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2024高考物理大一轮复习讲义 第二章 实验二 探究弹簧弹力与形变量的关系
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这是一份2024高考物理大一轮复习讲义 第二章 实验二 探究弹簧弹力与形变量的关系，共15页。试卷主要包含了40－5，03 cm，ΔL2＝6，09－12，20 见解析图 83，43,l0)～eq \f均可)，07等内容，欢迎下载使用。
实验技能储备
1．实验原理
(1)如图所示，弹簧下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重力大小相等．
(2)用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可得出弹力大小与形变量间的关系．
2．实验器材
铁架台、弹簧、刻度尺、钩码若干、坐标纸等．
3．实验步骤
(1)将弹簧的一端挂在铁架台上，让其自然下垂，用刻度尺测出弹簧自然伸长状态时的长度 l0，即原长．
(2)如图所示，在弹簧下端挂质量为m1的钩码，测出此时弹簧的长度l1，记录m1和l1，得出弹簧的伸长量x1，将这些数据填入自己设计的表格中．
(3)改变所挂钩码的质量，测出对应的弹簧长度，记录m2、m3、m4、m5和相应的弹簧长度l2、l3、l4、l5，并得出每次弹簧的伸长量x2、x3、x4、x5.
4．数据处理
(1)以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作图．用平滑的曲线(包括直线)连接各点，得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线．
(2)以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式．首先尝试一次函数，如果不行则考虑二次函数．
(3)得出弹力和弹簧形变量之间的定量关系，解释函数表达式中常数的物理意义．
5．注意事项
(1)不要超过弹性限度：实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免弹簧被过度拉伸，超过弹簧的弹性限度．
(2)尽量多测几组数据：要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据．
(3)观察所描点的走向：本实验是探究型实验，实验前并不知道其规律，所以描点以后所作的曲线是试探性的，只是在分析了点的分布和走向以后才决定用直线来连接这些点．
(4)统一单位：记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位．
考点一 教材原型实验
考向1 实验原理与使用操作
例1 如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个质量均为m的钩码，探究在弹性限度内弹簧弹力与形变量的关系．
(1)为完成实验，还需要的实验器材有：_______________________________________.
(2)实验中需要测量的物理量有：_____________________________________________
________________________________________________________________________.
(3)图乙是弹簧弹力F与弹簧形变量x的F－x图线，由此可求出弹簧的劲度系数为________ N/m.图线不过原点是由于_________________________________________________．
(4)为完成该实验，设计实验步骤如下：
A．以弹簧形变量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组(x，F)对应的点，并用平滑的曲线连接起来
B．记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度l0
C．将铁架台固定在桌子上，并将弹簧的一端系在横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺
D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个……钩码，并分别记下钩码静止时弹簧下端所对应的刻度，并记录在表格内，然后取下钩码
E．以弹簧形变量为自变量，写出弹力与形变量的关系式，首先尝试写成一次函数，如果不行，则考虑二次函数
F．解释表达式中常数的物理意义
G．整理仪器
请将以上步骤按操作的先后顺序排列出来：____________________.
答案 (1)刻度尺 (2)弹簧原长、弹簧所受外力与弹簧对应的长度 (3)200 弹簧自身重力的影响 (4)CBDAEFG
解析 (1)根据实验原理可知还需要刻度尺来测量弹簧原长和挂上钩码后的长度．
(2)根据实验原理，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧所受外力与弹簧对应的长度．
(3)取题图乙中(0.5 cm,0)和(3.5 cm,6 N)两个点，代入ΔF＝kΔx，解得k＝200 N/m，由于弹簧自身的重力影响，使得实验中弹簧不加外力时就有形变量．
(4)根据实验操作的合理性可知，实验步骤的先后顺序为CBDAEFG.
考向2 数据处理与误差分析
例2 一兴趣小组想测量某根弹性绳的劲度系数(弹性绳的弹力与形变量的关系遵守胡克定律)．他们设计了如图甲所示实验：弹性绳上端固定在细绳套上，结点为O，刻度尺竖直固定在一边，0刻度与结点O水平对齐，弹性绳下端通过细绳连接钩码，依次增加钩码的个数，分别记录下所挂钩码的总质量m和对应弹性绳下端P的刻度值x，如表所示：
(1)请在图乙中，根据表中所给数据，充分利用坐标纸，作出m－x图像；
(2)请根据图像数据确定：弹性绳原长约为________ cm，弹性绳的劲度系数约为________ N/m(重力加速度g取10 m/s2，结果均保留三位有效数字)；
(3)若实验中刻度尺的零刻度略高于弹性绳上端结点O，则由实验数据得到的劲度系数将______________(选填“偏大”“偏小”或“不受影响”)；若实验中刻度尺没有完全竖直，而读数时视线保持水平，则由实验数据得到的劲度系数将______________(选填“偏大”“偏小”或“不受影响”)．
