2022-2023学年云南省玉溪第一中学高一下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年云南省玉溪第一中学高一下学期期中考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年云南省玉溪第一中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知全集，集合，，则等于（     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据补集的运算，求得，结合交集的运算，即可求解.【详解】解：由集合，可得，又由合， 可得.故选：A.2．已知平面向量，，且，则（   ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量垂直得数量积为0，求出m，由向量线性运算的坐标表示求解.【详解】由可得，解得，所以，故选：C3．若，则“”是“”的（     ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，可得，可得，即充分性成立；反之：由，可得，又因为，所以，所以必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A.4．已知函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分段函数的表达式，代入求解即可.【详解】解：由函数表达式可得，故选：D.【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数表达式中自变量的范围进行代入是关键，比较基础.5．已知 ，且，则的最小值为A． B． C． D．【答案】C【分析】运用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•（）﹣1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．【详解】由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•1﹣1＝[（x+1）+y]•2（）﹣1＝2（21≥3+47．当且仅当x，y＝4取得最小值7．故选C．【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．6．在中，内角所对边分别为，已知，则下列选项中正确的是（     ）A．B．外接圆的半径为C．的面积为D．内切圆的半径为【答案】B【分析】根据正弦定理求出外接圆半径判断B，再求角由正弦定理得判断A，根据三角形面积公式求面积判断C，再由面积等积法求内切圆的半径判断D.【详解】，，即，又，，故B正确；，由可得，故A错误；所以，故C错误；设内切圆的半径为，则由面积等积法可知，解得，故D错误.故选：B7．一个表面积为的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为的扇形，设该扇形面积为，则为（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由弧长公式可求出圆锥母线与底面圆半径的关系，再由圆锥表面积公式可解.【详解】设圆锥母线长，底面圆半径，，所以，圆锥表面积，扇形面积，所以.故选：D8．已知球的半径为，平面截球所得的截面的半径均为4，若，则平面与平面的夹角的余弦值为（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据截面的夹角与互补，再根据余弦定理求解即可【详解】由题意，，故，又平面与的夹角与互补，故平面与的夹角的余弦值为故选：C 二、多选题9．下列命题中正确的是（     ）A．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合B．过直线外一点可以作无数个平面与该直线平行C．分别在两个平面内的两条直线叫做异面直线D．若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行【答案】AB【分析】利用线面之间的关系一一进行判断即可.【详解】对于A，根据不共线三点确定一个平面，则两平面相交于一个平面，则这两个平面必重合，故A正确；对于B，只需将满足题意的一个平面绕该直线进行一定旋转，同时保证过直线外的定点，所得的平面均与该直线平行，故B正确；对于C，分别在两个平面内的两条直线可能异面，也可能相交或平行，故C错误；对于D，两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线相交、平行或异面,例如圆锥的两条母线.与底面所成角相等，但是母线是相交直线.故选：AB.10．记函数的最小正周期为T，若，且在上单调递增，则的值可以是（    ）A． B． C． D．1【答案】ABC【分析】由已知可知，利用正弦型函数的单调性可知，求解即可.【详解】由已知，，又，，，，因为在上单调递增，，解得所以的取值范围是故选：ABC11．在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，点是侧面内一点（包含边界），若，则下面哪些值可能是线段的长度（     ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段长度取最小值、最大值即可得解．【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设，2，，，，则，2，，平行于平面，，整理得，线段长度，当且仅当时，线段长度取最小值，当时，线段长度取最大值3．故选：CD．12．已知向量满足，则以下结论正确的是（     ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据所给向量的模平方后做差可求，判断A，再由向量模的三角绝对值不等式求出的范围判断BC，根据模的关系利用的模的范围求出模的范围判断D.【详解】，，，故A错误；，，即，，故C错误；又，，故B正确；，，，，故D正确.故选：BD 三、填空题13．计算：________.【答案】/【分析】结合诱导公式、两角差的正弦公式求得正确答案.【详解】.故答案为：14．