重庆市第一中学2022-2023学年高二数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

2023年重庆一中高2024届高二下期3月月考

数学测试试题卷

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若，则（    ）

A.  B. 或 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由组合数的性质可求得的值.

【详解】因为，则或，所以，或.

故选：B.

2. 已知一组样本数据，，，，的平均数为2，则（    ）

A. 0 B. 2 C. 2.5 D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】能够识别求和符号，利用平均数的知识即可求解.

【详解】 .

故选：A.

3. 若，则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用赋值法构造关于的方程，解之即可取得的值.

【详解】令，由

可得

即

故选：C

4. 某校为了了解同学们参加社会实践活动的意向，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取200人进行调查，已知该校高一年级学生有1300人，高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（    ）

A. 50人 B. 60人 C. 65人 D. 75人

【答案】D

【解析】

【分析】根据分层抽样的定义求解即可.

【详解】由题可知，三个年级共有人，

抽样比例为，

则抽取的学生中，高三年级有人.

故选：D.

5. 已知正项数列中，，则数列的前120项和为（    ）

A. 4950 B. 10 C. 9 D.

【答案】B

【解析】

【分析】先利用题给条件求得，进而求得，再利用裂项相消法即可求得数列的前120项和.

【详解】由，可得数列是首项为1公差为1的等差数列，

则，又，则，

则

则数列的前120项和为

故选：B

6. 某班级周三上午共有5节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理.数学必须安排，且连续上两节，但不能同时安排在第二三节，除数学外的其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共有（    ）

A. 48种 B. 60种 C. 72种 D. 96种

【答案】B

【解析】

【分析】先安排数学，当数学排在第一二节时，第三四五节可任意安排；当数学排在第三四节或第四五节时，先给第一节排课，再给余下的节次排课即可解决.

【详解】分三类讨论：

（1）当数学排在第一二节，则语文、英语、体育和物理任选三科排在

第三四五节即可，共有种方法；

（2）当数学排在第三四节，则在语文、英语和物理中任选一科排在第一节，

再在包含体育余下的三科中任选二科排在第二五节即可.共有种方法；

（3）当数学排在第四五节，则在语文、英语和物理中任选一科排在第一节，

再在包含体育余下的三科中任选二科排在第二三节即可.共有种方法；

则符合要求的方法总数为

故选：B

7. 将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派1名志愿者，A表示事件“志愿者甲派往①社区”；B表示事件“志愿者乙派往①社区”；C表示事件“志愿者乙派往②社区”，则（    ）

A. 事件A、B同时发生的概率为

B. 事件A发生的条件下B发生的概率为

C. 事件A与B相互独立

D. 事件A与C为互斥事件

【答案】B

【解析】

【分析】根据互斥独立的概率公式乘法公式和判定方法，可判定A、C不正确；利用条件概率的计算公式，可判定B正确，结合互斥事件的概念与判定，举例可判定D错误.

【详解】由题意，每个社区至少派1名志愿者的所有可能情况有种分法，

事件A表示志愿者甲派往①社区的分法有，所以,

同理可得，，则，

所以A、B不相互独立，所以A、C不正确；

又由，所以B正确；

例如：事件D:甲、乙派到①，丙派到②，丁派到③和事件E:甲派到①，乙、丙派到②，丁派到③，此时事件A与事件C同时发生，所以A与C不互斥，所以D错误.

故选：B.

8. 已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设椭圆的左焦点为，连接、、，推导出四边形为矩形，设，在中，利用勾股定理可解得，然后在中，利用勾股定理可求得椭圆的离心率的值.

【详解】解：如图，设椭圆的左焦点为，连接、、，

由题意可知，、关于原点对称，且为的中点，

所以四边形为平行四边形，

又因为，所以四边形为矩形.

因为，设，，

则，，

所以，，

在中，，即，

解得，所以，，，

在中，由勾股定理可得，即，

整理可得，解得.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ）

A. 图中x的值为0.020

B. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有60人

C. 估计全校学生成绩的中位数约为87.7

D. 估计全校学生成绩的众数为95

【答案】BD

【解析】

【分析】求得x的值判断选项A；求得在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生人数判断选项B；求得在被抽取的学生中成绩的中位数判断选项C；求得被抽取的学生成绩的众数判断选项D.

【详解】选项A：由，可得.判断错误；

选项B：在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有人.判断正确；

选项C：在被抽取的学生中，

成绩在区间内的学生频率为，

成绩在区间内的学生频率为，

则估计全校学生成绩的中位数约为.判断错误；

选项D：被抽取的学生中众数为95，则估计全校学生成绩的众数为95. 判断正确.

