之间时，连接，．探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②．在①的条件下，平分，平分，交点为．求与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，当点在直线，的下方时，连接，，平分，平分，的反向延长线交于点，若时，求的度数．
类型七、平行证明之用字母表示度数
【解惑】
（2023·全国·九年级专题练习）平移是一种常见的图形变换，如图1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，连接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，则称这样的平移为“平分平移”．
(1)如图1，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，请问AC和A1C1有怎样的位置关系： ．
(2)如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度数．
(3)如图3，在（2）的条件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度数．
(4)如图4，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC=，则∠BDC1= ．（用含的式子表示）
【融会贯通】
1．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）已知，，点C是直线，下方一点，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示）
(3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示）
2．（2023春·江苏无锡·七年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
(1)如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，若α＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
3．（2021春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，，点在直线上，点在直线和之间，，平分．
（1）求的度数（用含的式子表示）；
（2）过点作交的延长线于点，作的平分线交于点，请在备用图中补全图形，猜想与的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作的平分线交于点”改为“作射线将分为两个部分，交于点”，其余条件不变，连接，若恰好平分，请直接写出__________（用含的式子表示）．
4．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝α，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G．
（1）如图1，若点E在射线OC上，α＝60°，EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度数；
（2）如图2，点E在射线OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，求m的值及∠EGF的度数（用含有α的代数式表示）；
（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出∠EGF的度数（用含有a的代数式表示）
类型八、平行证明之角度比值
【解惑】
（2022·湖北宜昌·校考一模）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，
(1)求证：：
(2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出 ．
【融会贯通】
1．（2023春·七年级单元测试）已知：，点为射线上一点．
(1)如图1，写出、、之间的数量关系并说明理由；
(2)如图2，写出、、之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数．
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，，．
(1)求证：；
(2)若，试探索：，，的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，，，求的度数．
3．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，，的平分线交于点，＝．
(1)求证：＝；
(2)如图，若＝，的平分线交于点、交射线于点．求的度数；
(3)如图，线段上有一点，满足＝，过点作．若在直线上取一点，使＝，请直接写出的值．
4．（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图已知直线AB射线CD，∠CEB＝100°，P是射线EB上一动点，过点P作PQEC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数：
②若∠EGC－∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．
(2)在点P的运动过程中，当时，直接写出∠CPQ的度数．
5．（2022春·山东德州·七年级统考期末）如图1，，的平分线交于点G，．
(1)试说明：；
(2)如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分；
(3)如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值．
专题10证明
一、定义与命题
命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.
二、证明
证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.
证明的步骤：
1.根据题意，画出图形；
2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
3.写出证明过程.
推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理.
三、三角形的内角和定理及其推论
三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.
(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
(2)三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
(3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（4）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
四、互逆命题
每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.
反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.
类型一、判断真假命题
【解惑】
（2022秋·浙江杭州·八年级期末）下列句子中，属于命题的是（ ）
A．直线和垂直吗？ B．过线段的中点作的垂线
C．同旁内角不互补，两直线不平行 D．已知，求的值
【融会贯通】
1．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．三角形三条高的交点在三角形的内部
C．同旁内角互补 D．三角形的一个外角等于两个内角的和
2．（2023春·重庆巴南·七年级重庆巴南育才中学校校考阶段练习）下列命题中，真命题的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
B．互补的角是邻补角
C．内错角相等
D．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变
3．（2023春·福建福州·七年级校联考期中）对于命题“如果，那么，下面四组关于的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·广西南宁·七年级校考阶段练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．垂线段最短 D．两个锐角之和一定为钝角
5．（2021秋·浙江杭州·八年级统考期末）说明“若，则”是假命题的反例可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2023春·重庆江津·七年级重庆市江津中学校校考阶段练习）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①直线外一点到这条直线的垂线，叫点到直线的距离；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
类型二、反证法
【解惑】
（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明，“在中，、对边是a、b．若，则．”第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．（2022·浙江温州·瑞安市安阳镇滨江中学校考三模）用反证法证明“若，则”时，应假设（ ）
A． B． C． D．
2．（2019春·四川成都·八年级校联考期中）用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于”时，第一步应是
A．假设三角形三内角中至多有一个角不大于
B．假设三角形三内角中至少有一个角不小于
C．假设三角形三内角中至少有一个角大于
D．假设三角形三内角中没有一个角不大于（即假设三角形三内角都大于
3．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设_________．
4．（2023春·全国·八年级期中）用反证法证明某一命题的结论“”时，应假设___________．
5．（2018春·四川达州·八年级统考期末）用反证法证明：“三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中_____．
类型三、写出逆命题
【解惑】
（2023·江苏无锡·统考一模）有些真命题的逆命题也是真命题，在你学过的命题中，请写出一个这样的命题：______．
【融会贯通】
1．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）写出命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题__________.
