2023年江苏省无锡市宜兴市中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省无锡市宜兴市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列式子中，计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线，是等边三角形，，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  给出下列个命题：
内错角相等；
圆的内接四边形对角互补；
直径是圆的弦；
对角线相等的四边形是矩形．
其中，真命题(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  已知，，将线段平移到线段，，，其中与是对应点，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源木杆两端的坐标分别为，则木杆在轴上的投影长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在轴的右侧作正方形，其对角线交点在第一象限，反比例函数的图象经过点和，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  年“五一”假期首日月日，铁路迎来“五一”假期出行高峰，全国铁路共发送旅客万人次，请将数据用科学记数法表示为______ ．

13.  函数中自变量的取值范围是______．

14.  一次函数的图象不经过第四象限，则的取值范围是______ ．

15.  已知扇形的面积为，半径等于，则它的圆心角等于______度．

16.  我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹问人、绢各几何？注释：娟纺织品的统称；人得每人分得；匹量词，用于纺织品等；盈：剩下则库绢丢失______ 匹

17.  如图，的正方形网格中，、、、为格点，连接、相交于点，则的值是______ ．

18.  如图，正方形的边长为，正方形的边长为，将正方形绕点旋转，和相交于点，则的最大值是______ 连结，当点正好是的内心时，的长是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
化简：

20.  本小题分
解方程：
解不等式组：．

21.  本小题分
如图，和均为等腰三角形，，，，点在线段上与，不重合，连接．
证明：≌．
若，，求的长．

22.  本小题分
为落实双减政策，某学校实行课后延迟服务计划，根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
学校这次调查共抽取了______ 名学生；
求 ______ ，并补全条形统计图；
在扇形统计图，“围棋”所在扇形的圆心角度数为______ ；
设该校共有学生名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法．

 

23.  本小题分
有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个质地均匀、大小相同的小球，分别标有数字和；乙袋中有三个质地均匀、大小相同的小球，分别标有数字、和小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上所标的数字为；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上所标的数字为．
设点的坐标为，请利用列表或画树状图的方法，求点在反比例函数图象上的概率；
两小球上所标数字满足的概率是______ ．

24.  本小题分
如图，在中，．
在图中作的外接圆；在图中作的内切圆要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，若、两点在同一中，当，时， ______ ， ______ 如需画草图，请使用图

 

25.  本小题分
如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分，连接．
求证：；
若，，求线段的长．

26.  本小题分
某商家正在热销一种商品，其成本为元件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少商家决定当售价为元件时，改变销售策略，此时售价每增加元需支付由此产生的额外费用元该商品销售量件与售价元件满足如图所示的函数关系其中，且为整数．
直接写出与的函数关系式；
当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

27.  本小题分
如图，在中，，，，于点，点是的中点，连接，将沿翻折得到，直线、直线分别交于点、．
当、时，求线段的长；
当：：时，求的值．

28.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，图象的顶点为．
求二次函数的表达式；
如图，连接、、，试判断与的数量关系，并说明理由；
若抛物线的对称轴交轴于点，点为线段上一动点点不与、重合，过点作，交轴于点设点的横坐标为，试探究是否存在最小值若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数为．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可．
轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：这个正多边形的边数：．
故选：．
正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

是等边三角形，
，
，
，
直线，
，
，
故选：．
根据等边三角形的性质及外角性质可求，再根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质和平行线的性质，熟记等边三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，
四边形是平行四边形，
，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
当时，
由得：，
，
，
四边形是菱形；
故选：．
根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．
 

7.【答案】 

【解析】解：两直线平行，才有内错角相等，故是假命题；
圆的内接四边形对角互补，故是真命题；
直径是圆中最大的弦，故是真命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，故是假命题；
真命题有，共个，
故选：．
根据平行线性质，圆内接四边形性质，弦的概念，矩形判定逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念与定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，将线段平移到线段，，，
，，
即平移规律为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
，，
．
故选：．
根据平移的性质得出平移规律解答即可．
此题考查坐标与图形变化平移，关键是根据平移规律解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：延长、分别交轴于、，作轴于，交于，如图，
，，．
，，，
，
∽，
，即，
，
故选：．
如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，则木杆在轴上的投影长为
本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大即位似变换的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，分别过、作轴的垂线，垂足为、，过点作轴的平行线，交于，交于，过点作轴于点，连接，，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
，，
同理，，
，
四边形是正方形，
点是正方形的对角线的交点，
是等腰直角三角形，
，，
，
反比例的图象经过点和，
，
，即，
或舍．
故选：．
分别过、作轴的垂线，垂足为、，过点作轴的平行线，交于，交于，过点作轴于点，连接，，证得≌，则，，同理，，由点的坐标可得出，，所以，所以，得到方程，即可求解．
本题主要考查反比例函数图象上的点的特征，三角形全等的判定和性质，正方形的性质等内容，由点的坐标，得出点的坐标是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用公式法分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用公式法分解因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为，
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象不经过第四象限，
函数的图象经过一、二、三象限或一、三象限，
，
故答案为：．
先判断出一次函数图象经过第一、二、三象限或一、三象限，即可确定题目的取值范围．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据扇形的面积公式，得
．
故答案为：．
根据扇形的面积公式，得．
此题主要是能够灵活运用扇形的面积公式．
 