答案 (1)见解析图 (2)5.15(5.10～5.25均可) 53.3(52.2～55.8均可) (3)不受影响 偏小
解析 (1)作出m－x图像如图；
(2)根据图像数据确定：弹性绳原长约为5.15 cm，弹性绳的劲度系数约为
k＝eq \f(ΔF,Δx)＝eq \f(120×10－3×10,7.40－5.15×10－2) N/m≈53.3 N/m
(3)若实验中刻度尺的零刻度略高于弹性绳上端结点O，则由实验数据得到的劲度系数将不受影响；若实验中刻度尺没有完全竖直，而读数时视线保持水平，则测得的弹簧伸长量偏大，则由实验数据得到的劲度系数将偏小．
考点二 探索创新实验
创新角度：实验装置的改进
1．将弹簧水平放置或穿过一根水平光滑的直杆，在水平方向做实验．消除了弹簧自重的影响．
2．利用计算机及传感器技术，将弹簧水平放置，且一端固定在传感器上，传感器与计算机相连，对弹簧施加变化的作用力(拉力或推力)时，计算机上得到弹簧弹力和弹簧形变量的关系图像(如图所示)，分析图像得出结论．
考向1 实验装置的改进
例3 (2021·广东卷·11)某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数，缓冲装置如图所示，固定在斜面上的透明有机玻璃管与水平面夹角为30°，弹簧固定在有机玻璃管底端．实验过程如下：先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺，再将单个质量为200 g的钢球(直径略小于玻璃管内径)逐个从管口滑进，每滑进一个钢球，待弹簧静止，记录管内钢球的个数n和弹簧上端对应的刻度尺示数Ln，数据如表所示．实验过程中弹簧始终处于弹性限度内．采用逐差法计算弹簧压缩量，进而计算其劲度系数．
(1)利用ΔLi＝Li＋3－Li(i＝1,2,3)计算弹簧的压缩量：ΔL1＝6.03 cm，ΔL2＝6.08 cm，ΔL3＝________ cm，压缩量的平均值eq \x\t(ΔL)＝eq \f(ΔL1＋ΔL2＋ΔL3,3)＝________ cm；
(2)上述eq \x\t(ΔL)是管中增加________个钢球时产生的弹簧平均压缩量；
(3)忽略摩擦，重力加速度g取9.80 m/s2，该弹簧的劲度系数为________ N/m(结果保留3位有效数字)．
答案 (1)6.04 6.05 (2)3 (3)48.6
解析 (1)ΔL3＝L6－L3＝(18.09－12.05) cm＝6.04 cm
压缩量的平均值为eq \x\t(ΔL)＝eq \f(ΔL1＋ΔL2＋ΔL3,3)＝eq \f(6.03＋6.08＋6.04,3) cm＝6.05 cm
(2)因三个ΔL是相差3个钢球的压缩量之差，则所求平均值为管中增加3个钢球时产生的弹簧平均压缩量；
(3)根据钢球的平衡条件有3mgsin θ＝k·eq \x\t(ΔL)，解得
k＝eq \f(3mgsin θ,\x\t(ΔL))＝eq \f(3×0.2×9.80×sin 30°,6.05×10－2) N/m≈48.6 N/m.
考向2 实验器材的创新
例4 如图为一同学利用压力传感器探究弹力与弹簧伸长量关系的装置示意图，水平放置的压力传感器上叠放着连接轻弹簧的重物，左侧固定有竖直刻度尺．静止时弹簧上端的指针指示如图所示，表格中记录此时压力传感器的示数为6.00 N；竖直向上缓慢地拉动弹簧，分别记录指针示数和对应的传感器示数如表中所示．
(1)补充完整表格中刻度尺的读数；
(2)在以传感器示数FN为纵轴、指针示数x为横轴的坐标系中，描点画出FN－x图像，根据图像求得弹簧的劲度系数为________ N/m(结果保留3位有效数字)．
答案 (1)12.20 (2)见解析图 83.3(83.1～83.5都算正确)
解析 (1)刻度尺的最小刻度为1 mm，根据刻度尺的读数规则可知，估读到最小刻度的下一位，故读数为12.20 cm.
(2)根据表格数据作出图像，如图所示；
对重物受力分析可知FN＋F＝mg，则FN＝mg－kΔx，即FN＝mg－k(x－x0)，
得图像的斜率绝对值为弹簧的劲度系数，由图像可知k＝eq \f(ΔFN,Δx)＝eq \f(6.00,0.194 0－0.122 0) N/m≈83.3 N/m.
考向3 实验目的的创新
例5 (2022·湖南卷·11)小圆同学用橡皮筋、同种一元硬币、刻度尺、塑料袋、支架等，设计了如图(a)所示的实验装置，测量冰墩墩玩具的质量．主要实验步骤如下：
(1)查找资料，得知每枚硬币的质量为6.05 g；
(2)将硬币以5枚为一组逐次加入塑料袋，测量每次稳定后橡皮筋的长度l，记录数据如下表：
(3)根据表中数据在图(b)上描点，绘制图线；
(4)取出全部硬币，把冰墩墩玩具放入塑料袋中，稳定后橡皮筋长度的示数如图(c)所示，此时橡皮筋的长度为________ cm；
(5)由上述数据计算得冰墩墩玩具的质量为________ g(计算结果保留3位有效数字)．
答案 (3)见解析图 (4)15.35 (5)128
解析 (3)根据表格数据描点连线如图；
(4)由题图(c)可知刻度尺的分度值为1 mm，故读数l＝15.35 cm；
(5)设橡皮筋的劲度系数为k，原长为l0，则
n1mg＝k(l1－l0)，n2mg＝k(l2－l0)
则橡皮筋的劲度系数为k＝eq \f(n2－n1mg,l2－l1)
从作出的l－n图线读取数据则可得
k＝eq \f(n2－n1mg,l2－l1)＝eq \f(10,3)mg (N/cm)，
l0＝eq \f(n2l1－n1l2,n2－n1)＝9.00 cm
设冰墩墩的质量为m1，则有m1g＝k(l－l0)
可得m1＝eq \f(10,3)×6.05×(15.35－9.00) g≈128 g.
例6 某实验小组通过实验探究弹簧的劲度系数k与其长度(圈数)的关系．实验装置如图所示．一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P0指向0刻度．设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为x0；挂有质量为0.100 kg的砝码时，各指针的位置记为x.测量结果及部分计算结果如下表所示(n为弹簧的圈数，取重力加速度为9.80 m/s2)．已知实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88 cm.