2．（2023春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）“等边三角形的三个内角都得于”的逆命题是______．
3．（2022秋·山西·八年级期末）命题“如果，，那么”的逆命题是___________．
4．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）命题“如果三角形中有一个角是钝角，那么另两个角是锐角”的逆命题是：__________，这个逆命题是_______命题（填写“真”或者“假”）．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）“如果，那么”的逆命题为_____．
类型四、平行证明之“t”值
【解惑】
（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考期中）汉江是长江的最大支流，在历史上占居重要地位，常与长江、淮河、 黄河并列，舍称“江海河汉”．每年汛期来临之时，汉江防汛指挥部都会在一危险地带两岸各安置一组探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，已知灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，假定这一带汉江两岸河堤是平行的，即，且，转动时间是t秒．
(1)当 秒时，灯A射线第一次平分，此时灯A射线记为射线，当 秒时，灯A射线第一次与射线垂直；
(2)若两灯同时转动，秒时，两束光线所在直线的位置关系是______；（填“平行”或“垂直”）
(3)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行．
【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即为上两点，平分交于点为上一点，连接平分交于点．
(1)若，则_______；
(2)作交于点且满足，当时，试说明：；
(3)在（1）问的条件下，探照灯照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值．
2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
(1)填空：_________，_________．
(2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，
①请直接写出__________，________（结果用含n的代数式表示）；
②若恰好是的倍，求n的值．
(3)如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．
①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P．当时，则_______
②在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
3．（2023春·湖北省直辖县级单位·七年级统考阶段练习）已知，点是直线上一定点．
(1)如图1，现有一块含角的直角三角板（，，），将其点固定在直线上，并按图1位置摆放，使，点恰好落在射线上，此时，，求的度数；
(2)现将射线从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点顺时针旋转，转到与重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为秒，在旋转过程中，当与三角板的一边平行时，求的值；
(3)若将射线从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点顺时针旋转，同时，将三角板也从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与的角平分线交于点．
①如图2，当时，________度；
②如图3，当时，________度．
4．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图所示，，三角形的顶点E、顶点F分别在直线、直线上，点M在直线与直线之间，平分，
(1)如图1，已知平分，，则 ；
(2)如图2，已知点N为延长线上一点，且，请用含的式子表示的度数，并说明理由；
(3)如图3，在（2）问的条件下，，将三角形绕点F顺时针以每秒5°的速度旋转得三角形，将三角形绕点E顺时针以每秒3°的速度旋转得三角形，当首次旋转到直线上时三角形立刻绕点E逆时针以原速旋转，当旋转到直线上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出边与三角形的边平行时的旋转时间t的值．
类型五、平行证明之值不变
【解惑】
（2023春·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）已知直线直线c，直线直线c且垂足为A，点B、点C是直线a上的两点，连接AB、AC．
(1)如图1，若，作的平分线交于D，交直线c于点E；
①若，则的度数为______；
②求证：．
(2)如图2，点F为直线b的一点，若，点B在直线a上向右运动，的平分线交的延长线于点G，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．
【融会贯通】
1．（2023春·七年级单元测试）已知如图，两条射线，连结端点和.点是射线上不与点重合的一个动点，，分别平分和，交射线于点，.
(1)若，求的度数.
(2)与的比值是否发生变化?若不变，求出的值；若变化，请说明理由.
