2024届高考物理一轮复习第九章磁场学案

这是一份2024届高考物理一轮复习第九章磁场学案，共74页。学案主要包含了磁场，磁感线，安培力等内容，欢迎下载使用。

第九章 磁 场

第1讲　磁场的描述　磁场对电流的作用

一、磁场
1．磁感应强度
(1)物理意义：描述磁场的强弱和方向。
(2)大小：B＝(通电导线垂直于磁场)。单位是特斯拉，符号T。
(3)方向：小磁针的N极所受磁场力的方向，也就是小磁针静止时N极的指向。
(4)叠加：磁感应强度是矢量，叠加时遵守平行四边形定则。
2．匀强磁场
(1)定义：磁感应强度的大小处处相等、方向处处相同的磁场。
(2)磁感线特点：疏密程度相同、方向相同的平行直线。
二、磁感线
1．磁感线的特点
(1)描述磁场的方向：磁感线上某点的切线方向就是该点的磁场方向。
(2)描述磁场的强弱：磁感线的疏密程度表示磁场的强弱，在磁感线较密的地方磁场较强；在磁感线较疏的地方磁场较弱。
(3)是闭合曲线：在磁体外部，从N极指向S极；在磁体内部，由S极指向N极。
(4)不相交：同一磁场的磁感线永不相交、不相切。
(5)假想线：磁感线是为了形象描述磁场而假想的曲线，客观上并不存在。




2．电流的磁场
项目
直线电流的磁场
通电螺线管的磁场
环形电流的磁场
特点
无磁极、非匀强磁场，且距导线越远处磁场越弱
与条形磁铁的磁场相似，管内为匀强磁场且磁场最强，管外为非匀强磁场
环形电流的两侧是N极和S极，且离圆环中心越远，磁场越弱
安培定则



立体图




三、安培力

1．安培力的大小
(1)磁场方向和电流方向垂直时：F＝BIL。
(2)磁场方向和电流方向平行时：F＝0。
2．安培力的方向——左手定则判断
(1)伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内。
(2)让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向电流的方向。
(3)拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。
情境创设　
我们居住的地球是一个大磁体，如图所示，地磁场的分布类似于条形磁铁的磁场。

地磁场具有以下特点：
(1)地磁的N极在地理南极附近，S极在地理北极附近。
(2)在赤道平面上，距离地球表面高度相等的各点，磁感应强度相等，且方向水平向北。

微点判断　
(1)地面附近磁感应强度的方向与地面平行。(×)
(2)地磁场两极的磁感应强度方向与地面垂直。(√)
(3)地磁场两极的磁感应强度比赤道处大。(√)
(4)将通电导线放在空中，一定受到安培力的作用。(×)
(5)磁场中某点磁感应强度的大小，跟放在该点的试探电流元的情况无关。(√)
(6)磁场中某点磁感应强度的方向，跟安培力的方向一致。(×)
(7)地磁场的地磁“两极”与地球的地理“两极”位置相反。(√)
(8)磁感线是假想的曲线，磁感线在磁铁外部是由N极指向S级，在磁铁内部则是由S极指向N极。(√)
(9)若地磁场是因地球表面带电荷引起的，则地球表面应该带正电荷。(×)
(10)垂直磁场放置的线圈面积减小时，穿过线圈的磁通量可能增大。(√)
(11)小磁针N极所指的方向就是该处磁场的方向。(×)
(12)在同一幅图中，磁感线越密，磁场越强。(√)
(13)将通电导线放入磁场中，若不受安培力，说明该处磁感应强度为零。(×)
[备课札记]　　


(一) 磁场及磁场的描述(固基点)
[题点全练通]
1．[磁场的方向](2022·北京朝阳区期末)关于磁场中某一点磁感应强度的方向，下列说法正确的是(　 )
A．与一小段通电直导线所受磁场力的方向一致
B．与运动电荷所受磁场力的方向一致
C．与小磁针N极所受磁场力的方向一致
D．与小磁针S极所受磁场力的方向一致
解析：选C　磁场中某一点磁感应强度的方向，与小磁针N极受力方向一致，C正确，A、B、D错误。
2．[磁感应强度的大小](多选)一小段长为L的通电直导线放在磁感应强度为B的磁场中，当通过它的电流为I时，所受安培力为F。以下关于磁感应强度B的说法正确的是(　 )
A．磁感应强度B一定等于
B．磁感应强度B可能大于或等于
C．磁场中通电直导线受力大的地方，磁感应强度一定大
D．在磁场中通电直导线也可以不受安培力
解析：选BD　只有在通电直导线垂直于磁场时，B＝才成立，通电直导线和磁场不垂直时，B>，通电直导线和磁场平行时，导线不受安培力，故A错误，B、D正确；磁感应强度是用比值法定义的，通电直导线受力大的地方，磁感应强度不一定大，C错误。
3．[磁感线的认识](2021·浙江1月选考)如图所示是通有恒定电流的环形线圈和螺线管的磁感线分布图。若通电螺线管是密绕的，下列说法正确的是(　 )

