湖南省邵阳市第二中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

2023年上学期高一期末考试数学试卷

时间：120min 分值：150分 命题：袁雄辉 审题：刘娅

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知为虚数单位，，则（    ）

A.-1    B.    C.    D.

2.在锐角三角形中，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则

4.甲､乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（    ）.

A.0.9    B.0.8    C.0.7    D.0.2

5.已知，则的大小顺序为（    ）

A.    B.

C.    D.

6.在中，，若，则的值为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”.已知棱台是一个侧棱相等､高为1的“刍童”，其中，则该“刍童”外接球的表面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立.则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（    ）

A.命题“”的否定是“”

B.若，则“”是“”的必要不充分条件

C.若事件满足，则是对立事件

D.若事件满足，则事件相互独立

10.复数在复平面内对应的向量分别为，则下列四个结论错误的是（    ）

A.

B.若，则

C.恒成立

D.若，则

11.已知内角所对的边分别为，以下结论中正确的是（    ）

A.若，则

B.若，则该三角形有两解

C.若，则一定为等腰三角形

D.若，则一定为钝角三角形

12.已知正方体的棱长为为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（    ）

A.

B.二面角的大小为

C.点到平面距离的取值范围是

D.若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，则的最小值是__________.

14.若，则__________.

15.一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为__________.

16.已知平面向量满足，且对任意的实数，均有，则的最小值为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题10分）已知向量，若与的夹角为.

（1）求；

（2）当为何值时，向量与向量互相垂直？

18.（本小题12分）2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组，统计结果如图所示：

（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；

（3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在的概率

19.（本小题12分）如图，在四棱锥中，平面是的中点.

（1）证明：面

（2）证明：平面平面；

（3）求三棱锥的体积.

20.（本小题12分）在中，内角所对的边分别为，已知.

（1）求角A；

（2）若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围.

21.（本小题12分）如图，在三棱台中，，平面，平面平面.

（1）求证：；

（2）若的面积为4，求二面角的余弦值.

22.（本小题12分）已知函数是偶函数.

（1）求的值；

（2）若，不等式对任意恒成立，求的取值范围.

数学期末考试参考答案

13.4    14.    15.5    16.

8.由题得函数为偶函数，在单调递增，

则对任意的，不等式恒成立，

则不等式恒成立，

则恒成立，

得，得恒成立，

则且，或且恒成立，

即当时，且，或且，

又当，有，得.故选：C.

12.由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设，其中，

对于A：，故即，故A确.

对于，

设平面的法向量为，则，即，故.

设平面的法向量为，则，即，取，则

，

故.故，而二面角为锐二面角，

故其余弦值为，不为，故二面角的平面角不是，故B错误.

对于C：，设平面的法向量为，

则，即，取，则，故.

而，故到平面的距离为，故C正确.对于：设直线与平面所成的角为.

因为平面，故为平面的法向量，

而，故，

而，故D正确.故选：ACD

16.依题意，，在平面直角坐标系中，设

对应向量对应向量，则，则，

由于，所以对应终点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.

依题意，恒成立，两边平方并化简得恒成立，

所以，整理得，

设，则，所以对应点的轨迹是直线.

则表示圆上的点和直线上的点的距离，

所以的最小值为.

17.（1）（2）

18.（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数

（2）因为成绩在的频率为0.45，成绩在的频率为0.3，

所以中位数为

（3）在和两组中的人数分别为

和人，

所以在分组中抽取的人数为人，记为，

在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，

所以这5人中随机抽取2人的情况有共10种，

其中两人得分都在的情况有1种，

所以两人得分都在的概率为.

19.（1）取中点，连接，证即可

（2）因为，所以，

由平面平面，所以，

又由，且平面，所以平面，

因为是中位线，所以，

所以四点共面，于是平面平面，

所以平面平面

（3）由（1）可得，且平面，所以平面，

所以，

因为平面，可得，又由，

所以，所以

20.（1）解：由结合正弦定理可得：

，则

因为，则，所以，，可得，故.

（2）解：由可得，所以，，

所以，，故，在中，，

由正弦定理可得，

所以，，

因为，则，所以，.

所以，的取值范围是

21.（1）证明：取中点，连接，

因为，所以，

又因为=平面平面，平面平面平面，

所以平面平面，

所以①，又因为平面平面，

所以②，易知与相交③，

由①②③可得平面，又因为平面，所以；

（2）解：因为平面平面，

所以，

由（1）可知平面平面，所以，

所以以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的坐标系：

因为，所以，

又因为的面积为4，即，解得，

所以，

所以，

设平面的法向量为，

则有，即，所以，取，

设平面的法向量为，

则有，即，所以，取，

设二面角的大小为，为锐角，

则有.（用定义法也可以）

22.（1）因为，

所以，

，

因为函数为偶函数，则，即，

所以，，解得.

（2）由（1）可得

，

任取，且，则，

，

当时，，则，

所以，，即，

当时，，则，

所以，，即，

所以，函数在上递减，在上递增，

令，问题转化为：，即，

再令，所以，对恒成立.

（i）当时，左边，右边，不符合题意

（ii）当时，

①当时，则，

当时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则，解得，

此时；

②当时，有，

所以，，

当，则，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，故在上的最大值为

，所以，，此时，；

③当时，恒成立，符合题意.

综上所述，的取值范围是的取值范围是