2022-2023学年福建省莆田第二十五中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年福建省莆田第二十五中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】先对复数化简，再求其共轭复数，从而可求得答案

【详解】因为，

所以其共轭复数为，则其虚部为，

故选：B

2．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．13

【答案】A

【分析】先由题意，求出，再由向量模的计算公式，即可求出结果.

【详解】因为，均为单位向量，它们的夹角为，

所以，

因此.

故选：A.

3．已知，则的值为（    ）

A．0 B． C． D．1

【答案】B

【分析】利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换求解即可．

【详解】解：因为，

．

故选：B．

4．在中，，是，所对的边，已知，则的形状是（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【答案】B

【分析】由正弦定理得，化简得,即得解.

【详解】由正弦定理得，

所以，

所以,

因为,

所以.

所以三角形是等腰三角形.

故选：B

【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5．要得到函数的图像，只需要将函数的图像

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

【答案】D

【详解】试题分析：根据题意，由于将函数的图像向左平移个单位得到，可知成立，故答案为D.

【解析】三角函数图像的变换

点评：主要是考查了三角函数的图象的平移变换的运用，属于基础题．

6．设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.

【详解】在上的投影向量为：

.

故选：B

7．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则犇犇估算索菲亚教堂的高度约为（结果保留整数）（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的，最后根据直角三角形算出即可.

【详解】解：由题意知：，，所以，

在中，，

在中，由正弦定理得，

所以，

在中，，

故选：D.

8．已知函数满足对恒成立，则函数

A．一定为奇函数 B．一定为偶函数

C．一定为奇函数 D．一定为偶函数

【答案】D

【详解】由题意得，时，则，，所以，此时函数为偶函数，故选D．

二、多选题

9．已知向量，，则（    ）

A．

B．向量在向量上的投影向量是

C．

D．与向量共线的单位向量是，

【答案】AC

【分析】由向量垂直的坐标表示，数量积的定义，模的坐标表示，共线向量的坐标表示及单位向量的定义计算后判断．

【详解】解：因为向量，，故，

对于A，，所以，所以，故A正确；

对于B，向量在向量上的投影向量是，（注是向量的夹角），故B错误；

对于C，，所以，故C正确；

对于D，共线的单位向量是，即，或，，故D错误.

故选：AC.

10．若复数满足，则（    ）

A．

B．是纯虚数

C．复数在复平面内对应的点在第三象限

D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则

【答案】AB

【分析】对于A：计算出复数的代数形式即可判断；

对于B：求出的代数形式即可判断；

对于C：求出复数在复平面内对应的点即可判断其位置；

对于D：通过复数在复平面内对应的点求出即可判断.

【详解】对于A：，，A正确；

对于B：，为纯虚数，B正确；

对于C：，其在复平面内对应的点为，在第一象限，C错误；

对于D：复数在复平面内对应的点为，则，D错误.

故选：AB.

11．已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确的是（    ）．

A．函数的图象关于直线对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调增

D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为

【答案】BCD

【分析】现根据图像求出函数的解析式，再根据图像性质对每个选项进行判断即可.

【详解】由图可知，，即，

因，且，故，因此，

又因的图像过点，所以 ，

因，故，因此.

对于选项A，由，得的对称轴为，

故不是函数的对称轴，因此A错；

对于选项B，由，得函数的对称中心为，，

故函数的图像关于点对称，因此B正确；

对于选项C，由，

得函数的单增区间为，，

故函数在区间上单调递增，因此C正确；

对于选项D，由，做出如下图形：

由图可知，函数与的图像在上有4个交点，

则这4个交点的横坐标之和为，故D正确.

故选：BCD.

12．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．若，且有两解，则b的取值范围为

C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为

D．若，且，O为的内心，则

【答案】ACD

【分析】选项A：根据条件求出；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b的取值范围；选项C：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角A的范围，从而求边的范围；选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求的内切圆半径，从而求的面积.