(1)将表中数据补充完整：①________，②________.
(2)以n为横坐标、eq \f(1,k)为纵坐标，在给出的坐标纸上画出eq \f(1,k)－n图像．
(3)图中画出的直线可近似认为通过原点．若从实验中所用的弹簧截取圈数为n的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系表达式为k＝________ N/m，该弹簧的劲度系数k与其自由长度l0(单位为m)的关系表达式为k＝________ N/m.
答案 (1)①81.7 ②0.012 2 (2)见解析图
(3)eq \f(1.73×103,n)(eq \f(1.67×103,n)～eq \f(1.83×103,n)均可)
eq \f(3.43,l0)(eq \f(3.31,l0)～eq \f(3.62,l0)均可)
解析 (1)①k＝eq \f(mg,Δx2)＝eq \f(0.100×9.80,5.26－4.06×10－2) N/m≈81.7 N/m；
②eq \f(1,k)＝eq \f(1,81.7) m/N≈0.012 2 m/N；
(2)描点法，画一条直线，让大部分的点都落在直线上，不在线上的点均匀分布在直线两侧，如图所示．
(3)设直线的斜率为a，则有eq \f(1,k)＝an，即k＝eq \f(1,a)·eq \f(1,n)，通过计算可得k≈eq \f(1.73×103,n) N/m；弹簧共60圈，则有eq \f(l0,n)＝eq \f(11.88×10－2,60) m，故n＝eq \f(60l0,0.118 8)，把其代入k＝eq \f(1,a)·eq \f(1,n)中可得k≈eq \f(3.43,l0) N/m.
课时精练
1．某实验小组在“探究弹簧弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中，操作过程如下：
(1)将弹簧水平放置并处于自然状态，将标尺的零刻度与弹簧一端对齐，弹簧的另一端所指的标尺刻度如图甲所示，则该读数为________ cm.
(2)接着，将弹簧竖直悬挂，由于________的影响，不挂钩码时，弹簧也有一定的伸长量，其下端所指的标尺刻度如图乙所示；图丙是在弹簧下端悬挂钩码后所指的标尺刻度，则弹簧因挂钩码引起的伸长量为________ cm.
(3)逐一增加钩码，记下每增加一个钩码后弹簧下端所指的标尺刻度和对应的钩码总重力．该实验小组的同学在处理数据时，将钩码总重力F作为横坐标，弹簧伸长量Δl作为纵坐标，作出了如图丁所示的a、b两条Δl－F图像，其中直线b中的Δl是用挂钩码后的长度减去图________(选填“甲”或“乙”)所示长度得到的．
答案 (1)7.0 (2)弹簧自身重力 6.9 (3)甲
解析 (1)该读数为7.0 cm；
(2)由于弹簧自身重力的影响，不挂钩码时，弹簧也有一定的伸长量，其下端所指的标尺刻度为7.4 cm；在弹簧下端悬挂钩码后所指的标尺刻度14.3 cm，则弹簧因挂钩码引起的伸长量为14.3 cm－7.4 cm＝6.9 cm；
(3)由图线b的位置可知，当外力F＝0时，弹簧有伸长量，则可知直线b中的Δl是用挂钩码后的长度减去题图甲所示长度得到的．
2．(1)某同学使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹力与弹簧长度的关系图像如图所示，则可知原长较大的是________(填“a”或“b”)，劲度系数较大的是________(填“a”或“b”)．
(2)为了测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上不同质量的钩码．实验测出了钩码质量m与弹簧长度l的相应数据，其对应点已在图上标出并连线．由图可求得弹簧的劲度系数为________ N/m(结果保留3位有效数字，g＝10 m/s2)．
(3)若悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些，则实验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数________(填“偏大”或“偏小”)．
答案 (1)b a (2)0.263(0.260～0.270均正确)
(3)偏大
解析 (1)图像与横轴交点的横坐标值为弹簧原长，由题图可知原长较大的是b；图像的斜率表示劲度系数，则劲度系数较大的是a.
(2)由胡克定律F＝kx，解得k＝eq \f(F,x)＝eq \f(Δmg,Δl)＝eq \f(2.5×10－3×10,18.0－8.5×10－2) N/m≈0.263 N/m
(3)若悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些，则弹簧拉力偏小，实际计算时弹力偏大，则实验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数偏大．
3．(2023·辽宁葫芦岛市高三检测)某同学用如图甲所示实验装置进行“探究弹簧的弹力和弹簧伸长量的关系”的实验．直尺和光滑的细杆水平固定在铁架台上，一根弹簧穿在细杆上(细杆未画出)，其左端固定，右端与细绳连接．细绳跨过光滑定滑轮，其下端可以悬挂钩码，弹簧与定滑轮间的细绳水平．实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在绳子的下端，每次测出对应的弹簧总长度L，并将所挂钩码的重力大小作为弹簧的弹力大小F.(弹簧始终在弹性限度内)
(1)把以上测得的数据描点连线，如图乙所示，则该弹簧的原长L0＝________ cm，劲度系数k＝________ N/m.(结果均保留3位有效数字)
(2)若该同学先把弹簧竖直悬挂，下端不挂钩码测出弹簧原长为L1，再按照图甲所示方法悬挂钩码，测出弹簧伸长后的长度L，以L－L1作为弹簧伸长量x，以钩码重力大小作为弹力F大小．由于弹簧自身重力的影响，得到的图线可能是________．
答案 (1)5.00 13.3 (2)B
解析 (1)弹簧弹力为零时，弹簧总长度即为弹簧原长，故L0＝5.00 cm，弹簧劲度系数k＝eq \f(ΔF,ΔL)＝eq \f(2.0,0.20－0.05) N/m≈13.3 N/m.
