2022-2023学年江苏省盐城市大丰中学、盐城一中等六校高一上学期期末联考数学试题含解析

2022-2023学年江苏省盐城市大丰中学、盐城一中等六校高一上学期期末联考数学试题

一、单选题

1．集合满足，则集合中的元素个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】根据集合的交集、并集与集合与元素的关系，即可得集合，从而可得集合中的元素个数.

【详解】因为，所以，

又，所以，则，故集合中的元素个数为.

故选：B.

2．已知为第三象限角，则为第（    ）象限角.

A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三

【答案】A

【分析】根据为第三象限角得到的取值范围，进而可得的范围，即可求解.

【详解】因为为第三象限角，

所以

所以

当为偶数时，记,

所以

所以为第二象限角，

当为奇数时，记,

所以

所以为第四象限角，

所以为第二或第四象限角，

故选:A.

3．我们知道，任何一个正数可以用科学计数法表示成（为正整数），此时，当时，称的位数是.根据以上信息可知的位数是（    ）（）

A．27 B．28 C．29 D．30

【答案】C

【分析】通过求，根据已知估值计算即可求解．

【详解】，

则的位数是是．

故选：C．

4．设是定义在上的奇函数，则＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据奇函数的定义可得的值，从而确定函数解析式，即可求得的值.

【详解】因为是定义在上的奇函数，

所以，即，且，故，所以，

所以，则.

故选：B.

5．下列各式大小比较中，其中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质比较A，利用三角函数的的图象性质比较B，利用对数函数的图象性质比较C，利用对数对数函数的图象性质比较D.

【详解】要证，即证，

即证，即证，

即证，不成立，故不成立，A错误；

因为，

所以要证，即证，

即证，即证，不成立，

所以不成立，故B错误；

因为，所以，

所以，C错误；

要证，即证，

因为，所以，

所以，D正确，

故选:D.

6．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环形砖雕的面积.

【详解】扇形的圆心角为，

又因为，，

所以，该扇环形砖雕的面积为.

故选：A.

7．已知函数，若有四个不同的解且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出分段函数的图象，数形结合确定以及，进而可得，构造函数讨论最值即可求解.

【详解】当时，；

当时，；

当时，；

作出函数的图象如下，

则由图象可知，的图象与有4个交点，

分别为，

因为有四个不同的解且，

所以，且，且，

，

又因为

所以即，

所以，

所以，且，

构造函数在单调递减，

所以，

故选:B.

8．已知，满足，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦函数的周期性和对称性分析可得为函数的对称轴，再根据周期性分析零点即可.

【详解】由题意可知：函数的最小正周期，

因为，则为函数的对称轴，

则函数在之后的零点依次为，

若函数在区间上有且只有三个零点，则.

故选：D.

二、多选题

9．已知，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．3

【答案】CD

【分析】利用平方关系结合已知求出，再根据商数关系即可得出答案.

【详解】解：由，得，

又，

所以，

解得或，

当时，，则，

当时，，则.

故选：CD.

10．已知正实数满足，则下列说法中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据指数与对数的互化，设，得，，，然后根据对数的运算性质以及换底公式对各个选项逐个化简即可判断求解．

【详解】已知正实数，则设，所以，，，

对于A，因为

，

又，所以，所以，即，故A正确；

对于B，因为，，所以，即，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，

，

又因为，故等号不成立，所以，即，故D正确，

故选：ACD．

11．给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ）

A．若角的终边过点且，则

B．设角为锐角（单位为弧度），则

C．命题“，使得”的否定是：“，均有”

D．函数的图象过定点

【答案】ABD

【分析】对于A、B：根据三角函数的定义分析运算；对于C：根据特称命题的否定分析判断；对于D：根据指数函数的性质分析运算.

【详解】对于选项A：由题意可得：，解得，故A正确；

对于选项B：设角的终边与单位圆的交点为，单位圆与x轴正方向的交线为A，作轴，

角为锐角，可知：等于的长，，则，故B正确；

对于选项C：“，使得”的否定是：“，均有”，故C错误；

对于选项D：令，解得，

且，所以函数的图象过定点，故D正确；

故选：ABD.

12．给出下列四个命题，其中正确命题的是（    ）

A．设是定义域为的奇函数，且，若，则

B．若，则的取值范围是

C．已知定义域为的奇函数，当时，满足，则

D．若，则

【答案】BD

【分析】对于选项A，由是定义域为的奇函数得，所以，把化为即可判断；对于选项B，由，根据指数函数的单调性列出不等式组，解出的取值范围即可判断；对于选项C， 由题意求出，，，得到，再根据周期性得到

，，…由求出即可判断；对于选项D，由得，构造函数函数，讨论函数的单调性，由解得即可判断.

【详解】对于选项A，由是定义域为的奇函数得，

所以，所以，

故选项A错误.

对于选项B，若，即，则或，

解得，即的取值范围是，

故选项B正确.

对于选项C， 因为是定义域为的奇函数，且满足，

所以，，，

所以.

因为，，，

所以，

同理得，…

因为，所以，

故选项C错误.

对于选项D， 因为，

所以，

即.

令函数，

因为和都是减函数，所以是减函数，

所以由得，即.

故选项D正确.

故选：BD

三、填空题

13．函数的最小正周期为____.

