2023年湖北省襄阳市襄州区中考数学模拟试卷

2023年湖北省襄阳市襄州区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，，五个数中，正数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  下列四个几何体中，左视图与俯视图相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  电影长津湖备受观众喜爱，截止到年月初，累计票房亿元，亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列说法中，正确的是(    )

A. 一组数据，，，，，的中位数是
B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式
C. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定
D. 分别写有三个数字，，的三张卡片卡片的大小形状都相同，从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为

7.  如图，在中，点，，分别在边，，上，且，下列四个判断中，不正确的是(    )

A. 四边形是平行四边形
B. 如果，则四边形是矩形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若且，则四边形是正方形
 

8.  算法统宗是我国明代数学家程大位的主要著作在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“甜果苦果”就是其中一首．“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑”大意是说：用文钱共买了个甜果和苦果，其中文钱可以买苦果个，文钱可以买甜果个，请问甜、苦果各买几个？若设苦果买个，买甜果个，可以列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  若点，，均在函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若代数式有意义，则的取值范围是______ ．

12.  若不等式组的解集为，则 ______ ．

13.  “二十大”报告中对新时代好青年提出了四个要求：“有理想”“敢担当”“能吃苦”“肯奋斗”，现有四张卡片，正面分别写有这四个词语，它们除此之外完全相同，现反面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下词语后放回洗匀；再随机抽取一张，则这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的概率是______ ．

14.  根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间的函数关系是：，则小球运动中的最大高度是          

15.  已知的半径为，弦，弦，则的度数为______ ．

16.  在中，，是的中点，平分交于点，连结交于点若，，则的长是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
为庆祝中国共产党成立周年，某中学举行党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩得分满分分按四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次抽查的学生人数是        人，圆心角        ；
补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级；
学校计划给参加党史竞赛获得良好、优秀两个等级的同学每人分别奖励价值元、元的学习用品，该校共有名学生参加党史竞赛，试估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用．

19.  本小题分
如图，某城市的一座古塔坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量古塔的高度，在点处测得塔尖点的仰角为，沿射线方向前进米到达湖边点处，测得塔尖点在湖中的倒影的俯角为，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度结果精确到参考数据：，，．

20.  本小题分
如图，在平行四边形中，是对角线．
用基本尺规作图完成以下作图：取边的点，使得，并延长与的延长线相交于点，再连接；
若，猜想四边形的形状，并说明理由．

21.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程有两个不相等的实数根；
如果方程的两实根为、，且，求的值．

22.  本小题分
如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点．
证明：是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积．

23.  本小题分
民族要复兴，乡村必振兴，襄阳市某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如表：

设购买这种新产品千克，所需费用为元根据以上信息回答下列问题：
直接写出两种销售模式对应的函数解析式．
为了脱贫致富，发挥社员劳动工作积极性，合作社决定搞承包销售制村民小明经过与合作社协商，决定以元千克承包千克该商品进行线上和线下销售，小明通过对市场调查发现，当线上销售量不少于千克且不多于千克时，通过两种销售模式都能很快销售完该产品，设小明销售完该产品所获总利润为元，求的解析式．
在的条件下，小明决定将线上销售的新产品低于千克时，线上销售的新产品每千克捐赠元给希望小学购买学习用品，当线上销售的新产品高于千克时，线上销售的新产品每千克捐赠元给希望小学购买学习用品，捐赠后小明发现，总利润低于元，求的最小值．

24.  本小题分
  问题发现
如图，在和中，，，点时线段上一动点，连接．
填空：
的值为______； 的度数为______．
类比探究
如图，在和中，，，点是线段上一动点，连接请判断的值及的度数，并说明理由；
拓展延伸
如图，在的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．


