精品解析：天津市第四十一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题

高一年级数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：本卷共9题，每小题3分，共27分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 在频率分布直方图中，各个长方形面积表示             (　　)

A. 落在相应各组的数据的频数

B. 相应各组的频率

C. 该样本所分成的组数

D. 该样本的样本容量

3. 已知，，，若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（    ）

A. 平行 B. 相交且垂直

C. 相交成60° D. 异面直线

5. 已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件是（    ）

A. 恰好有1件次品和恰好有2件次品 B. 至少有1件次品和全次品

C. 至少有1件正品和至少有1件次品 D. 至少有1件次品和全是正品

7. 两条异面直线与同一平面所成角，不可能是（    ）

A. 两个角均为锐角 B. 一个角为，一个角为

C. 两个角均为 D. 两个角均为

8. 袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球.设A=“两个球颜色相同”，B=“两个球颜色不同”，则（    ）

A. P(A)=P(B) B. 2 P(A)= P(B)

C.  P(A)=2 P(B) D. 3 P(A)= P(B)

9. 如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（    ）

A. 平面 B. 平面

C. 平面 D. 平面

Ⅱ卷

注意事项：本卷共11题，共73分.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.

10. 是虚数单位，复数满足，则的虚部为_____.

11. 某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为____．

12. 如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．

13. 从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率为________.

14. 已知，，是直线，给出下列命题：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，则；

④若与异面，则至多有一条直线与，都垂直．

其中真命题是______（写出所有正确命题的序号）．

15. 在中，，，. 若，，且，则的值为______________.

三、解答题：本大题共5小题，共49分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设.

（1）用表示；

（2）如果，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.

17. 在中，内角A、B、C所对的边分别为，，，已知．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设，，求．

18. 为了了解某学校高一年级的712名学生身高的情况，现从该学校386名女生中抽取一个样本容量为27的样本，其观测数据（单位：cm）如下：

163.0  164.0  161.0  157.0  162.0  165.0  158.0  155.0  164.0  162.5

154.0  154.0  164.0  149.0  159.0  161.0  170.0  171.0  155.0  148.0

172.0  162.5  158.0  155.5  157.0  163.0  172.0

（1）计算女生身高的样本平均数；

（2）若该学校男生平均身高为170.6cm，试估计该校高一年级学生的平均身高；

（3）根据女生的样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数．

19. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.

（1）记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求，的概率；

（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

20. 如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求证：AD⊥BC；

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角正弦值．