【答案】1

【分析】利用三角函数周期的公式即可求得函数的最小正周期.

【详解】的最小正周期

故答案为：1

14．若关于的不等式的解集中只有一个元素，则实数的取值集合为__.

【答案】

【分析】分、、三种情况讨论，当时即可求出的值，同理求出时参数的值，即可得解.

【详解】当时，原不等式即为，原不等式的解集中有无数个元素，不合乎题意；

当时，不等式等价于，因为不等式组的解集中只有一个元素，

则恒成立且方程有两个相等的实数根，

即，解得；

当时，不等式等价于，因为不等式组的解集中只有一个元素，

则恒成立且方程有两个相等的实数根，

即，解得.

综上所述，实数的取值集合为.

故答案为：.

15．英国数学家泰勒（B. Taylor，1685-1731）以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.由泰勒公式，我们能得到（其中e为自然对数的底数，），其拉格朗日余项是可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项不超过时，正整数n的最小值是____.

【答案】5

【分析】根据题意建立不等式，利用验证的方式求解即可．

【详解】依题意得，即，

又，，

所以的最小值是5．

故答案为：6．

16．已知函数，若，，，则实数的取值范围是 ____.

【答案】

【分析】依题意，在定义区间内，的值域为的值域的一个子集，列不等式求实数的取值范围.

【详解】令，，则，

，，

令，，则在上单调递增，，

则，即的值域为.

时，在上单调递增，，即，即的值域为.

，，，则的值域为的值域的一个子集，

故，解得，实数的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】根据对数运算结合诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】（1）原式

.

（2）原式

.

18．设全集，已知集合，.

(1)若，求；

(2)已知的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)或.

(2)或

【分析】（1）根据题意求集合A、B，再求出并集即可；

（2）根据题意，可得，再列不等式求出a的取值范围即可.

【详解】（1）由题意，可得或，

若，则，

所以或.

（2）由（1）可知，或，

若的充分条件，则，

所以或，解得或，

所以实数的取值范围或.

19．已知函数，求：

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求函数的对称轴方程；

(3)求函数在区间上的最小值和最大值.

【答案】(1)

(2)

(3)，3

【分析】（1）由正弦函数的单调性即可求得的单调递增区间；

（2）由的对称性即可求解；

（3）由x的取值范围即可求得的值域，从而可得最值．

【详解】（1）令，解得，

所以函数的单调递增区间为.

（2）因为，

令，解得，

所以函数的对称轴方程.

（3）因为，则，可得，

当，即时，取到最小值；

当，即时，取到最大值；

所以函数在区间上的最小值为，最大值3.

20．某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：

①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值（单位：EXP）与游玩时间 （单位：小时）满足关系式： ；

②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；

③超过5小时的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50.

(1)当时，写出累计经验值E与游玩时间 的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值；

(2)该游戏厂商把累计经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围.

【答案】(1)，（EXP）.

(2)

【分析】（1）根据题意结合分段函数分析运算；

（2）根据题意可得当时，恒成立，利用参变分离结合二次函数分析运算.

【详解】（1）由题意可得：当时，则，且；

当时，则；

当时，则；

综上所述：.

若，则，所以（EXP）.

（2）由（1）可得：，则，

由题意可得：当时，恒成立，

整理得对任意恒成立，

因为的开口向上，对称轴，

则时，取到最小值，

可得，解得，

所以实数的取值范围为.

21．已知函数.

(1)若，求的取值范围；

(2)若，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用换元法令，所以，再根据二次函数的单调性即可求得取值范围；

（2）换元法，设，，即可转化成关于的函数，再利用根与系数的关系，即可解出．

【详解】（1）

当，则，令，所以，

则在上单调递减，所以，，

故的取值范围为；

（2）设，，因为，所以，即，

则的两根为，，整理得，

所以，，

所以，则，所以，则，

即实数的取值范围为.

22．已知函数（，）是奇函数.

(1)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；

(2)设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)不存在

【分析】先根据函数为奇函数得到，再结合函数的单调性，脱去得到在上恒成立，后根据二次函数恒成立得到实数的取值范围；

根据得到，利用，用换元法整理，再结合对数函数的单调性，得到真数的最值，后利用二次函数性质即可.

【详解】（1），

，

因为奇函数，所以，

得，

所以，

若，因，，

所以，

故在上单调递减.

因对任意，恒成立，

所以在上恒成立

设

当时，，此时函数在区间上单调递增，

则，得，

当时，，此时函数在对称轴，时取得最小值，

则，

得，

又因，此时无解.

当时，，此时函数在区间上单调递减，

则，得，

又因，此时无解.

综上，实数的取值范围为.

（2）若，则，

得，或（舍去）

所以.

设，

则，

当时，，

此时

，

故当时在上的最小值为1，

当时，在上的最大值为1，

设，

当时，函数在处取得最小值，

此时，得（舍去），

当时，函数的对称轴，函数在处取得最大值，

此时，解得（舍去）.

当时，函数的对称轴，函数在处取得最大值，

此时，

综上所述，不存在这样的实数.

【点睛】方法点睛：对于单调函数恒成立问题

若在上单调递增，，恒成立可转化为，

若在上单调递减，，恒成立可转化为.