故选：BD

10. 对于函数，下列说法正确的有（    ）

A. 的单调递减区间为

B. 处取得极大值

C. 只有一个零点

D.

【答案】BC

【解析】

【分析】求导，再根据导函数的符号即可求出函数的单调区间，即可判断A；根据极值的定义即可判断B；根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断C；根据函数的单调性即可判断D.

【详解】，

当时，，当时，，

所以函数的单调递减区间为，单调增区间为，故A错误；

在处取得极大值，故B正确；

因为，

所以函数在上有唯一零点，

又因当时，，则，

所以函数在上不存在零点，

综上只有一个零点，故C正确；

因为的单调递减区间为，，

所以，故D错误.

故选：BC.

11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ）

A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为

B. 第二次抽到3号球的概率为

C. 如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大

D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用贝叶斯公式求解；对于D，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解.

【详解】记第一次抽到第号球的事件分别为则有

对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为故A选项正确；

对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，即第二次抽到3号球的事件为，，

故B选项正确；

对于C，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，

记第二次抽到3号球的事件为，,

第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同，

即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C选项正确；

对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D选项错误；

故选：ABC.

12. 冬春季节，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作，有专业机构认为某地区在一段时间内没有发生大规模群体发热现象的标志为“连续10天，该地区每天新增疑似发热病例不超过7人”.下列连续10天疑似发热病例人数的统计特征数中，能判定该地没有发生群体性发热的为（    ）

A. 总体平均数为2，总体标准差为

B. 总体平均数为4，总体方差为

C. 总体平均数为3，中位数为4

D. 总体平均数为2，第65百分位数为5

【答案】ABD

【解析】

【分析】先假设的取值，然后根据数据的数字特征，得出选项ABD正确.

【详解】解：将10个数由小到大依次记为，，，，，，，，，.

对于A选项，假设，则方差，标准差大于，矛盾，故假设不成立，A选项正确；

对于B选项，假设，则方差，矛盾，故假设不成立，B选项正确；

对于C选项，当这10个数分别为0，0，0，2，4，4，4，4，4，8时，满足平均数为3，中位数为4，C选项不符合要求；

对于D选项，假设，因为第65百分位数为5，所以，故平均数

，矛盾，故假设不成立，D选项正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在的展开式中，第3项和第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为_____.

【答案】10

【解析】

【分析】先求得二项式幂次n的值，再利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中含项的系数.

【详解】在的展开式中，第3项和第4项的二项式系数最大，

则的展开式共6项，则

则

令，则，则展开式中含项的系数为

故答案为：10

14. 透明袋子中装有黑球1个、白球3个，这些球除了颜色外无其他差别. 从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，求前后两次摸出的球都是白球的概率为___________.

【答案】

【解析】

【分析】列出所有情况，根据古典概率公式求解即可.

【详解】前后两次所有的情况为：

（黑，黑），（黑，白1），（黑，白2），（黑，白3），

（白1，黑），（白1，白1），（白1，白2），（白1，白3），

（白2，黑），（白2，白1），（白2，白2），（白2，白3），

（白3，黑），（白3，白1），（白3，白2），白3，白3），

则前后两次摸出的球都是白球的概率为.

故答案为：.

15. 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数.设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是___________.

【答案】29

【解析】

【分析】分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解

【详解】显然a，b，c，d均为不超过6的自然数，下面进行讨论．

最大数为6的情况：

①，此时共有种情况；

最大数为5的情况：

②，此时共有种情况；

当最大数为4时，

③，此时共有种情况；

当最大数为3时，

③，此时共有种情况；

综上，满足条件的有序数组的个数是．

故答案为：29.

16. 已知数列前项和为，满足（是常数，），且，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由与的关系推导出数列为等比数列，再利用等比数列的基本性质可求得的值.

【详解】对任意的，（是常数，），

当时，，可得，

当时，，

所以，，

所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，

.

故答案为：.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．

（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰概率；

（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；

【答案】解：（Ⅰ） ；（Ⅱ）

【解析】

【详解】（Ⅰ）设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题” ．

由已知，，，．

（Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则

（Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则

18. 在数列中，．

（1）求证：是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）满足不等式成立的k的最大值．

【答案】（1）证明见解析，   

（2）4

【解析】

【分析】（1）根据所给递推公式，化简可得判断为等差数列，再根据等差数列的通项公式求解即可；

（2）由（1）知，再裂项相消求解，根据不等式求解即可.