(2)由于弹簧自身重力的影响，当x等于零时，弹簧有一定的弹力，但弹簧劲度系数不变，则k＝eq \f(ΔF,Δx)不变，即F－x图像斜率不变，故选B.
4．某同学探究图甲中台秤的工作原理．他将台秤拆解后发现内部简易结构如图乙所示，托盘A、竖直杆B、水平横杆H与齿条C固定连在一起，齿轮D可无摩擦转动，与齿条C完全啮合，在齿轮上固定指示示数的轻质指针E，两根完全相同的弹簧将横杆H吊在秤的外壳I上．他想根据指针偏转角度测量弹簧的劲度系数，经过调校，托盘中不放物品时，指针E恰好指在竖直向上的位置．若放上质量为m的物体指针偏转了θ弧度(θ<2π)，齿轮D的直径为d，重力加速度为g.
(1)指针偏转了θ弧度的过程，弹簧变长了________(用题干中所给的参量表示)．
(2)每根弹簧的劲度系数表达式为________(用题干所给的参量表示)．
(3)该同学进一步改进实验，引入了角度传感器测量指针偏转角度，先后做了六次实验，得到数据并在坐标纸上作出图丙，可得到每根弹簧的劲度系数为________ N/m(d＝5.00 cm，g＝9.8 m/s2，结果保留三位有效数字)．
答案 (1)eq \f(θ,2)d (2)eq \f(mg,θd) (3)154(151～159均可)
解析 (1)由题图乙可知，弹簧的形变量等于齿条C下降的距离，由于齿轮D与齿条C啮合，所以齿条C下降的距离等于齿轮D转过的弧长，根据数学知识可得s＝θ·eq \f(d,2)，即弹簧的伸长量为Δx＝s＝eq \f(θ,2)d
(2)对托盘A、竖直杆B、水平横杆H、齿条C和物体整体研究，根据平衡条件得mg＝2F，弹簧弹力的胡克定律公式为F＝kΔx，联立解得k＝eq \f(mg,θd)
(3)根据k＝eq \f(mg,θd)，得θ＝eq \f(g,kd)·m
所以θ－m图像是一条过原点的倾斜直线，其斜率k′＝eq \f(g,kd)，由题图丙可得k′＝eq \f(Δθ,Δm)＝eq \f(0.76,0.6) rad/kg
≈1.27 rad/kg
将d＝5.00 cm，g＝9.8 m/s2代入k′，
解得k≈154 N/m.
5．某同学想测量两根材料不同、粗细不同、长度不同的轻弹簧的劲度系数，他设计了如图(a)所示的实验装置．实验操作步骤如下：
①将一根粗细均匀的杆竖直固定在水平面上，在其表面涂上光滑材料；
②将轻弹簧A套在竖直杆上，将轻弹簧B套在弹簧A外面，弹簧A与杆之间以及弹簧B与弹簧A之间均有一定间隙；
③将刻度尺竖直固定在弹簧左侧，读出此时弹簧A、B的长度；
④将金属圆环套在竖直杆上并轻轻放在弹簧上，待圆环平衡后从刻度尺上读出弹簧A、B的长度；
⑤逐渐增加金属圆环(与此前所加的金属圆环完全相同)个数，重复步骤④；
⑥根据实验数据得出弹簧上方所加金属圆环的个数n及弹簧A对应的形变量x，通过计算机拟合出如图(b)所示的x－n图像；
⑦用天平测量出一个金属圆环的质量为100 g，实验过程中未超过两个弹簧的弹性限度，重力加速度g取9.80 m/s2.
回答下列问题：
(1)弹簧A、B的劲度系数分别为kA＝________ N/m，kB＝________ N/m；
(2)若把弹簧A、B串接在一起，将一端固定在天花板上，另一端悬挂一重力为G的物块，则物块静止时两弹簧的伸长量之和Δl＝____________(用kA、kB、G表示)．
答案 (1)156.8 235.2 (2)G(eq \f(1,kA)＋eq \f(1,kB))
解析 (1)由题可知，圆环数为4个时，恰好压在弹簧B上，且不受到B的弹力，此前，圆环仅受弹簧A的弹力，此后受到A、B两个弹簧的弹力，n＝4时有4mg＝kAx1，解得kA＝156.8 N/m，n＝8时有8mg＝kAx2＋kB(x2－x1)，解得kB＝235.2 N/m.
(2)串接时，两个弹簧的拉力大小相等，则lA＝eq \f(G,kA)，lB＝eq \f(G,kB)，可得Δl＝lA＋lB＝G(eq \f(1,kA)＋eq \f(1,kB))．钩码个数
长度
伸长量x
钩码质量m
弹力F
0
l0
1
l1
x1＝l1－l0
m1
F1
2
l2
x2＝l2－l0
m2
F2
3
l3
x3＝l3－l0
m3
F3
…
…
…
…
…
钩码质
量m/g
20
40
60
80
100
120
P点刻度
值x/cm
5.53
5.92
6.30
6.67
7.02
7.40
n
1
2
3
4
5
6
Ln/cm
8.04
10.03
12.05
14.07
16.11
18.09
传感器示数
FN(N)
6.00
4.00
3.00
1.00
0
指针示数
x(cm)
14.60
15.81
18.19
19.40
序号
1
2
3
4
5
硬币数量n/枚
5
10
15
20
25
长度l/cm
10.51
12.02
13.54
15.05
16.56
P1
P2
P3
P4
P5
P6
x0(cm)
2.04
4.06
6.06
8.08
10.03
12.01
x(cm)
2.64
5.26
7.81
10.30
12.93
15.41
n
10
20
30
40
50
60
k(N/m)
163.3
①
56.0
44.1
33.8
28.8
eq \f(1,k)(m/N)
0.006 1
②
0.017 9
0.022 7
0.029 6
0.034 7
实验技能储备
1．实验原理
(1)如图所示，弹簧下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重力大小相等．
(2)用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可得出弹力大小与形变量间的关系．
2．实验器材
铁架台、弹簧、刻度尺、钩码若干、坐标纸等．
3．实验步骤
(1)将弹簧的一端挂在铁架台上，让其自然下垂，用刻度尺测出弹簧自然伸长状态时的长度 l0，即原长．
(2)如图所示，在弹簧下端挂质量为m1的钩码，测出此时弹簧的长度l1，记录m1和l1，得出弹簧的伸长量x1，将这些数据填入自己设计的表格中．
(3)改变所挂钩码的质量，测出对应的弹簧长度，记录m2、m3、m4、m5和相应的弹簧长度l2、l3、l4、l5，并得出每次弹簧的伸长量x2、x3、x4、x5.