已知，则________．【答案】1【分析】本题先求出、，再化简代入求值即可.【详解】解：∵ ，，，∴  或①当且时，；②当且时，.故答案为：1.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题.15．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】根据零点定义，转化为与在上有交点，求出值域即可得解.【详解】因为函数在区间上存在零点，即与在上有交点，又， 在上单调递增，故时，则，设，则，由可得，即与在上有交点，则.故答案为：16．在中，，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的表面积为___________.【答案】【分析】作出几何体的直观图，可知该几何体是以为底面圆半径，、为母线的两个圆锥拼接而成的组合体，利用等面积法计算出该几何体内切球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】过点作，垂足为点，将以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体是以为底面圆半径，、为母线的两个圆锥拼接而成的组合体，设该组合体的内切球球心为点，则点在线段上，点到、的距离相等，设内切球的半径为，则，即，所以，，因此，该几何体的内切球的表面积为.故答案为：. 四、解答题17．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线定理与空间平行线的传递性，推得，由此得证；（2）利用线面平行的判定定理证得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，从而利用面面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点∴GH是的中位线，∴GHB1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四点共面．（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EFBC，∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF平面BCHG，∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，∴A1GEB，，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB，∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E平面BCHG，∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1平面BCHG.18．在中，角所对的边分别为，且.(1)求证：；(2)求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)最小值为 【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.（2）将问题转化 ，根据第一问解得，然后结合不等式求解.【详解】（1）在中，，由正弦定理得，又，因为,所以,所以,又,所以，且,所以，故.（2）由（1）得，所以，因为，所以，当且仅当即，且，即当且仅当时等号成立，所以当时，的最小值为.19．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，8，.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取CD中点O，连接PO，AO，BO，证明平面POA即可得证；（2）证明是二面角的平面角，利用余弦定理求解.【详解】（1）取CD中点O，连接PO，AO，BO，证明因为，所以，又平面平面ABCD，平面PCD，平面平面，所以平面ABCD，而平面ABCD，所以；因为4且，所以四边形ABOD为平行四边形，又4，所以平行四边形ABOD为菱形，因此，因为，平面POA，平面POA，所以平面POA，因为平面POA，所以；（2）设AO与BD交与M点，连接，由（1）知平面POA，而且平面POA，平面POA，所以，所以是二面角的平面角又所以所以所以在P中，.即二面角的余弦值为.20．已知函数，，若，.(1)求，的解析式；(2)若，试比较的大小.【答案】(1)，；(2)答案见解析 【分析】（1）列方程组求出，由对数的运算即可求解；（2）对分类讨论，由对数的运算及性质比较大小即可.【详解】（1）由，解得：，即，；（2）由，得；当时，有，所以，此时；当时，因为，所以，所以，此时；当时，因为，所以，所以，此时.21．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式与单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.【答案】(1)，递减区间为，(2) 【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.【详解】（1）由题意，图象的相邻两对称轴间的距离为，的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，，又，，故，令，得函数的递减区间为，（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，又，则或，即或.令，当时，，画出的图象如图所示：有两个根,关于对称，即,有,在上有两个不同的根，,；又的根为，所以方程在内所有根的和为.22．向量是解决数学问题的有力工具，我们可以利用向量探究的面积问题：(1)已知，，，求的面积；(2)已知不共线的两个向量，，探究的面积表达式；(3)已知，若抛物线上两点、满足，求面积的最小值．【答案】(1)3(2)(3) 【分析】（1）根据数量积夹角公式求，再求后，即可求三角形的面积；（2）将三角形的面积公式转化为向量的坐标表示，即可求解；（3）根据（2）的结果，表示的面积，再结合二次函数求最值.【详解】（1）由平面向量的数量积可得，则为锐角，故，因此，;（2）（3）由已知可得，，，故当时，的面积取到最小值.