A．电流越大，内部的磁场越接近匀强磁场
B．螺线管越长，内部的磁场越接近匀强磁场
C．螺线管直径越大，内部的磁场越接近匀强磁场
D．磁感线画得越密，内部的磁场越接近匀强磁场
解析：选B　通电螺线管匝数越多，管道越长，其内部的磁场越接近匀强磁场，与电流大小无关，与如何画磁感线无关，螺线管直径越大，其中心磁场会比较弱，不能看作匀强磁场，因此选项A、C、D错误，B正确。
4．[磁通量的理解和计算]如图所示是等腰直角三棱柱，其中侧面abcd为正方形，边长为L，按图示位置放置于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，下列说法中正确的是(　 )
A．通过abcd平面的磁通量大小为BL2
B．通过dcfe平面的磁通量大小为BL2
C．通过abfe平面的磁通量大小为BL2
D．磁通量有正负，所以是矢量
解析：选B　abcd平面在垂直于磁场方向的投影面积S1＝L2，所以通过abcd平面的磁通量Φ1＝BS1＝BL2，故A错误；dcfe平面与磁场垂直，S2＝L2，所以通过dcfe平面的磁通量Φ2＝BL2，故B正确；abfe平面与磁场平行，S3＝0，则通过abfe平面的磁通量Φ3＝0，故C错误；磁通量是标量，但有正负，表示的是穿入还是穿出平面，故D错误。


[要点自悟明]
1．磁场的基本性质：磁场对处于其中的磁体、电流和运动电荷有磁力的作用。
2．磁感应强度的理解
(1)描述磁场的强弱和方向。
(2)B＝成立的条件为：通电导线垂直于磁场。
(3)磁场方向：小磁针N极受力的方向。
3．磁感线的特点
(1)磁感线上某点的切线方向就是该点的磁场方向。
(2)磁感线的疏密定性地表示磁场的强弱。
(3)磁感线是闭合曲线，没有起点和终点。
(4)磁感线是假想的曲线，客观上不存在。
4．磁通量
(1)大小：当S⊥B时，Φ＝BS，标量。
(2)理解为穿过线圈平面的磁感线条数。
(二) 安培定则的应用和磁场的叠加(固基点)
[题点全练通]
1．[安培定则的理解及应用](2023·浙江1月选考)某兴趣小组设计的测量大电流的装置如图所示，通有电流I的螺绕环在霍尔元件处产生的磁场B＝k1I，通有待测电流I′的直导线ab垂直穿过螺绕环中心，在霍尔元件处产生的磁场B′＝k2I′。调节电阻R，当电流表示数为I0时，元件输出霍尔电压UH为零，则待测电流I′的方向和大小分别为(　 )

A．a→b，I0 B．a→b，I0
C．b→a，I0 D．b→a，I0
解析：选D　根据安培定则可判断螺绕环在霍尔元件处产生的磁场B方向竖直向下，大小为B＝k1I0，当直导线ab在霍尔元件处产生的磁场B′方向竖直向上，且大小B′＝k2I′＝B＝k1I0时，霍尔元件处合磁场为零，霍尔电压UH＝0，则I′＝I0，由安培定则可得电流由b→a，故D正确，A、B、C错误。
2．[两条直线电流的磁场的叠加](2021·全国甲卷)两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内，EO与O′Q在一条直线上，PO′与OF在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流I，电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时，所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B，则图中与导线距离均为d的M、N两点处的磁感应强度大小分别为(　 )
A．B、0　 B．0、2B　　
C．2B、2B　　 D．B、B
解析：选B　竖直方向的两段导线中电流相等，且在同一直线上，可把EO与O′Q等效成一根无限长直导线，同理PO′与OF等效成一根无限长直导线。根据安培定则可知，两根无限长直导线在M处产生的磁感应强度方向相反，叠加后磁感应强度大小为0；竖直方向的导线和水平方向的导线在N处产生的磁感应强度方向相同，叠加后磁感应强度大小为2B，B正确。
3．[多条直线电流的磁场的叠加](2021·福建高考)(多选)如图，四条相互平行的细长直导线垂直坐标系xOy平面，导线与坐标平面的交点为a、b、c、d四点。已知a、b、c、d为正方形的四个顶点，正方形中心位于坐标原点O，e为cd的中点且在y轴上；四条导线中的电流大小相等，其中过a点的导线的电流方向垂直坐标平面向里，其余导线电流方向垂直坐标平面向外。则(　 )

