浙江省温州浙南名校联盟2021-2022学年高二数学下学期期末联考试题（Word版附解析）

2021学年第二学期温州浙南名校联盟期末联考

高二数学试题

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设是虚数单位，，则实数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的四则运算法则化简可得结果.

【详解】，故.

故选：D.

2. 已知全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用补集的定义可得正确的选项．

【详解】由补集定义可知：或，即，

故选：D．

3. 若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥表面积与侧面积的比为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用圆的性质可以列弧长与圆心角的等式，即可求出底面圆半径，再分别算出圆锥表面积与侧面积即可得到比值

【详解】由题，，，，故

故选：C

4. 若正数满足，则的最小值为（    ）

A. 6 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由，可得，则，化简后利用基本不等式可求得其最小值

【详解】因为正数满足，

所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

故选：C

5. 已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由直线与圆的位置关系列出不等式求解即可得答案.

【详解】解：因为直线与圆有两个不同的交点，

所以圆心到直线的距离，即，解得，

所以实数的取值范围是，

故选：B.

6. 已知，求的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由二倍角公式与同角三角函数基本关系化简求解

【详解】

故选：A

7. 在二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中的第项系数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得，则，分析求解即可.

【详解】由的展开式中只有第项的二项式系数最大可知，

则的展开式的通项为，

则展开式中的第项为，系数为，

故选：B．

8. 已知函数有三个不同的零点（其中），则（    ）

A. 1 B. 4 C. 16 D. 64

【答案】C

【解析】

【分析】令，利用导数研究单调性，得到有一解，即.有两解且，即.把转化为，利用根与系数的关系代入即可求解.

【详解】令，则.

所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.

所以.

由题意必有两个根，且.

由根与系数的关系有：，.

由图可知，有一解，即.有两解且，即.

所以

=16.

故选：C

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知数据的平均数为，方差为.由这组数据得到新数据，其中，则（    ）

A. 新数据的平均数是 B. 新数据的方差是

C. 新数据的平均数是 D. 新数据的标准差是

【答案】AD

【解析】

【分析】由平均数与方差的计算公式判断

【详解】由题意得，

由平均数与方差公式得的平均数是，

方差是，标准差是，故AD正确，BC错误

故选：AD

10. 已知向量，，则下列命题不正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若在上投影向量为，则向量与夹角为

C. 与共线的单位向量只有一个为

D. 存在，使得

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用平面垂直的坐标表示可判断A选项；利用投影向量的定义求出与夹角，可判断B选项；利用与共线的单位向量为，可判断C选项；由可知、方向相反，结合共线向量的坐标表示可判断D选项.

【详解】对于A选项，若，则，

因为，若，则，不合乎题意.

所以，，所以，，即，A对；

对于B选项，由已知可得，，

在上的投影向量为，

则，因为，则，B错；

对于C选项，与共线的单位向量为，

故与共线的单位向量为和，C错；

对于D选项，由B选项可知，

若存在存在，使得，则、方向相反，则，这与矛盾，D错.

故选：BCD.

11. 在等腰梯形中，，且，以下选项正确的为（    ）

A.

B. 等腰梯形外接圆的面积为

C. 若双曲线以为左右焦点，过两点，则其离心率为

D. 若椭圆以为左右焦点，过两点，则其离心率为

【答案】ACD

【解析】

【分析】过点作，过点作，交于点、，即可求出线段的长度，从而求出，利用勾股定理逆定理可得，即可得到等腰梯形外接圆的直径即为，即可判断B，根据数量积的定义及运算律判断A，根据椭圆、双曲线的定义判断C、D；

【详解】解：过点作，过点作，交于点、，

因为，，，

所以，所以，则，，

所以，所以，即，同理可得，

所以等腰梯形外接圆的直径即为，所以外接圆的面积为，故B错误；

所以

，故A正确；

对于C：若双曲线以为左右焦点，过两点，所以，

所以，所以离心率，故C正确；

对于D：若椭圆以为左右焦点，过两点，所以，

所以，所以离心率，故D正确；

故选：BCD

12. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（    ）

A. 存在点，使得平面

B. 存在点，使得直线与直线所成的角为

C. 存在点，使得三棱锥的体积为

D. 不存在点，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线所成的角

【答案】ACD

【解析】

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项正误.

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、

、，设，即点，其中.

对于A选项，假设存在点，使得平面，

，，，则，解得，

故当点为线段的中点时，平面，A对；

对于B选项，，，

由已知可得，则，B错；

对于C选项，，点到平面的距离为，

则，解得，C对；

对于D选项，，，设平面的法向量为，

则，取，可得，

易知平面的一个法向量为，

由图可得，

，，

，

因为，，

则，

、，且余弦函数在上单调递减，则，D对.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：

（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数是奇函数，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.

【详解】对任意的，，故函数的定义域为，

，

因为函数为奇函数，则，解得.

故答案为：.

14. 抛物线的焦点为，准线为是抛物线上过焦点的一条直线，且倾斜角为.求线段的值是___________.

【答案】16

【解析】

【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，即可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再根据焦半径公式计算可得；

【详解】解：抛物线的焦点坐标为，因为直线过点，且倾斜角为，

所以直线的方程为，设、，

由，消去整理得，

所以，所以；

故答案为：

15. 设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】令，h（x）＝ax，求出后画出、的图象，数形结合建立不等式组，即可得解.

