2023年湖南省娄底市新化县中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省娄底市新化县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，如图四个剪纸图案中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  “华龙一号”是中国核电发展的重大成就，已连续两年入选央企十大“国之重器”，每台“华龙一号”机组装机容量为万千瓦，年发电能力近亿千瓦时，相当于每年减少标准煤消耗万吨、减少二氧化碳排放万吨，对助力实现“碳达峰、碳中和”目标具有重要意义，数据万吨用科学记数法可表示为(    )

A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨

5.  某校九年级个班的同学积极参与“一木一环保”捐书活动，以班为单位自愿捐赠废旧书本，经统计，每个班捐赠的书本质量单位：如下：

则这组数据的中位数和众数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如图，平行线，被直线所截，平分，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，是的直径，弦交于点，且，，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形．剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形不重叠无缝隙则矩形的面积为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知函数与的图象交于点，则代数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  要使式子有意义，的取值范围是            ．

14.  若，，则代数式的值为______ ．

15.  如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为______．

16.  观察下列图形规律：当______时，图形“”的个数和“”的个数相等．

 

17.  如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心画弧与斜边相切于点，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是______ ．

18.  已知点在二次函数，其中，，，，令，，，；的个位数字为正整数，则下列说法：；；；的最小值为，此时；的个位数字为其中正确的是______ 填序号．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：

求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；
此次调查中，众数是______ ．
该校九年级共有人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？

22.  本小题分
动感单车是一种新型的运动器械．图是一辆动感单车的实物图，图是其侧面示意图．为主车架，为调节管，点，，在同一直线上．已知长为，的度数为当长度调至时，求点到的距离的长度结果精确到参考数据：，，
 

23.  本小题分
钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人，现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售，以下是购买者的出价：
根据对话内容，求钢钢出售的竹篮和陶罐数量；
钢钢接受了钟钟的报价，交易后到花店购买单价为元束的鲜花，剩余的钱不超过元，求有哪几种购买方案．

24.  本小题分
如图，在矩形中，，点在边的延长线上，点是线段上一点与点，不重合，连接并延长，过点作，垂足为．
若为的平分线．请判断与的数量关系，并证明；
若，≌，求的长．

25.  本小题分
如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连、、，且．
求证：直线是的切线；
若，求的值；
在的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与轴交于点，两点，点坐标为，点坐标为，与轴交于点．
求抛物线的函数解析式；
若将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于一点，交轴于点，使，求直线函数解析式；
在条件下若将线段平移点，的对应点，，若点落在抛物线上且点落在直线上，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数为．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的性质以及有理数的除法运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用二次根式的性质以及有理数的除法运算法则、合并同类项、单项式乘单项式，分别计算判断即可．
【解答】
解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.与，无法合并，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：将这组数据从小到大排列为、、、、、、、，
所以这组数据的中位数为，众数为，
故选：．
将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
，
．
故选：．
先根据角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为；两直线平行，内错角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
设，则，
在中，，，，
，即，解得．
故选B．
先根据可得出，故可得出，由垂径定理即可求出的长，再根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：总共种溶液，其中碱性溶液有种，
将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是，
故选：．
总共种溶液，其中碱性溶液有种，再根据概率公式求解即可．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：长方形的面积为：




答：矩形的面积是．
故选：．
利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意平方差公式的运用．
此题考查了平方差公式的几何背景，图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用平方公式进行计算，要熟记公式．
 

10.【答案】 

【解析】解：解分式方程得：，
且，
且，
且，
解不等式组得：，
不等式组的解集为，
，
，
且，
所有满足条件的整数的值有，，，共个，
故选：．
解分式方程得得出，结合题意及分式方程的意义求出且，解不等式组得出，结合题意得出，进而得出且，继而得出所有满足条件的整数的值，即可得出答案．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，掌握求解分式方程，一元一次不等式组，一元一次不等式是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：函数与的图象交于点，
，，
，整理得，








．
故选：．
将点坐标代入到两个解析式，可以得到和，将代数式变形，代入即可解决问题．
本题考查的是反比例与一次函数的交点问题，关键步骤是将代数式进行准确变形，运用整体思想进行代入是本题的突破口．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了黄金分割，也考查了等腰三角形的性质．
作于，如图，根据等腰三角形的性质得到，则根据勾股定理可计算出，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到，则计算出，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】
解：作于，如图，
，
，
在中，，
，是边的两个“黄金分割”点，
，
，

．
故选A．  

13.【答案】 

【解析】解：要使式子有意义，则，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件得出，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
把，代入，
原式．
故答案为：．
对式子进行因式分解，可直接把已知条件代入求解．
考查了因式分解，分解之后可直接代入已知条件求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：是矩形的对角线的中点，是的中点，
，
，，
，
是矩形的对角线的中点，
，
四边形的周长为，
故答案为：．
根据题意可知是的中位线，所以的长可求；根据勾股定理可求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长，进而求出四边形的周长．
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
 

