福建省三明市永安市2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷(含解析)

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2022-2023学年福建省三明市永安市八年级（下）期中

数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2.  与的差不大于，用不等式表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列定理中没有逆定理的是(    )

A. 内错角相等，两直线平行 B. 对顶角相等
C. 等腰三角形两底角相等 D. 直角三角形中，两锐角互余

6.  如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在方格纸中，点，，的坐标分别记为，，若，则点的坐标可能是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，地面上有三个洞口、、，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在(    )

A. 三条角平分线的交点
B. 三条边的中线的交点
C. 三条高的交点
D. 三条边的垂直平分线的交点

9.  已知不等式组的解集是，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点；下列结论：；平分；，其中所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若一个等腰三角形的两边长分别为，，则第三边的长为______．

12.  关于的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为______．

13.  已知五个正数的和等于，用反证法证明这五个数中至少有一个大于或等于，其中，第一步应假设______ ．

14.  如图，直线与轴、轴的交点分别为，，则关于的不等式的解集为______．

15.  如图，在中，，，，将沿射线方向平移个单位后得到，连接，则的长为______ ．

16.  如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如表是小彬求解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务．

第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容：______
第三步出错的原因是：______ ；
请从第三步开始，写出正确解答过程．

18.  本小题分
解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
 

19.  本小题分
用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点那么射线就是的平分线，请你证明这一结论．
 

20.  本小题分
如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，连接，求证：．

21.  本小题分
如图，方格纸中每个小正方形边长都是个单位长度的三个顶点，，．
将以点为旋转中心顺时针旋转，得到，请画出并写出点的坐标；
平移，使点的对应点坐标为，请画出平移后对应的，并写出点的坐标；
若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心点的坐标为______ ．

22.  本小题分
命题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等请你依据所给图形，写出已知，求证，并证明它是定理．
已知：______ ．
求证：______ ．
证明：______ ．

23.  本小题分
如图，在中，．
在边上找一点，使；尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法和证明
在的条件下，若，，求的长．

24.  本小题分
某村在政府的扶持下建起了鲜花大棚基地，准备种植，两种鲜花经测算，种植两种鲜花每亩的投入与获利情况如表：

政府和村共同投入万元全部用来种植这两种鲜花，总获利万元设种植种鲜花亩，求关于的函数关系式；
在的条件下，若要求种鲜花的种植面积不能多于种鲜花种植面积的倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．

25.  本小题分
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，．

______ ；
小昕同学将三角板绕点按顺时针方向旋转．
如图，当点落在边上时，延长交于点，求的长．
若点、、在同一条直线上，请画出示意图并求点到直线的距离．

答案和解析

1. 

解：、，
以、、为边组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、，
以、、为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、，
以、、为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、，
以、、为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选：．
求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
 

2. 

解：根据题意得：．
故选：．
不大于就是小于等于的意思，根据与的差不大于，可列出不等式．
本题主要考查了一元一次不等式，解答本题的关键是理解“不大于”的意思，列出不等式．
 

3. 

解：，
由不等式的性质，得，
由不等式的性质，得，
而与，与不能进行比较，
故选C．
根据不等式的性质进行运算辨别即可．
此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能正确运用不等式的性质进行正确的变形．
 

4. 

解：，
移项得：，
在数轴上表示为：
故选：．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可得出选项．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示不等式的解集是解此题的关键．
 

5. 

解：、逆命题为两直线平行，内错角相等，所以成立，
故不符合题意；
B、逆命题为相等的角为对顶角，所以不成立，
故符合题意；
C、逆命题为两角相等的三角形为等腰三角形，所以成立，
故不符合题意；
D、逆命题为两锐角互余的三角形为直角三角形，所以成立，
故不符合题意；
故选：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理，掌握写出一个命题的逆命题是解题的关键．
 

6. 

解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等等．
 

7. 

解：如下图所示，
，，
，
．
故选：．
由平移得到，横坐标加，纵坐标加；因此要平移得到点，也是横坐标加，纵坐标加，得到点的坐标为．
本题主要考查用坐标来表示平移．
 

8. 

解：三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处．
故选：．
根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
本题考查线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等是本题的解题关键．
 

9. 

解：由得，
，
故选：．
根据不等式可知，由此即可确定取值范围．
本题主要考查的解不等式组，掌握其解题方法“找范围，定边界”，是解题的关键．
 

10. 

解：将以点为旋转中心逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
平分，故正确；
，，
，故正确；
，
，
，故正确；
故选：．
根据旋转的性质得到，，，，推出即可判断；利用三角形的外角性质即可判断；再证明，即可判断．
本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的外角性质，熟记各定理是解题的关键．
 

11. 

解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，
所以，第三边为；
是底边时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形，
综上所述，第三边为．
故答案为：．
分是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．
 

12. 