16.【答案】 

【解析】解：设人数为人，失绢为匹，
根据题意得：，
解得：，
答：库绢丢失匹．
故答案为：．
根据“人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹”列出方程组解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接、、、，
由网格构造直角三角形，利用勾股定理得，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰直角三角形，即，
，
在中，
，
故答案为：．
利用网格构造直角三角形，根据勾股定理求出、、、、的长，再根据勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义得出答案．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，勾股定理以及逆定理是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：如图，

连接，，和，，交于点，，交于点，作于，作于，
四边形和四边形是正方形，
，，，，，，
，
，
≌，
，
，
，
点在以为直径的圆上运动，
当为圆直径时，最大，此时点于点重合，
，
当点为的内心时，
，，分别平分，和，
，
，
，，
，
点、、共线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；．
证明，从而确定点在以为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点到的距离，进一步得出结果．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识．
 

19.【答案】解：


；




． 

【解析】先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算和整式的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则和整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，即，
或，
，；
，
解得，
解得，
所以不等式组的解集为． 

【解析】利用配方法解方程；
分别解两个不等式得到和，然后利用同小取小确定不等式组的解集．
本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元二次方程的方法以及解不等式组的步骤是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
在和中，，
≌；

解：由知：≌，
，
． 

【解析】由，得出，由证得≌；
由知：≌，得出，则．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：学校本次调查的学生人数为名，
故答案为：；
喜欢书法的人数为名，
，
补全图形如下：

故答案为：；
在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
估计该校喜欢书法的学生人数为名．
用“围棋”的人数除以其所占百分比可得；
用总人数减去其他的人数求得喜欢书法的人数，除以总数可得其所占百分比，即可得的值，由喜欢书法的人数即可补全图形；
用乘以“围棋”人数所占百分比即可得；
用总人数乘以样本中“书法”人数所占百分比可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
 

23.【答案】 

【解析】解：列表得，

由表可得共有种等可能的情况；
其中点在反比例函数图象上的情况有种，
分别是，；
．
由中表格得，满足的情况有种，
分别是，，，，
．
故答案为：．
列表得共等可能的情况，求出符合题意的情况有种，按概率公式计算即可．
求和后，符合题意的情况有种，按概率公式计算即可．
本题考查了概率的求法，反比例函数的性质的应用是解题关键．
 

24.【答案】  

【解析】解：如图，为所作；

如图，为所作；

如图，设与各边的切点为、、，连接、、，则，，，过点作于点，
设的半径为，则，

，
为的直径，
，，，
，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
，，
，
，
解得，
，
，
在中，，
在中，，，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
作的垂直平分线交于点，再以点为圆心，为半径作圆得到的外接圆；作和的平分线，它们相交于点，作过点作于点，然后以点为圆心，为半径作圆得到的内切圆；
如图，设与各边的切点为、、，连接、、，根据切线的性质得到，，，过点作于点，设的半径为，则，先根据圆周角定理可判断为的直径，利用勾股定理可计算出得到，接着证明四边形为正方形得到，根据切线长定理得到，，从而得到，解得，然后利用勾股定理可计算出，再利用面积法求出，接着利用勾股定理求出，最后利用余弦的定义求出的余弦值．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆心角定理和三角形的内切圆．
 

25.【答案】证明：连接，
切圆于，
半径，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，
弦平分，
，
，
是圆的直径，
，
是等腰直角三角形，
，
，
令，，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由切线的性质得到半径，又，因此，得到，由等腰三角形的性质得到，由圆周角定理即可得到；
由直角三角形的性质求出，由锐角的正切定义求出长，由，得到，因此，即可求出的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是由直角三角形的性质，正切的定义求出长．
 

26.【答案】解：与的函数关系式为；
设获得的利润为元，
当时，，
，
当时，有最大值，最大值为元；
当时，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大，最大值为元，
，
综上所述，当售价为元时，该商家获得的利润最大，最大利润为元． 

【解析】解：设线段的表达式为，
将点、代入上式，
得，
解得，
线段的表达式为，
设线段的表达式为，
将点、代入上式，
得，
解得，
线段的表达式为，
与的函数关系式为；
见答案；

本题考查了二次函数在实际生活中的应用．
先设出一次函数关系式，分和两种情况用待定系数法分别求出函数解析式即可；
设获得的利润为元，分当时和当时两种情况分别求出函数解析式，然后根据自变量的取值范围和函数的性质求函数的最大值．
 

27.【答案】解：在中，，，，
，
，，
，
，
∽，
，即，
，
点是的中点，
，
由翻折得，，
四边形是平行四边形，
四边形菱形，
，
∽，
：：：，
；
四边形是菱形，
，，，
∽，
：：：：，
设，则，，
，
：：，
，，
∽∽，
． 

【解析】由勾股定理，可得；，点是的中点，于点，可得四边形是菱形；，可得，∽，则，可得，由：：，可求得的值；
四边形是菱形，，，则：：：，设，则，，，进而可得：：；，，可得∽∽，则．
此题考查的是相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、翻折变换等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

28.【答案】解：把、代入得：
，
解得：，
二次函数的表达式为；
，理由如下：
过作于，过作于，如图：

在中，令得，
解得或，
，
，
顶点；
，，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
存在最小值，最小值为，理由如下：
过作于，如图：

设，，
点的横坐标为，，
，，，，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
时，取最小值，
存在最小值，最小值为． 

【解析】把、代入可解得二次函数的表达式为；
过作于，过作于，在中可得，顶点，故，由是等腰直角三角形，可得，从而；
过作于，设，，根据点的横坐标为，，知，，，，证明∽，得，故，由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，等腰直角三角形性质及应用，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和相似三角形解决问题．