4．数据处理
(1)以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作图．用平滑的曲线(包括直线)连接各点，得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线．
(2)以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式．首先尝试一次函数，如果不行则考虑二次函数．
(3)得出弹力和弹簧形变量之间的定量关系，解释函数表达式中常数的物理意义．
5．注意事项
(1)不要超过弹性限度：实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免弹簧被过度拉伸，超过弹簧的弹性限度．
(2)尽量多测几组数据：要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据．
(3)观察所描点的走向：本实验是探究型实验，实验前并不知道其规律，所以描点以后所作的曲线是试探性的，只是在分析了点的分布和走向以后才决定用直线来连接这些点．
(4)统一单位：记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位．
考点一 教材原型实验
考向1 实验原理与使用操作
例1 如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个质量均为m的钩码，探究在弹性限度内弹簧弹力与形变量的关系．
(1)为完成实验，还需要的实验器材有：_______________________________________.
(2)实验中需要测量的物理量有：_____________________________________________
________________________________________________________________________.
(3)图乙是弹簧弹力F与弹簧形变量x的F－x图线，由此可求出弹簧的劲度系数为________ N/m.图线不过原点是由于_________________________________________________．
(4)为完成该实验，设计实验步骤如下：
A．以弹簧形变量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组(x，F)对应的点，并用平滑的曲线连接起来
B．记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度l0
C．将铁架台固定在桌子上，并将弹簧的一端系在横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺
D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个……钩码，并分别记下钩码静止时弹簧下端所对应的刻度，并记录在表格内，然后取下钩码
E．以弹簧形变量为自变量，写出弹力与形变量的关系式，首先尝试写成一次函数，如果不行，则考虑二次函数
F．解释表达式中常数的物理意义
G．整理仪器
请将以上步骤按操作的先后顺序排列出来：____________________.
答案 (1)刻度尺 (2)弹簧原长、弹簧所受外力与弹簧对应的长度 (3)200 弹簧自身重力的影响 (4)CBDAEFG
解析 (1)根据实验原理可知还需要刻度尺来测量弹簧原长和挂上钩码后的长度．
(2)根据实验原理，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧所受外力与弹簧对应的长度．
(3)取题图乙中(0.5 cm,0)和(3.5 cm,6 N)两个点，代入ΔF＝kΔx，解得k＝200 N/m，由于弹簧自身的重力影响，使得实验中弹簧不加外力时就有形变量．
(4)根据实验操作的合理性可知，实验步骤的先后顺序为CBDAEFG.
考向2 数据处理与误差分析
例2 一兴趣小组想测量某根弹性绳的劲度系数(弹性绳的弹力与形变量的关系遵守胡克定律)．他们设计了如图甲所示实验：弹性绳上端固定在细绳套上，结点为O，刻度尺竖直固定在一边，0刻度与结点O水平对齐，弹性绳下端通过细绳连接钩码，依次增加钩码的个数，分别记录下所挂钩码的总质量m和对应弹性绳下端P的刻度值x，如表所示：
(1)请在图乙中，根据表中所给数据，充分利用坐标纸，作出m－x图像；
(2)请根据图像数据确定：弹性绳原长约为________ cm，弹性绳的劲度系数约为________ N/m(重力加速度g取10 m/s2，结果均保留三位有效数字)；
(3)若实验中刻度尺的零刻度略高于弹性绳上端结点O，则由实验数据得到的劲度系数将______________(选填“偏大”“偏小”或“不受影响”)；若实验中刻度尺没有完全竖直，而读数时视线保持水平，则由实验数据得到的劲度系数将______________(选填“偏大”“偏小”或“不受影响”)．
答案 (1)见解析图 (2)5.15(5.10～5.25均可) 53.3(52.2～55.8均可) (3)不受影响 偏小
解析 (1)作出m－x图像如图；
(2)根据图像数据确定：弹性绳原长约为5.15 cm，弹性绳的劲度系数约为
k＝eq \f(ΔF,Δx)＝eq \f(120×10－3×10,7.40－5.15×10－2) N/m≈53.3 N/m
(3)若实验中刻度尺的零刻度略高于弹性绳上端结点O，则由实验数据得到的劲度系数将不受影响；若实验中刻度尺没有完全竖直，而读数时视线保持水平，则测得的弹簧伸长量偏大，则由实验数据得到的劲度系数将偏小．
考点二 探索创新实验
创新角度：实验装置的改进