A．O点的磁感应强度为0
B．O点的磁感应强度方向由O指向c
C．e点的磁感应强度方向沿y轴正方向
D．e点的磁感应强度方向沿y轴负方向
解析：选BD　由题知，四条导线中的电流大小相等，且到O点的距离相等，故四条导线在O点的磁感应强度大小相等，根据右手螺旋定则可知，四条导线中电流在O点产生的磁感应强度方向如图1所示。由图可知，Bb与Bc相互抵消，Ba与Bd合成，根据平行四边形定则，可知O点的磁感应强度方向由O指向c，其大小不为零，故A错误，B正确；由题知，四条导线中的电流大小相等，a、b到e点的距离相等，故a、b在e点的磁感应强度大小相等，c、d到e点的距离相等，故c、d在e点的磁感应强度大小相等，根据右手螺旋定则可知，四条导线中电流在e点产生的磁感应强度方向如图2所示。由图可知Bc与Bd大小相等，方向相反，互相抵消；而Bb与Ba大小相等，方向如图2所示，根据平行四边形定则，可知两个磁感应强度的合磁感应强度沿y轴负方向，故C错误，D正确。

[要点自悟明]
1．安培定则的应用关键
在运用安培定则判定直线电流和环形电流及通电螺线管的磁场方向时关键应分清“因”和“果”。
电流的磁场
原因(电流方向)
结果(磁场方向)
直线电流的磁场
大拇指指向
四指指向
环形电流及通电螺线管的磁场
四指指向
大拇指指向

2．磁场叠加问题的解题思路
(1)确定磁场场源，如通电导线。
(2)定位空间中需求解磁场的点，利用安培定则判定各个场源在这一点上产生的磁场的大小和方向。如图所示BM、BN为M、N在c点产生的磁场。
(3)应用平行四边形定则进行合成，如图中的合磁场B。

(三) 安培力的大小和方向(固基点)
[题点全练通]
1．[安培力方向的判断]一根容易发生形变的弹性导线，两端固定。导线中通有电流，方向如图中箭头所示。当没有磁场时，导线呈伸直状态；当分别加上方向竖直向上、水平向右或垂直于纸面向外的匀强磁场时，描述导线状态的四个图示正确的是(　 )

解析：选D　由左手定则可以判断出，A中导线与磁场方向平行，所受安培力为零，B中导线所受安培力垂直纸面向里，C、D中导线所受安培力水平向右，导线受力以后的弯曲方向应与受力方向一致，D正确，A、B、C错误。
2．[安培力大小的计算]如图甲所示，斜面固定在水平面上，一通电导体棒ab置于斜面上且与底边平行。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，导体棒ab所受的安培力为F；若仅将导体棒ab从中点处折成相互垂直的两段，且端点a、b连线仍与斜面底边平行，如图乙所示，则此时导体棒ab所受的安培力为(　 )

A．F B.F C.F D.F
解析：选D　设导体棒ab的长度为L，通过导体棒ab的电流为I，磁感应强度为B，导体棒ab受到的安培力F＝BIL；若仅将导体棒ab从中点处折成相互垂直的两段，导体棒ab的有效长度l＝ ＝L，导体棒ab所受安培力F′＝BIl＝BIL＝F，故D正确，A、B、C错误。
3．[安培力的叠加问题]如图，等边三角形线框LMN由三根相同的导体棒连接而成，固定于匀强磁场中，线框平面与磁感应强度方向垂直，线框顶点M、N与直流电源两端相接。已知导体棒MN受到的安培力大小为F，则线框LMN受到的安培力的大小为(　 )
A．2F B．1.5F
C．0.5F D．0
解析：选B　设每根导体棒的电阻为R，长度为L，则电路中上下两路电阻之比为R1∶R2＝2R∶R＝2∶1，上下两支路电流之比I1∶I2＝1∶2。如图所示，由于上路通电的导体棒受安培力的有效长度也为L，根据安培力计算公式F＝BIL，可知F′∶F＝I1∶I2＝1∶2，得F′＝F，根据左手定则可知，两力方向相同，故线框LMN所受的合力大小为F＋F′＝1.5F，B正确。

4．[安培力作用下的平衡](2022·湖南高考)如图甲，直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图乙所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是(　 )

A．当导线静止在图甲右侧位置时，导线中电流方向由N指向M
B．电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C．tan θ与电流I成正比
D．sin θ与电流I成正比
解析：选D　当导线静止在图甲右侧位置时，对导线做受力分析有，可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M指向N，A错误；由于与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有sin θ＝，FT＝mgcos θ，则可看出sin θ与电流I成正比，当I增大时θ增大，则cos θ减小，静止后，导线对悬线的拉力FT减小，B、C错误，D正确。

[要点自悟明]
1．安培力大小——F＝BILsin θ
(1)适用条件：①L⊥B，②θ为I与B的夹角。
(2)特例：①当I⊥B时，F＝BIL。
②当I∥B时，F＝0。
(3)通电导线的有效长度
①当通电导线弯曲时，L是导线两端的有效直线长度(如图所示)。