 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于点．
求该抛物线的解析式；
当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且，求的值；
平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在，，，，五个数中，正数有，，共个．
故选：．
根据正数大于，负数小于判断即可．
本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、球左视图、俯视图都是圆，左视图与俯视图相同；
B、圆锥左视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，左视图与俯视图不相同；
C、圆柱左视图、俯视图分别是长方形、圆，左视图与俯视图不相同；
D、长方体左视图是长较小的矩形、俯视图是长较大的矩形，左视图与俯视图不相同；
故选：．
左视图、俯视图是分别从物体左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了简单几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：由三角形的外角性质可得，，
，，
．
故选：．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、该图形是是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，，，的中位数是，故A错误，不符合题意；
质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，因具有破坏性，应当采用抽查的调查方式，故B错误，不符合题意；
若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定，故C错误，不符合题意；
分别写有三个数字，，的三张卡片卡片的大小形状都相同，从中任意抽取两张，画出树状图如下：

一共有种等可能的结果，其中两数之积为正数的有种，
卡片上的两数之积为正数的概率为，故D正确，符合题意；
故选：．
根据中位数概念，抽查与普查概念，方差的意义及列树状图求概率逐项判断即可．
本题考查普查与抽查，中位数，方差及求概率，解题的关键是根据树状图找出所有等可能的情况数．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，，所以四边形是平行四边形．故A选项不符合题意．
因为，四边形是平行四边形，所以四边形是矩形．故B选项不符合题意．
因为，四边形是平行四边形，所以四边形是菱形．故C选项不符合题意．
如果且，不能判定四边形是正方形，故D选项符合题意．
故选：．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．
本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟记平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设苦果买个，买甜果个，依题意，得：．
故选：．
根据用文钱可以买甜果和苦果共个，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
的图象在二、四象限，在每个象限内，随值的增大而增大，
且点在第二象限，点，在第四象限，
，，，
，
，
故选：．
根据可知的图象在二、四象限，在每个象限内，随值的增大而增大，由此可解．
本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中的符号判断图象所在象限及增减性．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数开口向下，
，
图象交于轴正半轴，
，
对称轴，
，
，
故A选项正确，不符合题意；
二次函数与轴有两个不同的交点，
，
故B选项正确，不符合题意；
对称轴，
，
，
故C选项正确，不符合题意；
，
，
当时，，
即，
，
，
，
故D选项错误，符合题意；
故选：．
由图可知开口向下，即，图象交于轴正半轴，可得，对称轴，可得和，可判断选项和选项；
由图可得二次函数与轴有两个不同的交点，可得，可判断选项；
由图可得当时，，由可得，即，可得，即可判断选项．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数对称轴的求法，二次函数图象与系数的关系．
 

11.【答案】且 

【解析】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：由得，
又，
，
解得，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得关于的方程，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设“有理想”“敢担当”“能吃苦”“肯奋斗”这四个词语分别记为，，，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”，即和的结果有种，
这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数最值的求法是解题的关键．
将二次函数解析式化为顶点式，再求其最值即可．
【解答】
解：，
，
当时，有最大值，最大值为，
故答案为：．  

15.【答案】或 

【解析】解：分类讨论：当点和点在两侧时，过点作于点，作于点，如图，

．
，
，
，
．
，，
，
，
，

；
当点和点在同侧时，过点作于点，作于点，如图，

由同理可得：，，
，
．
综上可知的度数为或．
故答案为：或．
分类讨论：当点和点在两侧时，过点作于点，作于点，根据垂径定理可求出，，再根据勾股定理可求出，，从而得出，，即得出，，进而可求出，最后由圆周角定理即可求出的大小；
当点和点在同侧时，过点作于点，作于点，同理可求出，再由圆周角定理即可求出的大小．
本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质．正确的作出图形和辅助线并利用分类讨论的思想是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在中，，，，由勾股定理得：，
过作，交延长线于，

，
，
平分，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，，
在中，由勾股定理得：，
过作，交于，交于，

为的中点，
为的中点，为的中点，
，，
，
∽，
，
，
解得：，
故答案为：．
先根据是的平分线得出比例式，求出、的值，根据勾股定理求出和长，求出、分别是、的中点，根据相似得出比例式，代入求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．
 