1．将弹簧水平放置或穿过一根水平光滑的直杆，在水平方向做实验．消除了弹簧自重的影响．
2．利用计算机及传感器技术，将弹簧水平放置，且一端固定在传感器上，传感器与计算机相连，对弹簧施加变化的作用力(拉力或推力)时，计算机上得到弹簧弹力和弹簧形变量的关系图像(如图所示)，分析图像得出结论．
考向1 实验装置的改进
例3 (2021·广东卷·11)某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数，缓冲装置如图所示，固定在斜面上的透明有机玻璃管与水平面夹角为30°，弹簧固定在有机玻璃管底端．实验过程如下：先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺，再将单个质量为200 g的钢球(直径略小于玻璃管内径)逐个从管口滑进，每滑进一个钢球，待弹簧静止，记录管内钢球的个数n和弹簧上端对应的刻度尺示数Ln，数据如表所示．实验过程中弹簧始终处于弹性限度内．采用逐差法计算弹簧压缩量，进而计算其劲度系数．
(1)利用ΔLi＝Li＋3－Li(i＝1,2,3)计算弹簧的压缩量：ΔL1＝6.03 cm，ΔL2＝6.08 cm，ΔL3＝________ cm，压缩量的平均值eq \x\t(ΔL)＝eq \f(ΔL1＋ΔL2＋ΔL3,3)＝________ cm；
(2)上述eq \x\t(ΔL)是管中增加________个钢球时产生的弹簧平均压缩量；
(3)忽略摩擦，重力加速度g取9.80 m/s2，该弹簧的劲度系数为________ N/m(结果保留3位有效数字)．
答案 (1)6.04 6.05 (2)3 (3)48.6
解析 (1)ΔL3＝L6－L3＝(18.09－12.05) cm＝6.04 cm
压缩量的平均值为eq \x\t(ΔL)＝eq \f(ΔL1＋ΔL2＋ΔL3,3)＝eq \f(6.03＋6.08＋6.04,3) cm＝6.05 cm
(2)因三个ΔL是相差3个钢球的压缩量之差，则所求平均值为管中增加3个钢球时产生的弹簧平均压缩量；
(3)根据钢球的平衡条件有3mgsin θ＝k·eq \x\t(ΔL)，解得
k＝eq \f(3mgsin θ,\x\t(ΔL))＝eq \f(3×0.2×9.80×sin 30°,6.05×10－2) N/m≈48.6 N/m.
考向2 实验器材的创新
例4 如图为一同学利用压力传感器探究弹力与弹簧伸长量关系的装置示意图，水平放置的压力传感器上叠放着连接轻弹簧的重物，左侧固定有竖直刻度尺．静止时弹簧上端的指针指示如图所示，表格中记录此时压力传感器的示数为6.00 N；竖直向上缓慢地拉动弹簧，分别记录指针示数和对应的传感器示数如表中所示．
(1)补充完整表格中刻度尺的读数；
(2)在以传感器示数FN为纵轴、指针示数x为横轴的坐标系中，描点画出FN－x图像，根据图像求得弹簧的劲度系数为________ N/m(结果保留3位有效数字)．
答案 (1)12.20 (2)见解析图 83.3(83.1～83.5都算正确)
解析 (1)刻度尺的最小刻度为1 mm，根据刻度尺的读数规则可知，估读到最小刻度的下一位，故读数为12.20 cm.
(2)根据表格数据作出图像，如图所示；
对重物受力分析可知FN＋F＝mg，则FN＝mg－kΔx，即FN＝mg－k(x－x0)，
得图像的斜率绝对值为弹簧的劲度系数，由图像可知k＝eq \f(ΔFN,Δx)＝eq \f(6.00,0.194 0－0.122 0) N/m≈83.3 N/m.
考向3 实验目的的创新
例5 (2022·湖南卷·11)小圆同学用橡皮筋、同种一元硬币、刻度尺、塑料袋、支架等，设计了如图(a)所示的实验装置，测量冰墩墩玩具的质量．主要实验步骤如下：
(1)查找资料，得知每枚硬币的质量为6.05 g；
(2)将硬币以5枚为一组逐次加入塑料袋，测量每次稳定后橡皮筋的长度l，记录数据如下表：
(3)根据表中数据在图(b)上描点，绘制图线；
(4)取出全部硬币，把冰墩墩玩具放入塑料袋中，稳定后橡皮筋长度的示数如图(c)所示，此时橡皮筋的长度为________ cm；
(5)由上述数据计算得冰墩墩玩具的质量为________ g(计算结果保留3位有效数字)．
答案 (3)见解析图 (4)15.35 (5)128
解析 (3)根据表格数据描点连线如图；
(4)由题图(c)可知刻度尺的分度值为1 mm，故读数l＝15.35 cm；
(5)设橡皮筋的劲度系数为k，原长为l0，则
n1mg＝k(l1－l0)，n2mg＝k(l2－l0)
则橡皮筋的劲度系数为k＝eq \f(n2－n1mg,l2－l1)
从作出的l－n图线读取数据则可得
k＝eq \f(n2－n1mg,l2－l1)＝eq \f(10,3)mg (N/cm)，
l0＝eq \f(n2l1－n1l2,n2－n1)＝9.00 cm
设冰墩墩的质量为m1，则有m1g＝k(l－l0)
可得m1＝eq \f(10,3)×6.05×(15.35－9.00) g≈128 g.
例6 某实验小组通过实验探究弹簧的劲度系数k与其长度(圈数)的关系．实验装置如图所示．一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P0指向0刻度．设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为x0；挂有质量为0.100 kg的砝码时，各指针的位置记为x.测量结果及部分计算结果如下表所示(n为弹簧的圈数，取重力加速度为9.80 m/s2)．已知实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88 cm.
(1)将表中数据补充完整：①________，②________.