②对于任意形状的闭合线圈，其有效长度均为零，所以通电后在匀强磁场中受到的安培力的矢量和为零。
2．安培力方向的判断
(1)判断方法：左手定则。
(2)方向特点：F既垂直于B，也垂直于I，所以安培力方向一定垂直于B与I决定的平面。
3．安培力叠加的两种分析思路
(1)先分析通电导线所在处的合磁感应强度的大小和方向，由左手定则判断安培力的方向，由F＝BILsin θ，求安培力的大小。
(2)先由左手定则判断各个安培力的方向，由F＝BILsin θ，求各个安培力的大小，再由平行四边形定则求其合力。
4．安培力作用下导体的平衡问题的分析思路
选定研究对象
通电导线或导体棒
变三维为二维
画出平面受力分析图，其中安培力的方向要用左手定则来判断。安培力垂直于电流和磁场方向决定的平面
列方程求解
根据力的平衡条件列方程

(四) 导体运动情况判断五法(培优点)
方法1　等效法
(1)环形电流―→小磁针；(2)通电螺线管―→条形磁铁；(3)通电线圈―→小磁针。
[例1]　如图所示，在固定放置的条形磁铁S极附近悬挂一个金属线圈，线圈与水平磁铁位于同一竖直平面内，当在线圈中通入沿图示方向流动的电流时，将会看到(　 )
A．线圈向左平移
B．线圈向右平移
C．从上往下看，线圈顺时针转动，同时靠近磁铁
D．从上往下看，线圈逆时针转动，同时靠近磁铁
[解析]　把通电线圈等效成小磁针，等效小磁针的N极垂直于纸面向外，根据同名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引可知：从上往下看，线圈顺时针转动，同时靠近磁铁，C正确。
[答案]　C
方法2　结论法
(1)同向电流互相吸引，异向电流互相排斥。
(2)两非平行的电流相互作用时，总有转到平行且电流方向相同的趋势。
[例2]　(2021·广东高考)截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线，长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线。若中心直导线通入电流I1，四根平行直导线均通入电流I2，I1≫I2，电流方向如图所示，下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是(　 )

[解析]　因I1≫I2，则可不考虑四个边上的直导线之间的相互作用；两通电直导线间的安培力作用满足“同向电流相互吸引，异向电流相互排斥”，则正方形左右两侧的直导线I2要受到I1吸引的安培力，形成凹形，正方形上下两边的直导线I2要受到I1排斥的安培力，形成凸形，故变形后的形状如选项C所示。
[答案]　C
方法3　电流元法
电流元法：分割为电流元安培力方向―→整段导体所受合力方向―→运动方向。
[例3]　通有电流的导线L1、L2处在同一平面(纸面)内，L1是固定的，L2可绕垂直纸面的固定转轴O转动(O为L2的中心)，各自的电流方向如图所示。下列哪种情况将会发生(　 )
A．因L2不受磁场力的作用，故L2不动
B．因L2上、下两部分所受的磁场力平衡，故L2不动
C．L2绕轴O按顺时针方向转动
D．L2绕轴O按逆时针方向转动
[解析]　由右手螺旋定则可知导线L1上方的磁场方向为垂直纸面向外，且离导线L1越远的地方，磁场越弱，将导线L2分成很多小段，可以判断导线L2上的每一小部分受到的安培力方向均为水平向右，由于O点下方的磁场较强，则所受安培力较大，因此L2绕轴O按逆时针方向转动，D正确。
[答案]　D
方法4　电流元法与特殊位置法的结合
特殊位置法：在特殊位置―→安培力方向―→运动方向(如下题中当导线转过90°时判断吸引还是排斥)。
[例4]　把一根通电的硬直导线ab放在磁场中，导线所在区域的磁感线呈弧形，如图所示。导线可以在空中自由移动和转动，导线中的电流方向由a到b。下列说法正确的是(　 )
A．从上往下看，导线ab顺时针旋转同时向上移动
B．从上往下看，导线ab逆时针旋转同时向下移动
C．虚线框内产生图示弧形磁感线的磁场源不可能是蹄形磁铁
D．虚线框内产生图示弧形磁感线的磁场源可能是条形磁体、通电螺线管、直线电流等
[解析]　由题图可知，导线左侧所在处的磁场方向斜向下，导线右侧所在处的磁场斜向上，则由左手定则可知，导线左侧受力方向向里，导线右侧受力方向向外，故从上往下看，导线ab顺时针旋转；当导线转过90°时，即导线与磁场垂直，由左手定则可知，导线ab受力向下，故可得出导线ab顺时针旋转同时还要向下移动，故A、B错误；磁感线方向从右向左，可能由水平放置的条形磁铁提供，也可能由竖直放置的蹄形磁铁提供，也可能由水平放置的通电螺线管提供，也可能由通电直导线提供，故C错误，D正确。
[答案]　D



