2023年山东省聊城市东昌府区多校联考中考数学模拟试卷（含解析）

2023年山东省聊城市东昌府区多校联考中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，绝对值最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  将两个大小完全相同的杯子如图甲叠放在一起如图乙，则图乙中实物的俯视图是(    )
 

A.
B.
C.
D.

3.  年月，中国旅游研究院发布的中国旅游经济蓝皮书预测，年我国国内旅游人数将达到亿人次，同比增长约，恢复到年的；实现国内旅游收入约万亿元，同比增长约，恢复到年的将亿用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线，的顶点在直线上，与直线交于点，延长线交直线于点，已知，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

7.  不等式组的解集表示在数轴上，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，过点和两弧的交点作射线，交于点，则：(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

9.  如图，为的直径，点、、在上，且，，则的度数为(    )
 

A.
B.
C.
D.

10.  下列说法中，正确的是(    )

A. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
B. 某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票一定会中奖
C. 为了解一批灯泡的质量情况，随机抽取个灯泡进行检验，这个问题中的样本是所抽取的个灯泡的质量情况
D. 甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，则乙的射击成绩较稳定

11.  对于实数、，定义一种新运算“”：，这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中是曲线部分的最低点，则的面积是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  分解因式：______．

14.  将一个圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，则所得圆锥的高为______ ．

15.  一组数据：，，，，的平均数是，则它们的方差是______．

16.  如图，在扇形中，，点为弧的中点，点为半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为______ ．

17.  在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

19.  本小题分
中国共产党的助手和后备军中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务在中国共青团成立一百周年之际，我县各中小持续开展了：青年大学习；：学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加为了解学生参与活动的情况，在全县范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
在这次抽样调查中，一共抽取了______ 名学生；
补全条形统计图；
陈杰和刘慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率．

 

20.  本小题分
如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长度．

21.  本小题分
年月日，“神舟十五号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射年月日神舟十五号航天员进行了出舱活动，为了确保任务的圆满完成，航天员借助机械臂进行舱外作业如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，，．
求机械臂端点到工作台的距离的长；结果精确到
求的长结果精确到
参考数据：，，，，

 

22.  本小题分
某餐饮公司推出甲、乙两种外卖菜品，已知售出份甲菜品和份乙菜品可获利元，售出份甲菜品和份乙菜品可获利元．
求每份甲、乙菜品的利润各是多少元？
根据营销情况，该餐饮公司每日都可以销售完甲、乙两种外卖菜品份，且甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，应该如何设计两种菜品的数量才能使获得的利润最高？最高利润是多少？

23.  本小题分
如图，已知，，反比例函数的图象过点，反比例函数的图象过点．
求和的值；
过点作轴，与双曲线交于点求的面积．

24.  本小题分
如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为圆心，长为半径作，延长，与交于点，作弦，连接，与的延长线交于点．
求证：是的切线；
求的长．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．
求该抛物线的解析式；
点是直线上方的抛物线上一点，连接交于点，当时，求点的坐标；
点在抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
上列各数中，绝对值最小的数是，
故选：．
先求出每一个选项的绝对值，然后再进行比较，即可解答．
本题考查了实数大小比较，绝对值，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，看到两个圆形，
故选：．
俯视图是从上面看，可以看到上面杯子的底，是圆形，可以看到两杯子的口，也是圆形．
此题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，解题的关键是要正确确定和的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形的外角性质得出，进而利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方运算法则、二次根式的乘法运算即可求出答案．
本题考查合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方运算法则、二次根式的乘法运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
【解答】
解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先把方程化为一般式，再计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为：，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则分析选项可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过作于，

在中，，
，
由作图得：平分，
，
，
故选：．
添加辅助线，根据角平分线的性质及三角函数值求解．
本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质及特殊角的三角函数是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握常见辅助线的添法是解题的关键．
连接，先求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，进而可求出的度数，最后根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出即可．
【解答】
解：如图，连接，．

，
．
，
．
．
．
，
．
．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：、对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，故A不符合题意；
B、某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票不一定会中奖，故B不符合题意；
C、为了解一批灯泡的质量情况，随机抽取个灯泡进行检验，这个问题中的样本是所抽取的个灯泡的质量情况，故C符合题意；
D、甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，则甲的射击成绩较稳定，故D不符合题意；
故选：．
根据概率的意义，全面调查与抽样调查，算术平均数，方差，概率公式，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，算术平均数，方差，概率公式，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故选：．
根据定义的新运算可得：，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，解分式方程，理解定义的新运算是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图知，，
当时，的值最小，即中，边上的高为即此时，
当时，，
的面积，
故选：．
由图知，，当时，的值最小，即中，边上的高为即此时，即可求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、勾股定理、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，分解要彻底．
 

