重庆市荣昌安富中学校2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

重庆市荣昌安富中学校2022-2023学年度高中数学3月月考考试卷

考试范围：第一章至第六章；考试时间：120分钟；

启用时间：2023年3月23日

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（共40分）

1. 化成弧度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用弧度与角度的转化公式即可

【详解】根据角度制转化弧度制公式得.

故选：A.

2. 设，，若，则实数的值等于（    ）

A －8 B. 2 C. 4 D. －2

【答案】B

【解析】

【分析】根据即可得出，解出即可．

【详解】，，且，

，解得．

故选：．

【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．

3. 在中，已知，，，则等于（    ）

A.  B. 7 C.  D. 19

【答案】A

【解析】

【分析】利用余弦定理列出关系式，将，及的值代入即可求出的值．

【详解】在中，，，，

由余弦定理得：，

则．

故选：．

【点睛】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

4. 的值为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正切的差角公式逆用可得答案．

【详解】，

故选：B．

5. 如图，在中，，，若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出，得λ＝，μ＝，即得解.

【详解】

因为＋μ，

所以λ＝，μ＝，

则λ＋μ＝＋＝.

故选：B

6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题可得，解之即得.

【详解】∵在上单调递增，

∴，解得，

故实数的取值范围是

故选：C

7 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由得，然后利用诱导公式计算即可.

【详解】因为，

所以，

所以

，

故选：D.

8. 如图，在离地面热气球上，观察到山顶处的仰角为，在山脚处观察到山顶处的仰角为60°，若到热气球的距离，山的高度，，则（    ）

A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据直角三角形的性质得到，在中，由正弦定理得到，从而得到或，再分类讨论即可得到的值.

【详解】在中，，，

∴

在中，由正弦定理知，

解得，∴或120°.

当时，则，，

所以，

当时，，，

.

∴.

故选：D

二、多选题（共0分）

9. 下列有关向量命题，不正确的是（    ）

A. 若，则 B. 已知，且，则

C. 若，则 D. 若，则且

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项．

【详解】向量由两个要素方向和长度描述，A错；若，且与垂直，结果成立，但不一定等于，B错；相等向量模相等，方向相同，D选项对．

故选：AB．

10. 给出的下列命题中，正确的命题有（    ）

A. 若，则．

B. 命题，的否定为：，．

C. 若，，则角的终边在第三象限．

D. 若是第二象限角，则是第一象限角．

【答案】BC

【解析】

【分析】利用特殊值代入可判断A错误；根据含有一个量词命题的否定即可得B正确；由三角函数值的符号可判断出角所在的象限，可知C正确；由的范围可确定是第一或第三象限角，可知D错误.

【详解】对于A，取可知，所以A错误；

对于B，根据含有一个量词命题的否定可知，命题，的否定为，，所以B正确；

对于C，由可得为第三象限或第四象限角，可知为第一象限或第三象限角，所以角的终边在第三象限，选项C正确；

对于D，若是第二象限角，即，则，所以是第一象限或第三象限角，所以D错误.

故选：BC

11. 下列四个结论正确的是（　　）

A. 若平面上四个点P，A，B，C，，则A．B，C三点共线

B. 已知向量，若，则为钝角.

C. 若G为△ABC的重心，则

D. 若，△ABC一定为等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A，利用共线向量定理判断，对于B，举例判断，对于C，由重心性质判断，对于D，利用三角函数的性质判断

【详解】对于A，由，所以，即，所以共线，因为有公共端点，所以A．B，C三点共线，所以A正确，

对于B，当时，，此时，则的夹角为，不是钝角，所以B错误，

对于C，延长，交于，因为G为△ABC的重心，所以为的中点，，

所以，所以，所以，所以C正确，

对于D，因为，，所以或，所以或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以D错误，

故选：AC

12. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（    ）

A.

B. 在上单调递增

C. 的解集为

D. 将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

【答案】AC

【解析】

【分析】根据函数图象易得与周期，即可求出，再利用待定系数法求出，即可求出函数解析式，即可判断A；结合正弦函数的单调性代入验证即可判断B；根据正弦函数的性质解不等式即可判断C；根据平移变换求出变换后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性即可判断D.