方法5　转换研究对象法
转换研究对象法：当定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动或运动趋势如何的问题时，由于磁体所受电流磁场的作用力方向不便于直接判断，可先分析电流在磁体磁场中所受的安培力的方向，再由牛顿第三定律，间接确定磁体所受电流磁场的作用力，从而确定磁体所受合力及运动方向。
[例5]　如图所示，厚度均匀的木板放在水平地面上，木板上放置两个相同的条形磁铁，两磁铁N极正对。在两磁铁竖直对称轴上的C点固定一垂直于纸面的长直导线，并通以垂直纸面向里的恒定电流，木板和磁铁处于静止状态，设两磁铁和木板的总重力为G，则(　 )

A．导线受到的安培力水平向左
B．导线受到的安培力竖直向上
C．木板对地面的压力小于G
D．木板受到地面的摩擦力水平向右
[解析]　根据条形磁铁磁场分布和叠加，可知两条形磁铁在导线处产生的合磁场竖直向上，根据左手定则知，长直导线受到的安培力水平向右；木板和磁铁始终处于静止状态，且竖直方向不受导线的作用力，由于两条形磁铁和木板的总重力为G，故木板对地面的压力等于G；又因长直导线受到的安培力水平向右，根据牛顿第三定律可知，长直导线对磁铁的作用力水平向左，所以磁铁和木板有向左运动的趋势，故木板受到地面的摩擦力水平向右，故A、B、C错误，D正确。
[答案]　D
[课时跟踪检测]
1．一长为L的直导线置于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，导线中的电流为I。下列说法正确的是(　 )
A．通电直导线受到安培力的大小为ILB
B．无论通电直导线如何放置，它都将受到安培力
C．通电直导线所受安培力的方向垂直于磁感应强度方向和电流方向构成的平面
D．安培力是载流子受到的洛伦兹力的宏观表现，所以安培力对通电直导线不做功
解析：选C　只有当通电直导线与磁场方向垂直时，通电直导线受到安培力的大小才等于ILB，A错误；当通电导线与磁场方向平行时，不受安培力，B错误；通电直导线所受安培力的方向垂直于磁感应强度方向和电流方向构成的平面，选项C正确；安培力是载流子受到的洛伦兹力的宏观表现，安培力对通电直导线能做功，选项D错误。
2．匀强电场中有一与电场垂直的平面，面积为S，该电场的电场强度随时间的变化率为，静电力常量为k，则·S对应物理量的单位是(　 )
A．欧姆 B．伏特 C．安培 D．特斯拉
解析：选C　因为＝，单位为；由F＝k，可得k＝，单位为；所以·S的单位为··m2＝；根据电流的定义式I＝，可知＝A，该单位是安培。
3.磁场中某区域的磁感线如图所示，则(　 )

A．a点处没有磁感线，磁感应强度为零
B．a点处磁感应强度比b点处大
C．b点处的磁场方向和该点的切线方向垂直
D．把一个小磁针放在b点，静止时小磁针N极的指向水平向右
解析：选D　磁感线的疏密表示磁场的强弱，由题图可知，a点处的磁感线比b处的磁感线稀疏，则a点处的磁感应强度比b点处的磁感应强度小，故A、B错误；某点磁感线的切线方向就是磁场的方向，小磁针静止时N极所指的方向是磁场方向，故C错误，D正确。
4.如图所示，两根长为L的平行直导线P、Q固定在水平面上，整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。当导线中通入图中所示方向相反、大小相等的电流I时，两导线所受安培力均为零。现将导线Q中的电流反向，大小不变，导线P受到的安培力为(　 )

A．BIL B．2BIL
C．3BIL D．4BIL
解析：选B　导线P所受安培力为零，由安培力公式F＝B合IL可知，P处的磁感应强度为零，因此Q在P处产生的磁感应强度与匀强磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，即Q在P处产生的磁场的磁感应强度方向竖直向下，大小为B；当Q中的电流反向、大小不变时，由安培定则可知，Q中的电流在P处产生的磁场的磁感应强度大小不变，仍为B，方向竖直向上，P处的合磁感应强度大小为2B，此时导线P受到的安培力F′＝2BIL，故B正确，A、C、D错误。