14.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，解得，
所以圆锥的高．
故答案为．
设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】 

【解析】解：数据：，，，，的平均数是，
，
，
这组数据的方差是．
故答案为：．
先由平均数的公式计算出的值，再根据方差的公式计算即可．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，
此时最小，即：，
由题意得，，
，
，
的长，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：．
利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧的长与的长度和，分别进行计算即可．
本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：点坐标为，
，
第一次旋转后，点在第一象限，，
第二次旋转后，点在第二象限，，
第三次旋转后，点在轴负半轴，，
第四次旋转后，点在第三象限，，
第五次旋转后，点在第四象限，，
第六次旋转后，点在轴正半轴，，
如此循环，每旋转次，的对应点又回到轴正半轴上，
，
循环了次，点在第一象限，且，
点的坐标为
故答案为：
每旋转次，的对应点又回到轴正半轴上，故A在第一象限，且，由此求解即可．
本题考查点的坐标规律探索，旋转变换，等边三角形的性质．解题的关键在于能够根据题意找到点规律．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算除法，再算减法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：在这次调查中，一共抽取的学生为：名，
故答案为：；
的人数为：名，
补全条形统计图如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中陈杰和刘慧参加同一项活动的结果有种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为．
由的人数除以所占的比例即可；
求出的人数，补全条形统计图即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，，
，
，
，
在中，，
在中，，
四边形是菱形，
，
． 

【解析】根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
 

21.【答案】解：过点作于点，过点作于点，过点作于点，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，米，
，，
，，
米，
米，
在中，，
米，
米，
米，
答：机械臂端点到工作台的距离的长米．
在中，由勾股定理可知：米，
在中，
由勾股定理可知：米，
米，
米．
答：的长为米． 

【解析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，可知四边形是矩形，四边形是矩形，根据，，利用锐角三角函数的定义即可求出、的长度．
利用锐角三角函数的定义可求出的长度，再根据勾股定理可求的长度，从而可求出的长度．
本题考查解三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
 

22.【答案】解：设每份菜品的利润为元，每份菜品的利润为元，
根据题意得，
解得，
答：每份菜品甲的利润为元，每份菜品乙的利润为元；
设购进甲菜品份，总利润为元，
根据题意得，
解得，
，
，
随着的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为元，
份，
答：购进甲菜品份，乙菜品份，所获利润最大，最大利润为元． 

【解析】设每份菜品甲的利润为元，每份菜品乙的利润为元，根据售出份甲菜品和份乙菜品可获利元，售出份甲菜品和份乙菜品可获利元，列二元一次方程组，求解即可；
设购进甲菜品份，总利润为元，根据甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，求出的取值范围，再表示出与的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时进货方案，进一步求出最大利润即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键．
 

23.【答案】解：比例函数的图象过点，
，
，，
分别过点、作轴于，轴于，
，
，，
，，
，
，
∽
，
，
，
反比例函数的图象过点，
；
由可知 ，，
轴，，
点的纵坐标为，
过点作轴于，
点在双曲线上，
，解得，
，
，



． 

【解析】把代入反比例函数即可求得的值，分别过点、作轴于，轴于，易证得∽，根据相似三角形的性质即可求得点的坐标，然后代入反比例函数，根据待定系数法即可求得的值；
由的纵坐标求得的纵坐标，根据图象上点的坐标特征求得的坐标，然后根据求得即可．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，求得、点的坐标是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，，
，
，
∽，
，
，
，
即，
为的半径，
是的切线；
解：如图，过点作于点，

，，弦，
，
，
≌，
，即平分，
，即为等腰三角形，
，，
，，
，
在中，，
在中，，

． 

【解析】根据题意可得，，以此推出∽，根据相似三角形的性质可得，以此得到，即可证明是的切线；
过点作于点，根据题意可证明≌，以此得到平分，则，，再根据，以此即可求解．
本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂径定理，熟练运用相关知识答题时解题关键．
 

25.【答案】解：把，代入得：
，
解得：，
；
过作轴于，如图：

在中，令得，
，
由，得直线解析式为，
轴，
，
，
，，
在中，令得，
，
直线解析式为，
解得：或舍去
；
在坐标平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，理由如下：
由得抛物线的对称轴是直线，
设，，
又，，
若，是对角线，则，中点重合且，
，
解得或，
或；
若，为对角线，同理得：
，
解得：，
，
若，是对角线，
，
解得：，
，
综上所述，的坐标为或或或． 

【解析】用待定系数法可得；
过作轴于，在中，可求，得直线解析式为，由轴，知，从而可得，，，故直线解析式为，联立解析式得；
设，，分三种情况：若，是对角线，则，中点重合且，，若，为对角线，，若，是对角线，，分别解方程组可得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，平行线分线段成比例，矩形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．