初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定第2课时测试题

2　平行四边形的判定

第2课时

必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．对角线互相平分的四边形是平行四边形 (　√　)

2．两组对角分别互补的四边形是平行四边形 (　×　)

3．两组对边分别相等的四边形是平行四边形(　√　)

4．两条对角线相等的四边形是平行四边形(　×　)

知识点　用对角线互相平分判定平行四边形

1.(2021·西安期末)如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列能判定四边形ABCD是平行四边形的是(D)

A．AO＝OC，AC＝BD    B．BO＝OD，AC＝BD

C．AO＝BO，CO＝DO    D．AO＝OC，BO＝OD

【解析】∵AC，BD是四边形ABCD的对角线，

AO＝OC，BO＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

2．若AC＝10，BD＝8，那么当AO＝__5__，DO＝__4__时，四边形ABCD是平行四边形．

【解析】∵AC＝10，BD＝8，且四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO＝5，DO＝OB＝4.

3．(教材开发P145习题6.4T2变式)如图，点E，F是▱ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD中，选择一个条件添加，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件有__②③④__．(写出所有正确条件的序号)

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，

∴∠DAE＝∠BCF，∠DCF＝∠BAE，

①当DE＝BF时，不能证明△ADE≌△CBF，

不能证明四边形DEBF是平行四边形；

②当∠ADE＝∠CBF时，在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF(ASA)，

∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，

∴∠DEF＝∠BFE，

∴DE∥BF，

∴四边形DEBF是平行四边形；

③当AF＝CE时，AE＝CF，

∵▱ABCD，∴OD＝OB，OA＝OC，

∴OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形；

④当∠AEB＝∠CFD时，在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF(AAS)，

∴BE＝DF，

∵∠AEB＝∠CFD，

∴∠BEF＝∠DFE，

∴BE∥DF，

∴四边形DEBF是平行四边形．

4．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点O是AC边上的中点，AD∥BC.

求证：四边形ABCD是平行四边形．

【证明】∵点O是AC边上的中点，

∴OA＝OC，

∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，

在△AOD和△COB中，

∴△AOD≌△COB(AAS)，

∴OD＝OB，

∴四边形ABCD是平行四边形．

5．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形AECF是平行四边形．

【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠OAF＝∠OCE，

∵∠AOF＝∠COE，AO＝CO，

∴△AOF≌△COE(ASA)，

∴FO＝EO，

又∵AO＝CO，

∴四边形AECF是平行四边形．

6．(2021·宿迁中考)在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．

已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，__②(答案不唯一)__(填写序号).

求证：BE＝DF.

【解析】答案不唯一：可选②，连接BE，DF，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，

∵OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴BE＝DF.

关键能力·综合练

7．已知△ABC(如图1)，按图2、图3所示的尺规作图痕迹，(不需借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是(B)

A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形　

B．对角线互相平分的四边形是平行四边形　

C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　

D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【解析】由图可知先作AC的垂直平分线，再连接AC的中点O与B点，并延长使BO＝OD，

可得：AO＝OC，BO＝OD，

进而得出四边形ABCD是平行四边形．

8．(2021·荆州期中)在平面直角坐标系中，点O，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，若存在点C，使得以点O，B，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的C点坐标中，错误的是(C)

A．(3，－3)       B．(－3，3)

C．(3，5)       D．(7，3)

【解析】当以OB为对角线时，点C的坐标为(3，－3)；当以OD为对角线时，点C的坐标为(－3，3)；当以BD为对角线时，点C坐标为(7，3).综上所述，点C的坐标为(3，－3)或(－3，3)或(7，3).

9．下列命题是假命题的是(C)

A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形

B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C．两组对角分别互补的四边形是平行四边形

D．对角线互相平分的四边形是平行四边形

【解析】A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形，本选项说法是真命题，不符合题意；B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，本选项说法是真命题，不符合题意；C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法是假命题，符合题意；D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，本选项说法是真命题，不符合题意．

10．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你添加的条件是：__OB＝OD__．

【解析】添加OB＝OD，

∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

11．(2021·青岛期末)如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点O是AC边上的中点，AE＝CF，DF∥BE，请判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

【解析】四边形ABCD是平行四边形，理由如下：

∵DF∥BE，

∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，

∵点O为AC边上的中点，

∴OA＝OC，

∵AE＝CF，

∴OA－AE＝OC－CF，

即OE＝OF，

在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF(AAS)，

∴OB＝OD，

∵OA＝OC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

12．在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，且OE＝OF，请说明四边形ABCD是平行四边形．

【解析】∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，

在△AEO和△CFO中，

∴△AEO≌△CFO(ASA)，∴AO＝CO，

同法可证△EOD≌△FOB，

∴OD＝OB，∵OA＝OC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

13．(素养提升题)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO.

(1)求证：△AOF≌△COE；

(2)连接AE，CF，则四边形AECF__是__(填“是”或“不是”)平行四边形．

【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，

在△AOF和△COE中，，

∴△AOF≌△COE；

(2)四边形AECF是平行四边形，理由如下：

由(1)得：△AOF≌△COE，∴FO＝EO，

又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．

易错点　判定方法不能正确选择而失误

【案例】如图，点A，B，C，D在同一平面内，从六个条件中(1)AB＝CD，(2)AB∥CD，(3)BC＝AD，(4)BC∥AD，(5)AO＝CO，(6)BO＝DO中任选两个，使四边形ABCD是平行四边形，这样的选法有(D)

A．6种    B．7种    C．8种    D．9种

【解析】任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有(1)(2)；(3)(4)；(1)(3)；(2)(4)；(2)(5)；(4)(5)；(2)(6)；(4)(6)；(5)(6)共九种．