5.(2021年8省联考·广东卷)如图所示，矩形abcd的边长bc是ab的2倍。两细长直导线通有大小相等、方向相反的电流，垂直穿过矩形平面，与平面交于e、f两点，其中e、f分别为ad、bc的中点。下列说法正确的是(　 )
A．a点与b点的磁感应强度相同
B．a点与c点的磁感应强度相同
C．a点与d点的磁感应强度相同
D．a点与b、c、d三点的磁感应强度均不相同
解析：选B　通电直导线在周围形成的磁场，大小为B＝，由安培定则可得各点的磁感应强度的平面图，如图所示，由对称性可知a点与c点的合磁感应强度等大同向，b点与d点的合磁感应强度等大同向，故B正确。
6.(多选)如图所示，在倾角为 α 的光滑斜面上，放置一根长为 L，质量为 m，通电电流为 I 的导线，若使导线静止，应该在斜面上施加匀强磁场 B 的大小和方向为(　 )
A．B＝，方向垂直于斜面向下
B．B＝，方向垂直于斜面向上
C．B＝，方向竖直向下
D．B＝，方向水平向右
解析：选AC　若磁场的方向垂直于斜面向下，由左手定则可知安培力的方向沿斜面向上，由受力平衡可知mgsin α＝BIL⇒B＝，故A正确；若磁场的方向垂直于斜面向上，由左手定则可知安培力的方向沿斜面向下，因此导线不可能受力平衡保持静止，故B错误；若磁场的方向竖直向下，由左手定则可知安培力的方向水平向左，由受力平衡可知mgtan α＝BIL⇒B＝，故C正确；若磁场的方向水平向右，由左手定则可知安培力的方向竖直向下，因此导线不可能受力平衡保持静止，故D错误。
7．在光滑桌面上将长为πL的软导线两端固定，固定点的距离为2L，导线通有电流I，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导线中的张力为(　 )
A．BIL B．2BIL
C．πBIL D．2πBIL



解析：选A　从上向下看导线的图形如图所示，导线的有效长度为2L，则所受的安培力大小F＝2BIL，设导线中的张力为T，由平衡知识可知T＝，解得T＝BIL，故A正确，B、C、D错误。

第2讲　带电粒子在磁场中的运动

一、洛伦兹力
1．定义：运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦兹力。
2．方向
(1)判定方法：左手定则
掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向。
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。
3．大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB。(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝。
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。
3．半径和周期公式：(v⊥B)

情境创设　
如图所示，是洛伦兹力演示仪，它可以研究带电粒子在磁场中的偏转情况。




微点判断　
(1)运动的电子在磁场中因受洛伦兹力的作用发生偏转。(√)
(2)电子的速度越大，运动半径越大。(√)
(3)电子的速度越大，运动周期越大。(×)
(4)增大磁场的磁感应强度，电子运动半径变大。(×)
(5)增大磁场的磁感应强度，电子运动周期变小。(√)
(6)洛伦兹力对运动的电子做正功。(×)

(一) 洛伦兹力的大小和方向(固基点)
[题点全练通]
1．[洛伦兹力的理解]下列说法正确的是(　 )
A．运动电荷在磁感应强度不为零的地方，一定受到洛伦兹力的作用
B．运动电荷在某处不受洛伦兹力作用，则该处的磁感应强度一定为零
C．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度
D．洛伦兹力对带电粒子永不做功
解析：选D　运动电荷速度方向与磁场方向平行时，不受洛伦兹力，洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向，不改变带电粒子的速度大小，洛伦兹力对带电粒子永不做功，故D正确。
2．[洛伦兹力的方向判断]下面四幅图均表示了磁感应强度B，电荷速度v和洛伦兹力F三者方向之间的关系，其中正确的是(　 )

解析：选B　根据左手定则可知，A、C、D错误，B正确。
3．[洛伦兹力的大小](2022·大连模拟)真空中竖直放置一通电长直细导线，俯视图如图所示。以导线为圆心作圆，光滑绝缘管ab水平放置，两端恰好落在圆周上。半径略小于绝缘管半径的带正电小球自a端以速度v0向b端运动过程中，下列说法正确的是(　 )
A．小球先加速后减速
B．小球受到的洛伦兹力始终为零
C．小球在ab中点受到的洛伦兹力为零
D．小球受到洛伦兹力时，洛伦兹力方向竖直向外
解析：选C　根据安培定则可知，直导线产生的磁场的磁感线如图中虚线所示，洛伦兹力始终与小球运动方向垂直，故不做功，小球速率不变，A错误；当运动到ab中点时，磁感线与速度方向平行，所受洛伦兹力为零，自a端到中点洛伦兹力竖直向下，中点至b端洛伦兹力竖直向上，B、D错误，C正确。
4．[洛伦兹力与电场力的比较](多选)带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h1；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3；若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4，如图所示。不计空气阻力，则(　 )