(3)若，当时，求的度数.
2．（2023春·江苏·七年级校联考期中）如图，在中，平分，点P为线段上一动点，过点P作交射线于点E．
(1)当时，求的度数；
(2)当点P在线段上运动时（点P与点A、点D不重合），设．猜想：的值是否变化？若不变，求出这个值；如变化，请说明理由．
3．（2023春·重庆渝北·七年级校联考阶段练习）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补．
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请直接写出其值．
4．（2023春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间的一点．．
(1)求证：；
(2)如图2，作，与的角平分线交于点F，若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，，已知，试探究的值，若不变求其值，若变化说明理由．
类型六、平行证明值数量关系
【解惑】
（2023春·福建三明·七年级统考期中）如图①，直线，直线EF和直线、分别交于C、D两点，点A、B分别在直线、上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
(1)如图①，若点P在线段CD上，，，求的大小；
(2)猜想：如图①，若点P在线段CD上移动，直接写出、、之间的数量关系；
(3)探究：如图②，若点P不在线段CD上，则（2）中的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由．
【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级期中）如图1， ，，，求度数．小明的思路是：过P作，如图2，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为 ；请说明理由；
(2)如图3，，点P在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．
2．（2023春·上海·七年级期中）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且．
(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．
①当点G在点F的右侧时，若，求β的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
3．（2023春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图，，点E为两直线之间的一点．
(1)如图1，若，，则 ；
如图1，若，，则 ；
(2)如图2，试说明，；
(3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由．
4．（2023春·福建·七年级期中）已知直线，点，分别在直线，上．
(1)如图①，当点在直线，之间时，连接，．探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②．在①的条件下，平分，平分，交点为．求与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，当点在直线，的下方时，连接，，平分，平分，的反向延长线交于点，若时，求的度数．
类型七、平行证明之用字母表示度数
【解惑】
（2023·全国·九年级专题练习）平移是一种常见的图形变换，如图1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，连接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，则称这样的平移为“平分平移”．
(1)如图1，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，请问AC和A1C1有怎样的位置关系： ．
(2)如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度数．
(3)如图3，在（2）的条件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度数．
(4)如图4，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC=，则∠BDC1= ．（用含的式子表示）
【融会贯通】
1．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）已知，，点C是直线，下方一点，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示）
(3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示）
2．（2023春·江苏无锡·七年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
(1)如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，若α＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
3．（2021春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，，点在直线上，点在直线和之间，，平分．
（1）求的度数（用含的式子表示）；
（2）过点作交的延长线于点，作的平分线交于点，请在备用图中补全图形，猜想与的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作的平分线交于点”改为“作射线将分为两个部分，交于点”，其余条件不变，连接，若恰好平分，请直接写出__________（用含的式子表示）．
4．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝α，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G．
（1）如图1，若点E在射线OC上，α＝60°，EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度数；
（2）如图2，点E在射线OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，求m的值及∠EGF的度数（用含有α的代数式表示）；
（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出∠EGF的度数（用含有a的代数式表示）
类型八、平行证明之角度比值
【解惑】
（2022·湖北宜昌·校考一模）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，
(1)求证：：
(2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出 ．
【融会贯通】
1．（2023春·七年级单元测试）已知：，点为射线上一点．
(1)如图1，写出、、之间的数量关系并说明理由；
(2)如图2，写出、、之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数．
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，，．
(1)求证：；
(2)若，试探索：，，的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，，，求的度数．
3．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，，的平分线交于点，＝．
(1)求证：＝；
(2)如图，若＝，的平分线交于点、交射线于点．求的度数；
(3)如图，线段上有一点，满足＝，过点作．若在直线上取一点，使＝，请直接写出的值．
4．（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图已知直线AB射线CD，∠CEB＝100°，P是射线EB上一动点，过点P作PQEC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数：
②若∠EGC－∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．
(2)在点P的运动过程中，当时，直接写出∠CPQ的度数．
5．（2022春·山东德州·七年级统考期末）如图1，，的平分线交于点G，．
(1)试说明：；
(2)如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分；
(3)如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值．
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