解：该不等式组的解集为：．
故答案为：．
读懂数轴上的信息，然后用不等号连接起来．界点处是实点，应该用大于等于或小于等于．
考查在数轴上表示不等式的解集，关键是读懂数轴上的信息，能正确选用不等号．
 

13.这五个正数都小于 

解：已知五个正数的和等于，用反证法证明这五个数中至少有一个大于或等于，应先假设这五个正数都小于，
故答案为：这五个正数都小于．
根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．
本题考查了反证法，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

14. 

解：直线与轴交点坐标为，
由图象可知，当时，，
不等式的解集是．
故答案为：．
根据直线与轴交点坐标为，得出的值大于的点都符合条件，从而得出的解集．
本题考查了一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，找到与轴的交点，做到数形结合．
 

15. 

解：沿射线方向平移个单位后得到，
，，，
是等边三角形，
，
故答案为．  

16.或 

解：分两种情况：
如图，当时，是直角三角形，

在中，，，，
，，
由折叠可得，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当时，是直角三角形，

由题可得，，，
，，
，，
设，则，，
又，
，
解得：，
，，
过作于，
则，
，，
由折叠可得，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：或．
由为直角三角形，分两种情况进行讨论：；分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕的长．
本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 

17.不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变  不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变  移项没有变号 

解：一步的依据是不等式性质，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
故答案为：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号．
故答案为：移项没有变号；
移项，得：，
合并同类项，得，
系数化为，得．
根据解一元一次不等式的一般步骤，第一步去分母，依据是不等式的基本性质；
第三步是移项，移项时注意要变号；
根据第三步移项，第四步把的系数化为，解不等式即可，注意不等号方向的变化．
本题主要考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．
 

18.解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
该不等式组无解．
原不等式组的解集在数轴上表示如下：
 

分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是准确求出两个不等式的解集．
 

19.证明：，
在和中，
，
≌，
，
射线就是的平分线． 

证明≌，可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，作图复杂作图，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

20.证明：绕点逆时针旋转到，

，，
，
，
，
，
，
． 

先根据旋转推出旋转对应线段以及对应角，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出，最后根据内错角相等，两直线平行，求证．
本题考查了旋转的性质、平行线的判定和等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

21. 

解：如图，即为所求，
将以点为旋转中心顺时针旋转，得到，
点与点关于轴对称，
，
；
，平移，使点的对应点坐标为
的平移是横坐标不变，纵坐标减个单位长度，
，
，
连接，
以点为旋转中心顺时针旋转，得到，
，
，
由图可知的中点为，
故答案为：．
利用旋转的性质得到点和点关于轴对称；
根据点的平移得到平移到的坐标特点；
根据旋转的性质即可得到了旋转中心的点的坐标．
本题考查了旋转性质，平移的性质，平面直角坐标系内点的坐标特征，掌握旋转的性质及平移的性质是解题的关键．
 

22.如图，中，，是的中点，于点，于点    连接，
，是中点，
为的平分线三线合一的性质，
又，，
角平分线上的点到角的两边相等，
等腰三角形底边中点到两腰的距离相等． 

解：已知：如图，中，，是的中点，于点，于点，
求证：．
证明：连接，如图，

，是中点，
为的平分线三线合一的性质，
又，，
角平分线上的点到角的两边相等，
等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．
故答案为：如图，中，，是的中点，于点，于点；．
先写出已知、求证，然后根据等腰三角形的性质和角平分线的性质进行证明．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
 

23.解：如图，点为所作：
；
，，
，
由作图知，
设，则，
在中，由，
，
，
即的长为． 

作边的垂直平分线交于点，点即为所求；
计算的长度，设，表示，在中，使用勾股定理可得结果．
本题考查了垂直平分线的作法，及使用勾股定理求线段长度，熟知垂直平分线的作法，及勾股定理是解题的关键．
 

24.解：由题意得：；
由题意得：，
解得，
，且，
随的增大而增大．
当时，最大值为，
此时种鲜花种植面积为亩．
当种植种鲜花亩，种鲜花亩时，总获利最大，最大总获利为万元． 

根据总利润等于两种鲜花利润之和列出函数解析式；
根据种鲜花的种植面积不能多于种鲜花种植面积的倍得到的取值范围，根据函数的性质求最大值．
本题考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式和不等式．
 

25. 

解：，，
，
，
，
；
如图，由旋转知，，

是等边三角形，
；
当点在上方时，如图，
过点作，垂足为，

在中，，，，
，
．
点、、在同一直线上，且，
．
在中，，，，
，
，
在中，，
；
当点在下方时，如图，

在中，，，，
，
，
过点作，垂足为，
在中，，
；
综上，点到直线的距离为．
根据含度直角三角形的性质可进行求解；
由题意易得是等边三角形，然后问题可求解；
当点在上方时，过点作，垂足为，当点在下方时，然后根据等积法可分类进行求解．
本题主要考查旋转的性质、勾股定理、含度直角三角形的性质及等积法，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、含度直角三角形的性质及等积法是解题的关键．