A．一定有h1＝h3　　　 B．一定有h1＜h4
C．h2与h4无法比较 D．h1与h2无法比较
解析：选AC　第1个图：由竖直上抛运动的最大高度公式得：h1＝。第3个图：当加上电场时，由运动的分解可知：在竖直方向上有，v02＝2gh3，所以h1＝h3，A正确。而第2个图：洛伦兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，小球应有水平速度，设此时的球的动能为Ek，则由能量守恒得：mgh2＋Ek＝mv02，又由于mv02＝mgh1，所以h1＞h2，D错误。第4个图：因不知道小球电性和小球
所受电场力方向，则h4可能大于h1，也可能小于h1，B错误，C正确。

[要点自悟明]
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力永不做功。
2．洛伦兹力与电场力的比较
项目
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
方向
F⊥B且F⊥v
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功，可能做负功，也可能不做功

(二) 半径公式和周期公式的应用(固基点)
[题点全练通]
1．[半径公式、周期公式的理解](多选)在同一匀强磁场中，两带电量相等的粒子，仅受磁场力作用，做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　 )
A．若速率相等，则半径必相等
B．若质量相等，则周期必相等
C．若动量大小相等，则半径必相等
D．若动能相等，则周期必相等
解析：选BC　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，qvB＝m，可得R＝，又T＝，可知B、C正确。
2．[半径公式、周期公式的应用]如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度大小分别为B1、B2，今有一质量为m、电荷量为e的电子从MN上的P点沿垂直于磁场方向射入匀强磁场B1中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。则以下说法正确的是(　 )
A．电子的运动轨迹为PENCMDP
B．B1＝2B2
C．电子从射入磁场到回到P点用时为
D．B1＝4B2
解析：选B　根据左手定则可知，电子从P点沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场B1时，受到的洛伦兹力方向向上，所以电子的运行轨迹为PDMCNEP，故A错误；电子在题图所示运动过程中，在左侧匀强磁场中运动两个半圆，即运动一个周期，在右侧匀强磁场中运动半个周期，所以t＝＋，故C错误；由题图可知，电子在左侧匀强磁场中的运动半径是在右侧匀强磁场中的运动半径的一半，根据r＝可知，B1＝2B2，故B正确，D错误。
3．[半径公式与动量守恒定律的综合应用]K－介子的衰变方程为：K－→π－＋π0，其中K－介子和π－介子带负电，π0介子不带电。如图，匀强磁场的方向垂直纸面向外，一个K－介子沿垂直于磁场的方向射入，其轨迹为图中的虚线圆弧，若K－介子在磁场中发生衰变，则衰变产生的π－介子和π0介子的运动轨迹可能是(　 )

解析：选C　π－介子与K－介子均带负电，若两者运动方向相同，可知π－介子与K－介子受洛伦兹力的方向相同，圆弧的弯曲方向相同，由动量守恒定律可知，π－介子动量大小小于K－介子的动量大小，由r＝可知，π－介子半径较小；π0介子不带电，则沿直线运动，C正确，D错误；若π0介子反向运动，由动量守恒定律可知，π－介子的动量大于K－介子，衰变后π－介子将沿K－方向运动，由于π－介子与K－介子均带负电，受洛伦兹力的方向相同，圆弧的弯曲方向相同，且π－介子的运动半径大于K－介子，A、B错误。

[要点自悟明]
(1)带电粒子垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力：
①向心力公式：qvB＝。
②半径公式：r＝。
③周期公式：T＝。
(2)对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒：
①带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，引起轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。
②微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v等的改变，往往造成轨道半径和周期的改变。
(三) 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动(精研点)
类型(一)　直线边界的磁场

(1)粒子进出直线边界的磁场时，常见情形如图所示：

(2)带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性：
①对称性：进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。
②完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的半径相等而且两个圆弧轨迹恰好构成一个完整的圆，两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。

[例1]　如图所示，直角坐标系xOy中，y＞0区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，很多质量为m、带电荷量为＋q的相同粒子在纸面内从O点沿与竖直方向成60°角方向从第一象限以不同速率射入磁场，关于这些粒子的运动，下列说法正确的是(　 )

A．所有粒子在整个磁场中的运动轨迹长度都相同
B．所有粒子在整个磁场中的运动时间都相同，均为
C．所有粒子经过y轴时速度的方向可能不同
D．所有粒子从O点运动到y轴所用时间都相同，均为
[解析]　速度不同，在整个磁场中运动半径不同，轨迹长度不同，故A错误；由T＝可知，所有粒子在磁场中的运动周期都相同，根据对称性可知，所有从x轴离开的粒子运动所对应的圆心角为300°，故粒子运动时间t＝T＝，故B错误；根据单边界磁场特点，进出边界时粒子与边界的夹角相同，可知粒子经过y轴时速度方向相同，与y轴夹角均为60°，故C错误；粒子从O点运动到y轴所用时间相同，所对应的圆心角为120°，则运动时间t′＝T＝，故D正确。
[答案]　D
类型(二)　平行直线边界的磁场
(1)粒子进出平行直线边界的磁场时，常见情形如图所示：