【详解】解：对于A选项，因为，

所以由正弦定理，得,即 ，

因为，所以，且，所以，A选项正确；

对于B选项，由余弦定理得，

将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,

故 ,解得，所以选项B错误；

对于C选项，由正弦定理，得 ，即 ，

因为为锐角三角形，

所以 ，即，解得，

所以，故选项C正确；

对于D选项，因为，所以，

因为，所以，

所以由正弦定理，得，即，

所以，

即，

因为，所以，即，

又因为，

所以，， ，，即是直角三角形，

所以内切圆的半径满足，即，

所以的面积为，选项D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛:在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到.

②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以;

若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中，综合三个角为锐角有,得.

三、填空题

13．已知非零向量与满足，则向量与夹角的余弦值为__________.

【答案】/0.25

【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.

【详解】因为，

所以，，

所以，

所以.

故答案为：

14．已知，则_____.

【答案】

【分析】把等式两边同时平方化简即得解.

【详解】由题得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为  ，则＋＝______.

【答案】/0.5

【分析】根据函数的周期性和奇偶性及分段函数的性质求函数值.

【详解】解：由题意得：

函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为  

故答案为：

16．在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z对应的点为点，则点与点之间距离的最小值_________________

【答案】

【分析】根据已知条件，集合复数模公式，求出点Z的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】设，

，

,即，

化简整理可得 ，

复数的对应点的轨迹，

对应的点为点，

点与点之间距离的最小值为，

故答案为：

四、解答题

17．平面内给定三个向量，，.

(1)求；

(2)求；

(3)若，求实数k.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据平面向量夹角的坐标公式即可求解；

（2）根据平面向量模长公式的坐标表示即可求解；

（3）根据平面向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】（1）解：因为，，

所以，，，

所以；

（2）解：因为，，所以，

所以；

（3）解：因为，，，

又，

所以，解得.

18．已知，计算下列各式的值．

(1)；

(2).

【答案】(1)2

(2)1

【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系，利用已知条件即可求出；

（2）根据同角三角函数的平方关系构造齐次式，再利用商数关系化简，代入求值即可.

【详解】（1）解：已知，化简，

得，所以.

（2）

.

19．已知、，是虚数单位，若复数与互为共轭复数.

(1)判断复平面内对应的点在第几象限；

(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.

【答案】(1)第一象限

(2)

【分析】（1）根据共轭复数的定义可求出、的值，利用复数的几何意义可得出结论；

（2）利用复数的四则运算化简复数，利用复数的几何意义可出关于实数的不等式组，解之即可.

【详解】（1）解：因为、，是虚数单位，若复数与互为共轭复数，

则，所以，，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.

（2）解：由（1）可得，

，

因为复数在复平面内对应的点在第二象限，

则，解得.

因此，实数的取值范围是.

20．已知向量，，.

(1)若，求的值；

(2)若，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得到，再结合即可得到答案.

（2）首先根据题意得到，从而得到，再根据求解即可.

【详解】（1）因为所以，所以

由于，所以.

（2）由

所以，即.

而

所以.

21．的内角的对边分别为，已知.

(1)若，求的值；

(2)若，求周长的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理求得，进而求得的大小；

（2）由余弦定理化简得到，结合基本不等式，求得的最大值，进而求得周长的最大值.

【详解】（1）解：由正弦定理知，所以，解得，

因为为钝角，所以.

（2）解：由余弦定理得，

又由，则，

所以，

所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，

所以周长的最大值为.

22．为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知，，，且，.

(1)求的长度.

(2)假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦定理即可求解；

（2）根据余弦定理求解，进而得，由两角和与差的余弦公式可得，进而由余弦定理求解，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解.

【详解】（1）因为，，所以，

在中，由余弦定理，得

.

（2）在中，由余弦定理，得，

所以，

所以.

在中，由余弦定理，得

，解得.

假设小夏先去地，走路线，路长，

假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长，

假设小夏先去地，走路线，路长，

由于，

所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为.