(2)以n为横坐标、eq \f(1,k)为纵坐标，在给出的坐标纸上画出eq \f(1,k)－n图像．
(3)图中画出的直线可近似认为通过原点．若从实验中所用的弹簧截取圈数为n的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系表达式为k＝________ N/m，该弹簧的劲度系数k与其自由长度l0(单位为m)的关系表达式为k＝________ N/m.
答案 (1)①81.7 ②0.012 2 (2)见解析图
(3)eq \f(1.73×103,n)(eq \f(1.67×103,n)～eq \f(1.83×103,n)均可)
eq \f(3.43,l0)(eq \f(3.31,l0)～eq \f(3.62,l0)均可)
解析 (1)①k＝eq \f(mg,Δx2)＝eq \f(0.100×9.80,5.26－4.06×10－2) N/m≈81.7 N/m；
②eq \f(1,k)＝eq \f(1,81.7) m/N≈0.012 2 m/N；
(2)描点法，画一条直线，让大部分的点都落在直线上，不在线上的点均匀分布在直线两侧，如图所示．
(3)设直线的斜率为a，则有eq \f(1,k)＝an，即k＝eq \f(1,a)·eq \f(1,n)，通过计算可得k≈eq \f(1.73×103,n) N/m；弹簧共60圈，则有eq \f(l0,n)＝eq \f(11.88×10－2,60) m，故n＝eq \f(60l0,0.118 8)，把其代入k＝eq \f(1,a)·eq \f(1,n)中可得k≈eq \f(3.43,l0) N/m.
课时精练
1．某实验小组在“探究弹簧弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中，操作过程如下：
(1)将弹簧水平放置并处于自然状态，将标尺的零刻度与弹簧一端对齐，弹簧的另一端所指的标尺刻度如图甲所示，则该读数为________ cm.
(2)接着，将弹簧竖直悬挂，由于________的影响，不挂钩码时，弹簧也有一定的伸长量，其下端所指的标尺刻度如图乙所示；图丙是在弹簧下端悬挂钩码后所指的标尺刻度，则弹簧因挂钩码引起的伸长量为________ cm.
(3)逐一增加钩码，记下每增加一个钩码后弹簧下端所指的标尺刻度和对应的钩码总重力．该实验小组的同学在处理数据时，将钩码总重力F作为横坐标，弹簧伸长量Δl作为纵坐标，作出了如图丁所示的a、b两条Δl－F图像，其中直线b中的Δl是用挂钩码后的长度减去图________(选填“甲”或“乙”)所示长度得到的．
答案 (1)7.0 (2)弹簧自身重力 6.9 (3)甲
解析 (1)该读数为7.0 cm；
(2)由于弹簧自身重力的影响，不挂钩码时，弹簧也有一定的伸长量，其下端所指的标尺刻度为7.4 cm；在弹簧下端悬挂钩码后所指的标尺刻度14.3 cm，则弹簧因挂钩码引起的伸长量为14.3 cm－7.4 cm＝6.9 cm；
(3)由图线b的位置可知，当外力F＝0时，弹簧有伸长量，则可知直线b中的Δl是用挂钩码后的长度减去题图甲所示长度得到的．
2．(1)某同学使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹力与弹簧长度的关系图像如图所示，则可知原长较大的是________(填“a”或“b”)，劲度系数较大的是________(填“a”或“b”)．
(2)为了测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上不同质量的钩码．实验测出了钩码质量m与弹簧长度l的相应数据，其对应点已在图上标出并连线．由图可求得弹簧的劲度系数为________ N/m(结果保留3位有效数字，g＝10 m/s2)．
(3)若悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些，则实验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数________(填“偏大”或“偏小”)．
答案 (1)b a (2)0.263(0.260～0.270均正确)
(3)偏大
解析 (1)图像与横轴交点的横坐标值为弹簧原长，由题图可知原长较大的是b；图像的斜率表示劲度系数，则劲度系数较大的是a.
(2)由胡克定律F＝kx，解得k＝eq \f(F,x)＝eq \f(Δmg,Δl)＝eq \f(2.5×10－3×10,18.0－8.5×10－2) N/m≈0.263 N/m
(3)若悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些，则弹簧拉力偏小，实际计算时弹力偏大，则实验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数偏大．
3．(2023·辽宁葫芦岛市高三检测)某同学用如图甲所示实验装置进行“探究弹簧的弹力和弹簧伸长量的关系”的实验．直尺和光滑的细杆水平固定在铁架台上，一根弹簧穿在细杆上(细杆未画出)，其左端固定，右端与细绳连接．细绳跨过光滑定滑轮，其下端可以悬挂钩码，弹簧与定滑轮间的细绳水平．实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在绳子的下端，每次测出对应的弹簧总长度L，并将所挂钩码的重力大小作为弹簧的弹力大小F.(弹簧始终在弹性限度内)
(1)把以上测得的数据描点连线，如图乙所示，则该弹簧的原长L0＝________ cm，劲度系数k＝________ N/m.(结果均保留3位有效数字)
(2)若该同学先把弹簧竖直悬挂，下端不挂钩码测出弹簧原长为L1，再按照图甲所示方法悬挂钩码，测出弹簧伸长后的长度L，以L－L1作为弹簧伸长量x，以钩码重力大小作为弹力F大小．由于弹簧自身重力的影响，得到的图线可能是________．
答案 (1)5.00 13.3 (2)B
解析 (1)弹簧弹力为零时，弹簧总长度即为弹簧原长，故L0＝5.00 cm，弹簧劲度系数k＝eq \f(ΔF,ΔL)＝eq \f(2.0,0.20－0.05) N/m≈13.3 N/m.
(2)由于弹簧自身重力的影响，当x等于零时，弹簧有一定的弹力，但弹簧劲度系数不变，则k＝eq \f(ΔF,Δx)不变，即F－x图像斜率不变，故选B.