(2)粒子在平行直线边界的磁场中运动时存在临界条件，如图甲、丙、丁所示。
(3)各图中粒子在磁场中的运动时间：
①图甲中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝。
②图乙中粒子在磁场中运动的时间t＝。
③图丙中粒子在磁场中运动的时间
t＝T＝＝。
④图丁中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝。



[例2]　(多选)两个带等量异种电荷的粒子a、b分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则(　 )
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝∶1
C．两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2
D．两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1
[解析]　由左手定则可得：a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示。

故Ra＝＝d，Rb＝＝d，所以Ra∶Rb＝∶1，故B正确；由几何关系可得：从A运动到B，a粒子转过的圆心角为60°，b粒子转过的圆心角为120°，ta＝＝tb＝，则Ta∶Tb＝2∶1，粒子运动周期为T＝＝，根据a、b粒子电荷量相等可得ma∶mb＝Ta∶Tb＝2∶1，故C错误，D正确。
[答案]　BD
[例3]　如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是(　 )
A．粒子a带负电，粒子b带正电
B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶
C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为∶1
D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2
[解析]　粒子a向上偏转，由左手定则得，粒子a带正电；粒子b向下偏转，粒子b带负电，故A错误；由几何关系可知，磁场水平距离x＝Rasin 60°＝Rbsin 30°，Ra∶Rb＝1∶，故B正确；由qvB＝m得v＝，两粒子比荷相同，磁场相同，则va∶vb＝Ra∶Rb＝1∶，故C错误；粒子运动周期T＝，a运动时间ta＝T＝T，b运动时间tb＝T＝T，故ta∶tb＝2∶1，故D错误。
[答案]　B
类型(三)　三角形边界的磁场
带电粒子在三角形边界的磁场中运动时常常涉及临界问题。如图所示，正△ABC区域内有匀强磁场，某正粒子垂直于AB方向从D点进入磁场时，粒子有如下两种可能的临界轨迹：

(1)粒子能从AB边射出的临界轨迹如图甲所示。
(2)粒子能从AC边射出的临界轨迹如图乙所示。
[例4]　如图所示，等腰直角三角形abc区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。三个相同的带电粒子从b点沿bc方向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t1、t2、t3，且t1∶t2∶t3＝3∶3∶1。直角边bc的长度为L，不计粒子的重力，下列说法正确的是(　 )
A．三个速度的大小关系一定是v1＝v2＜v3
B．三个速度的大小关系可能是v2＜v1＜v3
C．粒子的比荷＝
D．粒子的比荷＝








[解析]　由于t1∶t2∶t3＝3∶3∶1，作出粒子运动轨迹图如图所示，它们对应的圆心角分别为90°、90°、30°，由几何关系可知轨道半径大小分别为R2rk，故Δrk＋1φP，故B正确；电子从N到P，电势能增大，电场力做负功，A错误；洛伦兹力不做功，故C正确；根据动能定理可知电子从M到P，电场力做功为零，电子在P点速度为零，则电子在M点与在P点均只受电场力作用，故D错误。



8.如图所示，竖直平面内有一矩形区域abcd，ab边长为2l，bc边长为l，边cd、ab的中点分别是e、f，ad边与水平面的夹角θ＝30°，矩形区域内有大小为E、方向平行ab向上的匀强电场。现让一带正电微粒从d点的正上方的某点p(图中未画出)沿该竖直面水平抛出，正好从e点进入该矩形区域，并沿ef做直线运动，已知重力加速度为g，求：
(1)该微粒的比荷；
(2)p、d间的距离；
(3)若将矩形区域内的电场大小变为E，方向变为平行ad向上，微粒仍从p点以原来的速度水平抛出，求微粒将从何处离开矩形区域。
解析：(1)由题意可知，合力沿ef方向qE＝mgcos θ，＝。
(2)设微粒平抛的初速度为v0，从p到e用时为t1，竖直方向位移y1，水平位移为x1，到达e点时速度ve，竖直方向速度为vy，由平抛运动规律及题意有
tan θ＝，x1＝v0t1，
y1＝gt12，vy＝gt1，
x1＝lsin θ，y2＝lcos θ，
p、d间的距离为y
y＝y1＋y2
解得y＝l。
(3)电场改变后的电场力F2＝qE
可得F2＝mgsin θ
粒子进入电场后所受合力沿cd方向向下，做类平抛运动，设粒子的加速度为a，通过矩形区域的时间为t2，由牛顿第二定律有mgcos θ＝ma
假设从ad边飞出，飞出点距d点的距离为x2，由平抛运动规律有
l＝at22，ve＝，x2＝vet2
解得x2＝l＜l
所以，假设合理，从ad边离开矩形区域，距d点l。
答案：(1)　(2)l　(3)从ad边离开矩形区域，距d点l