16.【答案】 

【解析】解：时，“”的个数是；
时，“”的个数是；
时，“”的个数是；
时，“”的个数是；
第个图形中“”的个数是；
又时，“”的个数是；
时，“”的个数是；
时，“”的个数是；
时，“”的个数是；
第个“”的个数是；
由，
可得，
解得或舍去，
当时，图形“”的个数和“”的个数相等．
故答案为：．
首先根据、、、时，“”的个数分别是、、、，判断出第个图形中“”的个数是；然后根据、、、，“”的个数分别是、、、，判断出第个“”的个数是；最后根据图形“”的个数和“”的个数相等，求出的值是多少即可．
此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
以点为圆心画弧与斜边相切于点，
，
为等腰直角三角形，
．
，
，
阴影部分的面积


．
故答案为：．
连接，利用等腰直角三角形的性质求得扇形的半径，再利用图中阴影部分的面积解答即可．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，圆的切线的性质定理，扇形，三角形的面积，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

18.【答案】 

【解析】解：，则当时，，
，即：，
当时，，故错误；




，
，故正确；
，



故正确；
，，
取得最小值，此时或，故错误；
为的个位数字，且，
由此可知，，，，，，，，，，分别为：
，，，，，，，，，，
即的规律为以，，，，，五次一循环，且这五个数相加为，
则的个位，且也是五次一循环，
，
，，
的个位为，故错误；
故答案为：．
根据题意可得，由此得，利用两个式子可判断，将变形为，可计算出结果进而判断，由得，根据二次函数的性质及为正整数可判断其最值，进而判断，由为的个位数字，且，计算出，，，，，，，，，，找其规律可判断．
本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质，找出数字的规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】根据实数的相关运算法则进行计算即可．
本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

20.【答案】解：原式

，
当时，
原式
． 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简．
 

21.【答案】 

【解析】解：人，
样本中表示成绩类别为“中”的人数有人．
补全条图形如图所示：

由条形图可知，成绩为良的学生人数最多，
众数为：；
故答案为：．
人，
估计该校初一新生共有名学生的成绩可以达到优秀．
利用成绩类别为差的学生人数除以所占的百分比求出总人数，再乘以成绩类别为中的学生人数所占的百分比，进行计算即可得出结果，再补全条形图即可；
根据学生人数最多的成绩类别即可得出结论；
用样本中成绩为优秀的人数所占的比例，进行计算即可．
本题考查扇形统计图和条形统计图的综合应用．从统计图中有效的获取信息，熟练掌握频数除以所占百分比等于总数，是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，
，
在中，，
．
答：点到的距离的长度约． 

【解析】由，的长度求出长度，然后根据求解．
本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义．
 

23.【答案】解：设出售的竹篮个，陶罐个，依题意有：
，
解得：．
故出售的竹篮个，陶罐个；
设购买鲜花束，依题意有：
，
解得，
为整数，
共有种购买方案，方案一：购买鲜花束；方案二：购买鲜花束；方案三：购买鲜花束；方案四：购买鲜花束． 

【解析】设出售的竹篮个，陶罐个，根据“每个竹篮元，每个陶罐元共需元；每个竹篮元，每个陶罐元共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买鲜花束，根据总价单价数量结合剩余的钱不超过元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之取其中的整数值，即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

24.【答案】解：，理由如下：
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
≌，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由角平分线的性质和直角三角形的性质可求，可得，即可得结论；
由勾股定理可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
又，
，
又，
，
即，
，
又为半径，
直线是的切线；
解：，，
∽，
，
设半径，
，
，，
在中，
，
 在中，
，
；
解：在的条件下，，
，
，
在中，
，，
解得，，
平分，
，
又，
∽，
，
． 

【解析】连接，先得出，再得出，进而得出，最后根据切线的判定得出结论；
先得出∽，进而得出，设半径，根据勾股定理得出，最后根据三角函数得出结果；
由的结论，得出，结合直角三角形的性质得出，，然后得出∽，最后根据得出结论．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用性质解决实际问题是解题的关键．
 

26.【答案】解：设抛物线的解析式为：，
，
解得：，
则抛物线的解析式为：；

由抛物线的解析式知，点，
，则点、关于轴对称，
点，
设直线的解析式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
直线的解析式为：；

设点，点，
由题意知，、、、组成的几何图形为平行四边形，
则点向右平移个单位向上平移个单位得到点，同样向右平移个单位向上平移个单位得到，
则，
解得：或或舍去，
即点的坐标为或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由，则点、关于轴对称，得到点，进而求解；
由题意知，、、、组成的几何图形为平行四边形，则点向右平移个单位向上平移个单位得到点，同样向右平移个单位向上平移个单位得到，即可求解．
本题考查了二次函数综合题，涉及到点的对称性、平行四边形的性质、一次函数的性质等，综合性强，难度适中．