【详解】解：由图可得，

，所以，所以，

所以，

将点代入得，，即，

又，所以，

所以，故A正确；

当，则，

所以函数在上不单调递，故B错误；

若，则，

所以，

即，

所以的解集为，故C正确；

将的图像向左平移个单位长度，

可得函数，

则函数为偶函数，关于轴对称，故D错误.

故选：AC.

第II卷（非选择题）

三、填空题（共20分）

13. ______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式进行求解即可.

【详解】

，

故答案为：

14. 函数，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据分段函数的取值代入对应的解析式计算即可求解.

【详解】因为，所以，

又，所以，

所以，

故答案为：.

15. 已知向量与的夹角为，，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】先求，展开将已知条件代入即可求解.

【详解】

.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查向量模的计算，向量数量积运算，属于基础题.

16. 在中，角，，的对边分别为，，，且面积为，则面积的最大值为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据三角形的面积为：，结合余弦定理得到，进而求得，再由余弦定理结合不等式求得，然后由求解.

【详解】因为三角形的面积为：

所以，

即，

因为，

所以，

由余弦定理得，

所以，当且仅当a=c时，取等号，

所以，

故答案为：

【点睛】本题主要考查三角形面积公式，余弦定理和基本不等式应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

四、解答题（共70分）

17. 已知，.

（1）若与的夹角为，求；

（2）若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可；

（2）根据解方程即可得答案.

【小问1详解】

解：

【小问2详解】

解：∵向量与互相垂直，

∴，整理得，又，，

∴，解得.

∴当时，向量与互相垂直.

18. 求解下列小题.

（1）计算：

（2）已知，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接根据指数和对数的运算性质计算即可；

（2）先利用诱导公式变形得到，然后将目标式转化为用表示，再代入的值即可.

【小问1详解】

【小问2详解】

由得，

，

19. 已知定义在上的函数.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）奇函数；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用奇偶函数的定义即可判断；

（2）利用函数的单调性和奇偶性列不等式即可

【小问1详解】

因为，

所以函数是定义在上的奇函数；

小问2详解】

中，函数单调递减，单调递增，故在上单调递增，

故原不等式化为，

∴即恒成立，

∴，解得，

所以实数m的取值范围

20. 已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且.

（1）求；

（2）若，求△ABC的面积S的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题及正弦定理可得，，利用诱导公式化简可得，即可求得；

（2）先求出，利用三角形的面积公式直接求得.

【小问1详解】

对于，

由正弦定理可得，即.

因为，所以，所以.

因为，所以，所以，所以.

【小问2详解】

因为，所以，所以.

因为，所以,.

21. 已知向量，，函数．

（1）求的单调递减区间；

（2）把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出的解析式，利用整体代入法求的单调递减区间；

（2）先根据图象变换求出的解析式，再求在上的值域．

【小问1详解】

因向量，，函数．

所以.

要求的单调递减区间，只需,

解得：，

即的单调递减区间为.

【小问2详解】

把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，即.

因为，所以.

因为在上单增，在上单减，且时最小，；时，.

所以，即在上的值域为.

22. 如图，在平面四边形ABCD中，.

（1）若，求线段AC的长：

（2）求线段AC长的最大值．

【答案】（1）；   

（2）6.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出BD，再利用余弦定理计算作答.

（2）设，在中用余弦定理求出BD，用正弦定理表示出，再在中，利用余弦定理列式求解作答.

【小问1详解】

在中，，，由余弦定理得：

，即，解得，

在中，，由余弦定理得：，

所以.

【小问2详解】

设，

在中，由余弦定理得：，

由正弦定理得：，，

在中，由余弦定理得：

，

当且仅当，即时取“=”，此时，

所以当时，线段AC长取最大值6.

【点睛】方法点睛：三角形中已知两边及一边对角求第三边，可以利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解.