4．某同学探究图甲中台秤的工作原理．他将台秤拆解后发现内部简易结构如图乙所示，托盘A、竖直杆B、水平横杆H与齿条C固定连在一起，齿轮D可无摩擦转动，与齿条C完全啮合，在齿轮上固定指示示数的轻质指针E，两根完全相同的弹簧将横杆H吊在秤的外壳I上．他想根据指针偏转角度测量弹簧的劲度系数，经过调校，托盘中不放物品时，指针E恰好指在竖直向上的位置．若放上质量为m的物体指针偏转了θ弧度(θ<2π)，齿轮D的直径为d，重力加速度为g.
(1)指针偏转了θ弧度的过程，弹簧变长了________(用题干中所给的参量表示)．
(2)每根弹簧的劲度系数表达式为________(用题干所给的参量表示)．
(3)该同学进一步改进实验，引入了角度传感器测量指针偏转角度，先后做了六次实验，得到数据并在坐标纸上作出图丙，可得到每根弹簧的劲度系数为________ N/m(d＝5.00 cm，g＝9.8 m/s2，结果保留三位有效数字)．
答案 (1)eq \f(θ,2)d (2)eq \f(mg,θd) (3)154(151～159均可)
解析 (1)由题图乙可知，弹簧的形变量等于齿条C下降的距离，由于齿轮D与齿条C啮合，所以齿条C下降的距离等于齿轮D转过的弧长，根据数学知识可得s＝θ·eq \f(d,2)，即弹簧的伸长量为Δx＝s＝eq \f(θ,2)d
(2)对托盘A、竖直杆B、水平横杆H、齿条C和物体整体研究，根据平衡条件得mg＝2F，弹簧弹力的胡克定律公式为F＝kΔx，联立解得k＝eq \f(mg,θd)
(3)根据k＝eq \f(mg,θd)，得θ＝eq \f(g,kd)·m
所以θ－m图像是一条过原点的倾斜直线，其斜率k′＝eq \f(g,kd)，由题图丙可得k′＝eq \f(Δθ,Δm)＝eq \f(0.76,0.6) rad/kg
≈1.27 rad/kg
将d＝5.00 cm，g＝9.8 m/s2代入k′，
解得k≈154 N/m.
5．某同学想测量两根材料不同、粗细不同、长度不同的轻弹簧的劲度系数，他设计了如图(a)所示的实验装置．实验操作步骤如下：
①将一根粗细均匀的杆竖直固定在水平面上，在其表面涂上光滑材料；
②将轻弹簧A套在竖直杆上，将轻弹簧B套在弹簧A外面，弹簧A与杆之间以及弹簧B与弹簧A之间均有一定间隙；
③将刻度尺竖直固定在弹簧左侧，读出此时弹簧A、B的长度；
④将金属圆环套在竖直杆上并轻轻放在弹簧上，待圆环平衡后从刻度尺上读出弹簧A、B的长度；
⑤逐渐增加金属圆环(与此前所加的金属圆环完全相同)个数，重复步骤④；
⑥根据实验数据得出弹簧上方所加金属圆环的个数n及弹簧A对应的形变量x，通过计算机拟合出如图(b)所示的x－n图像；
⑦用天平测量出一个金属圆环的质量为100 g，实验过程中未超过两个弹簧的弹性限度，重力加速度g取9.80 m/s2.
回答下列问题：
(1)弹簧A、B的劲度系数分别为kA＝________ N/m，kB＝________ N/m；
(2)若把弹簧A、B串接在一起，将一端固定在天花板上，另一端悬挂一重力为G的物块，则物块静止时两弹簧的伸长量之和Δl＝____________(用kA、kB、G表示)．
答案 (1)156.8 235.2 (2)G(eq \f(1,kA)＋eq \f(1,kB))
解析 (1)由题可知，圆环数为4个时，恰好压在弹簧B上，且不受到B的弹力，此前，圆环仅受弹簧A的弹力，此后受到A、B两个弹簧的弹力，n＝4时有4mg＝kAx1，解得kA＝156.8 N/m，n＝8时有8mg＝kAx2＋kB(x2－x1)，解得kB＝235.2 N/m.
(2)串接时，两个弹簧的拉力大小相等，则lA＝eq \f(G,kA)，lB＝eq \f(G,kB)，可得Δl＝lA＋lB＝G(eq \f(1,kA)＋eq \f(1,kB))．钩码个数
长度
伸长量x
钩码质量m
弹力F
0
l0
1
l1
x1＝l1－l0
m1
F1
2
l2
x2＝l2－l0
m2
F2
3
l3
x3＝l3－l0
m3
F3
…
…
…
…
…
钩码质
量m/g
20
40
60
80
100
120
P点刻度
值x/cm
5.53
5.92
6.30
6.67
7.02
7.40
n
1
2
3
4
5
6
Ln/cm
8.04
10.03
12.05
14.07
16.11
18.09
传感器示数
FN(N)
6.00
4.00
3.00
1.00
0
指针示数
x(cm)
14.60
15.81
18.19
19.40
序号
1
2
3
4
5
硬币数量n/枚
5
10
15
20
25
长度l/cm
10.51
12.02
13.54
15.05
16.56
P1
P2
P3
P4
P5
P6
x0(cm)
2.04
4.06
6.06
8.08
10.03
12.01
x(cm)
2.64
5.26
7.81
10.30
12.93
15.41
n
10
20
30
40
50
60
k(N/m)
163.3
①
56.0
44.1
33.8
28.8
eq \f(1,k)(m/N)
0.006 1
②
0.017 9
0.022 7
0.029 6
0.034 7
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