2024届高考数学复习第一轮讲练测专题7.5 数列的综合应用 学生版

专题7.5   数列的综合应用

1．（2021·浙江高三专题练习）已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

3.【多选题】（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（    ）(参考数据：)

A．

B．

C．2020年小王的年利润为40000元

D．两年后，小王手中现款达41万

4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________.

5．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））数列满足：，点在函数的图像上，其中为常数，且

（1）若成等比数列，求的值；

（2）当时，求数列的前项的和.

6.（2021·江苏高考真题）已知数列满足，且.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）求数列的前项和.

7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在等差数列中，为其前项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为且求的取值范围.

8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模拟）在数列中，.等差数列的前两项依次为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

9．（2021·重庆高三三模）已知数列的前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式：

（2）设，数列的前项和为，求证：．

10．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）在数列中，，且成等比数列．

（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）设数列满足，其前项和为，证明：．

1．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为__________．

2．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围.

3．（2021·全国高三其他模拟）有下列三个条件：①数列是公比为的等比数列，②是公差为1的等差数列，③，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.

设数列的前项和为，，对任意的，都有___________.已知数列满足，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

4.（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知数列{an}的前n项和为Sn，，数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b6＝a5．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，记数列{cn}的前n项和为Tn，证明：3Tn＜1．

5．（2021·全国高三其他模拟）在①；②；③成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{an}是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，a1＝2，且___.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若（），求数列{bn}的前n项和Tn.

6．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，

（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；

（2）求的前项和及的前项和为．

7．（2021·湖北高三其他模拟）在等比数列{an}中，公比，其前n项和为Sn，且S2=6，___________.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，且数列{cn}满足c1=1，cn+1﹣cn=bn+1bn，求数列{cn}的通项公式.

从①.S4=30，②.S6﹣S4=96，③.a3是S3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.

8．（2021·全国高三其他模拟）从①，②，③中任选一个填入下面的空中，并解答．

设等比数列的公比，且____．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

9．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}满足，且=，n∈（是等比数列，是等差数列），记数列{}的前n项和为，{}的前n项和为，若公比数q等于公差数d，且

（1）求数列{}的通项公式；

（2）记为数列{}的前n项和，求（n≥2，且n∈）的最小值．

10．（2021·浙江金华市·高三三模）若数列的前n项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列满足，其前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

1.（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

2.（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（    ）

A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．

3.（2019年浙江卷）设，数列中，， ,则（  ）

A. 当 B. 当

C. 当 D. 当

4．（2020·江苏省高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．

5.（2019年浙江卷）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）记 证明：

6.（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．

（I）求和的通项公式；

（II）记，

（i）证明是等比数列；

（ii）证明