17.【答案】解：原式



，
把 代入得：
原式

． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

18.【答案】   

【解析】解：由题意得，次抽查的学生人数是人；
圆心角，
故答案为：；；
成绩良好的人数为：人，
补全条形统计图如下：

成绩的中位数落在良好等级；


元．
答：估计此次竞赛该校用于奖励学生的费用大约为元．
由成绩合格的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量；用乘优秀所占比例可得的度数；
求出成绩良好的人数，即可补全条形统计图，再根据中位数的定义解答即可；
用样本估计总体解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：设，则，
，，
，
则，
在中，，
，
解得：，
答：这座灯塔的高度为米． 

【解析】设，在中，利用三角函数列出方程解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．
 

20.【答案】解：如图所示，即为所求；

四边形是矩形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】作，即可完成作图；
根据对角线相等且互相平分即可得四边形是矩形．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质．
 

21.【答案】证明：，



，
方程有两个不相等的实数根；
由根与系数的关系可得：，，
，
，即，
整理得：，即，
所以或，
解得：或．
故的值是或． 

【解析】表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出的值．
此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，
平分，
，
，

，
，
，
，
是的半径，
是的切线；

解：连接，过点作于，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
；

，
，
，
，
，
． 

【解析】如图，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，推出，再由，得到，即可证明是的切线；
连接，过点作于，证明四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出，即可由垂径定理得到，解直角三角形得到，求出，再根据进行求解即可．
本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，平行线的性质与判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，垂径定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：线下：．
线上：当，．
当时，．
设线上售出千克，线下售出千克．
线上销售量不少于千克且不多于千克时，通过两种销售模式都能很快销售完该产品，
．
当时，此时元，
当时，此时元．
当时，，
解得：，
又，，
当时，有最小值为：舍去，
当时，，
解得：．
当时，有最小值为：，
故的最小值为． 

【解析】根据表格列出关系式即可．
设线上售出千克，线下售出千克，根据题意可知，从而进行分类讨论列出关系式即可得出结论．
根据题意在的基础上减去捐赠的钱即可得出结论，注意的取值范围排除错误答案．
本题考查了一次函数的实际应用，正确梳理题意结合不等式的取值范围列出函数关系式是解决该类型问题的关键．
 

24.【答案】  
，
理由如下：，，
，
，

，，
∽

，且
∽
，

若点在线段上，如图，

由知：，

，，
，
，且点是中点，
，
且是直角三角形
，


，



若点在线段延长线上，如图

同理可得：，
，
，


综上所述：的长为或 

【解析】解：，，
，
，，
，
，
在和中，

，
，，
，，
故答案为：，
见答案；
见答案。
由直角三角形的性质可得，可得，，由“”可证
，可得，，即可求解
通过证明∽，可得的值，，即可求的度数；
分点在线段上和延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证，即可求，由相似三角形的性质可得，，由勾股定理可求的长．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明∽是本题的关键．
 

25.【答案】解：，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点为，
，，
，，
该抛物线的解析式为；
抛物线的对称轴为，
当时，，，
，
，
解得：舍去；
当，即时，，，
，
，
解得舍；
当，即时，，，
，
解得：或舍；
；
当，即时，，，
，
解得舍或；
；
综上所述，的值为或；
如图：

在中，令得，
，
抛物线对称轴为直线，轴，
，
，
直线解析式为，直线解析式为，
平移后的新抛物线顶点的横坐标为，顶点始终在直线上移动，
新抛物线顶点为，
新抛物线解析式为，
当只有一个解时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点，
此时有两个相等的实数解，即有两个相等实数解，
，
解得；
当平移后的抛物线过时，把代入得：
，
解得或，
由图可知，当时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点；
综上所述，的取值范围是或． 

【解析】由，可得抛物线的顶点为，即知，，故抛物线的解析式为；
由抛物线的对称轴为，分四种情况：当时，，，可得；当，即时，；当，即时，；当，即时，，分别解方程即可得的值为或；
求出，，得直线解析式为，直线解析式为，则新抛物线解析式为，分两种情况：当只有一个解，此时有两个相等的实数解，可得，解得；当平移后的抛物线过时，，解得或，可得当时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．