【详解】存在唯一整数，使得，即存在唯一整数，使得

令，，则，

∴当时，，则函数在上单调递减；

当时，，则函数在上单调递增；

而；

当时，，所以且当时，

因为存在唯一的整数x0使得．

当直线与相切时，

设切点为，则切线的斜率为，

又直线过原点，所以此时

由切点再切线上，可得，解得

所以

所以当直线与相切时，

因为时，，时，

所以，则，此时不满足条件.

所以结合图形知：当时，有无数多个整数x0使得，故不满足题意.

又，由图可知当直线在与之间时，满足条件的整数x0只有

，

所以满足条件的的范围是：

故答案为：

16. 在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到数列；第次拓展得到数列.设，其中___________，___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可．

【详解】解：由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时，

第2次得到数列1，4，3，5，2，此时，

第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时，

第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时，

第次得到数列1，，，，，，2，此时，

由上述列出的数列可得：，

所以，

所以，

故答案为：；；

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知数列满足

（1）记，写出，并求出数列的通项公式；

（2）求数列的前2022项和.

【答案】（1），，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据的定义求得，求出，由等比数列通项公式可得结论；

（2）由得，，然后用并项求和法结合等比数列前项和公式计算．

【小问1详解】

，

又

【小问2详解】

，则

18. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京市和张家口市联合举行.甲､乙是单板滑雪坡面障碍技巧项目参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种.

（1）甲在每次挑战中，成功的概率都为.设为甲在3次挑战中成功的次数，求的分布列和数学期望；

（2）乙在第一次挑战时，成功的概率为，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1.求乙在3次挑战中有且只有2次成功的条件下，第三次成功的概率.

【答案】（1）分布列见解析，数学期望：   

（2）

【解析】

【分析】（1）由二项分布概率公式求解

（2）由条件概率公式求解

【小问1详解】

由题意得，则，

，

，

则的分布列为：

【小问2详解】

设“乙3次挑战中有且只有2次成功”，“乙在3次挑战中第三次成功”

19. 请从下面三个条件中任选一个补充在下面横线上，并作答.

①；②；③.

已知的内角的对边分别是，且___________.

（1）求角；

（2）若点为的中点，且，试判断的形状.

注：如果选择多个条件，按第一个解答计分.

【答案】（1）   

（2）等边三角形

【解析】

【分析】（1）选①，利用正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求，即可求角；

选②③，利用正弦定理边化角，再进一步利用三角函数和公式，，化简等式即可求，即可求角；

（2）法一，构建圆内接，证明中线刚好过圆心，从而可判断的形状；

法二，由余弦定理，列出关于的方程，再结合，可解出，又由，即可解出，即可判断的形状；

【小问1详解】

选①，，由正弦定理得，结合余弦定理，，又，；

选②，，由正弦定理得，，，，又，，，；

选③，，，，， ，，，；

【小问2详解】

法一，如下图，圆O内接正及，，易得，由圆的性质易得，又，故只有当C与E重合时，，故为正三角形

法二，由题意可知，.

在中，，

即.

在中，，

即.

因为，所以，

所以，

所以，得，

所以为等边三角形.

20. 如图，三棱锥中，平面平面，，点分别是棱的中点，点是的重心.

（1）证明：平面；

（2）若为正三角形，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由面面平行的性质定理证明

（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解

【小问1详解】

连接，连接并延长交于点，则点为的中点，

从而点分别是棱的中点，

又平面平面，

平面平面.

又平面，

平面平面，

又平面平面.

【小问2详解】

连接是的中点，，

平面平面，平面平面，

平面平面.

连接并延长交于点，则为的中点，

连接，则平面.

为正三角形

同理可得面，则如图建立空间直角坐标系

设.

，

则.

，

设平面的一个法向量为，

则，可取，

又平面的一个法向量为，

则，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

21. 在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片上的某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点.

（1）证明：为定值，并求出点的轨迹的轨迹方程；

（2）若曲线上一点，点分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，求面积的取值范围.

【答案】（1）证明见解析，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据对称关系得到，利用双曲线定义得到点的轨迹为以为焦点，实轴长为6的双曲线，求出轨迹方程；（2）设出，利用得到，代入双曲线方程中得到从而得到，表达出，利用对勾函数求出面积关于的单调性，求出最大值和最小值，得到面积的取值范围.

【小问1详解】

证明：如图，由点与关于对称，

则，

且

由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为6的双曲线，

设双曲线方程为：

所以双曲线方程为

【小问2详解】

由题意知，分别为双曲线的渐近线

设，

由，设.

，由于点在双曲线上

又，同理，设的倾斜角为，

则.

由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，；

当时，；

【点睛】圆锥曲线求解面积的取值范围，要用一个变量表达出面积，然后利用基本不等式或求导，二次函数，对勾函数等性质求解面积的取值范围

22. 已知

（1）讨论的单调性；

（2）若在定义域上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，对分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；

（2）依题意参变分离可得，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到恒成立，即可得到恒成立，从而求出的取值范围；

【小问1详解】

解：的定义域为，所以，

当，在上单调递减.

当时，由解得，

当时，，当时，，

综上，当时，在上单调递减，

时，在单调递减，在单调递增.

【小问2详解】

解：

令，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

当且仅当时等号成立，

恒成立，当且仅当时取等号.

所以的取值范围为；