【小问1详解】

因为，所以，否则与矛盾，故，等式两边同除以可得，

又，数列是以3为首项，2为公差的等差数列，

所以，

因此．

【小问2详解】

由（1）知，，

，

,

,即，

，故k的最大值为4．

19. 随机抽取100名男学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示

（1）求身高在170cm及以上的学生人数；

（2）估计该校100名学生身高的75%分位数.

（3）据统计，身高在，，时，体重超过70kg概率分别为、、.现在从身高在[170，185]的学生中任选一个学生，估计其体重超过70kg的概率.

【答案】（1）60人    （2）176.25   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据频率和为1列出方程，可得，进而结合频率公式进行求解即可；

（2）先求出和的人数占比，可得该校100名生学身高的75%分位数落在，进而列出方程即可求解；

（3）根据全概率公式求解即可.

【小问1详解】

由频率分布直方图可知，解得.

身高在170cm及以上的学生人数.

【小问2详解】

的人数占比为，

的人数占比为，

所以该校100名生学身高的75%分位数落在.

设该校100名生学身高的75%分位数为x.

则%， 解得，

故该校100名生学身高的75%分位数为176.25.

【小问3详解】

设从身高在[170，185]的学生中任选一个身高在，，分别为事件，，，

体重超过70kg为事件B．

则，，两两互斥，且，

由条件知，

，

由全概率公式可知

.

20. 在二项式的展开式中，前三项的系数依次为M，P，N，且满足.

（1）若直线l：系数a，b，c（）为展开式中所有无理项系数，求不同直线l的条数；

（2）求展开式中系数最大的项.

【答案】（1）10；    （2），.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，求出n值并求出展开式的通项，再利用组合求解作答.

（2）由（1）中通项公式，列出不等式组，求出系数最大的项作答.

【小问1详解】

二项式的展开式中，，

依题意，，即，显然，解得，

展开式的通项为，

当不是整数，即时，是无理项，

当r分别取1，2，3，5，6，7时，对应项的系数分别为，

从的5个数中取3个不同数分别为使，有种取法，每种取法确定一条直线，

所以不同直线l的条数是10.

【小问2详解】

由（1）知，展开式的通项为，

令第项的系数最大，则有，即，

整理得，解得，而，因此或，

所以展开式中系数最大的项是，.

21. 已知C：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线m交直线m于点E.

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）①若线段EN必过定点P，求定点P的坐标；

②点O为坐标原点，求面积的最大值.

【答案】（1）   

（2）① ；②.

【解析】

【分析】(1) 椭圆 的上顶点到右顶点的距离为 , 离心率为 , 列出方程, 求解 , 得到椭圆的标准方程.
(2)①设直线 方程: , 联立直线与椭圆方程, 利用韦达定理求解直线 方程, 然后得到定点坐标.
②由（1）中 , 利用弦长公式, 求解三角形的面积表达式, 然后求解最大值即可.

【小问1详解】

由题意可得:

故椭圆的标准方程为 .

【小问2详解】

证明:
①由题意知, ,
设直线 方程: ,
联立方程 , 得 ,

所以 ,

所以 ,

又 ,

所以直线 方程为: ,

令 , 则 .

所以直线 过定点 .
② 由①中 , 所以 ,
又 ，
所以 ,
令 , 则 ,
令 , 当 时, ,

故 在 上单调递增,
则 在 上单调递减,
即 在 上单调递减,
所以 时, .

22. 已知函数（其中为自然对数的底数）.

（1）求函数的最小值；

（2）求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）求出导函数，由的正负确定单调性，极值，从而得最小值．

（2）引入新函数，求导函数，由的单调性（再用导数判断）结合零点存在定理得存在零点，也是的最小值点，同时得出的性质，然后求出，再根据的范围证明（注意引入新函数）．

【详解】（1）因为，所以

当时，，单调递减

当时，，单调递增

所以

（2）证明：要证，

只需证明：对于恒成立，

令，则，

当时，令，则，在上单调递增，即在上为增函数

又因，

所以存在使得

由

得即即即

所以当时，，单调递减

当时，，单调递增

所以，

令，

则

所以在上单调递增，所以，

所以，所以，

即．

【点睛】方法点睛：本题考查主函数的最值，证明不等式成立．本题证明不等式成立可变形为求函数的最小值大于0，引入新函数，利用导数确定单调性，极值点（最值点），由于这个极值点不能直接求出，可用零点存在定理确定其范围，然后得出这个零点的性质，便于化简最小值，再根据的范围，证明即可．