新教材高二数学第二学期期末检测（原卷版+教师版）

这是一份新教材高二数学第二学期期末检测（原卷版+教师版），共17页。试卷主要包含了等差数列的前项和为，，，则，已知双曲线，若函数的取值范围是，已知数列，则能被3整除的概率为等内容，欢迎下载使用。

新教材高二数学第二学期期末检测
姓名
一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．等差数列的前项和为，，，则 （　 　）
A． B． C． D．
2. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为 （ ）
A. 150 B. 200 C. 300 D. 400
3.某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有 （ ）
A 24种 B. 36种 C. 48种 D. 56种
4．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过双曲线上任意一点分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，，等于展开式的常数项，则双曲线的离心率为 （ ）
A. 3 B. 3或 C. D. 或
5．已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是 （ ）
A．16π B． C．8π D．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x﹣m)2＋(y＋2)2＝4上两个动点，且 ＝，若
直线l：上存在唯一的一个点P，使得，则实数m的值为 （ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．若函数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8．已知数列，则能被3整除的概率为 （ ）
A． B． C． D．

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知等比数列中，公比，其前项和为，若，则下列说法正确的是
A． B． C．数列是等比数列
D．对任意正整数(为常数)，数列是公差为1的等差数列 ( )
10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，
6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件
“抽取的两个小球标号之积大于8”，则 （ ）
A．事件发生的概率为 B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为 D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱，，，，则下列结论正确的有 （ ）
A．四面体是鳖臑
B．阳马的体积为
C．若，则
D．到平面的距离为
12．已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有 （ ）
A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为
C. D.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．已知随机变量满足 .
14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”意思是：一座层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．请问塔顶层有______盏灯，塔底层有_______盏灯．
15．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AC＝BC＝2，AC⊥BC，D为线段AB的中点，E为侧棱SB上一动点．若SE＝EB，则异面直线CE与SA所成角的余弦值为　 ；当△CDE的面积最小时，DE＝　　 ．
16.若对于恒成立．当时，的最小值为 ；当时，的最小值是 ．(第一空分，第二空分)
四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．







18．已知数列的前n项和为，且，，数列满足.
（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.








19．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，是的中点，.
（Ⅰ）证明：⊥平面； （Ⅱ）求二面角大小；
（Ⅲ）线段上是否存在一点，使得直线平面. 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.














20．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了年月日至日这天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下：












（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计月日到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到）．参考数据：．
附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距．
（2）运用分层抽样的方法从第天和第天到该专营店购物的人中随机抽取人，再从这人中任取人进行奖励，求这人取自不同天的概率．
（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折．某顾客计划在此专营店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．









21．已知函数
（1） 若在处有极值，求实数的值；
（2） 求函数的单调区间；
（3）若函数有两个零点,求实数的范围.










22．已知双曲线（，）的离心率为2，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点．且．（1）求双曲线的标准方程．
（2）设为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，在轴的负半轴上是否存在定点．使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．


新教材高二数学第二学期期末检测
一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．等差数列的前项和为，，，则 （　B　）
A． B． C． D．
2. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为 （ C ）
A. 150 B. 200 C. 300 D. 400
3.某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有 （ C ）
A 24种 B. 36种 C. 48种 D. 56种
4．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过双曲线上任意一点分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，，等于展开式的常数项，则双曲线的离心率为 （ B ）
A. 3 B. 3或 C. D. 或
5．已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是 （ B ）
A．16π B． C．8π D．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x﹣m)2＋(y＋2)2＝4上两个动点，且 ＝，若
直线l：上存在唯一的一个点P，使得，则实数m的值为 （ A ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．若函数的取值范围是 （ D ）
A． B． C． D．
8．已知数列，则能被3整除的概率为 （ C ）
A． B． C． D．
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知等比数列中，公比，其前项和为，若，则下列说法正确的是
A． B． C．数列是等比数列
D．对任意正整数(为常数)，数列是公差为1的等差数列 ( AD )
10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，
6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件
“抽取的两个小球标号之积大于8”，则 （ BC ）
A．事件发生的概率为 B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为 D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱，，，，则下列结论正确的有 （ BCD ）
A．四面体是鳖臑
B．阳马的体积为
C．若，则
D．到平面的距离为
12．已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有 （ BC ）
A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为
C. D.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．已知随机变量满足 .
14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”意思是：一座层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．请问塔顶层有______盏灯，塔底层有_______盏灯．
15．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AC＝BC＝2，AC⊥BC，D为线段AB的中点，E为侧棱SB上一动点．若SE＝EB，则异面直线CE与SA所成角的余弦值为　　；当△CDE的面积最小时，DE＝　　．
16.若对于恒成立．当时，的最小值为 1 ；当时，的最小值是 ．(第一空分，第二空分)
四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．
17．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步计数原理，选取种数为N＝C·24＝3 360(种)．
即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．
(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，
所以选取种数为N＝C＝45(种)
即4只鞋子恰成双有45种不同取法．
(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步计数原理，不同取法为N＝CC·22＝1 440(种)．
18．已知数列的前n项和为，且，，数列满足.
（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.
18．解：（1）因为，所以当时有，，即，
当时有，，所以，即，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以．
（2）由得，，又，
所以，
所以

，由可知，
，所以．
【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：
设数列是等差数列，是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；
（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
19．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，是的中点，.
（Ⅰ）证明：⊥平面； （Ⅱ）求二面角大小；
（Ⅲ）线段上是否存在一点，使得直线平面. 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
19．解：（Ⅰ）因为 平面.
所以，，又.
如图，以为原点建立空间直角坐标系．
由题意得 ，
，
所以,,.
所以,,
所以,,所以平面.
（Ⅱ）设平面的法向量为，
因为.
所以，即，
令，则.于是.
因为⊥平面，所以为平面的法向量，
又.所以.
因为所求二面角为钝角，
所以二面角大小为.
（Ⅲ）解：设，
，
， ，
设平面的法向量，
则，即 ，
令，，. 于是，
如果直线平面，
那么，解得 .
所以，存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面.
【点睛】本小题主要考查利用空间向量法证明线面垂直，考查利用空间向量法求面面角的大小，考查利用空间向量法确定点的位置，属于中档题.
20．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了年月日至日这天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下：












（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计月日到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到）．
参考数据：．
附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距．
（2）运用分层抽样的方法从第天和第天到该专营店购物的人中随机抽取人，再从这人中任取人进行奖励，求这人取自不同天的概率．
（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折．某顾客计划在此专营店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
20．解：（1）由表中数据可得，，，，
，所以，
所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系．
而，则，
所以．令，可得．．
答：月日到该专营店购物的人数约为．
（2）因为，所以从第天和第天取的人数分别为和，
从而人取自不同天的种数为，所以概率．
答：这人取自不同天的概率为．
（3）若选方案一，需付款元．
若选方案二，设需付款元，则的取值可能为，，，，
则，，
，，
所以，
因此选择方案二更划算．
21．已知函数
（1） 若在处有极值，求实数的值；
（2） 求函数的单调区间；
（3）若函数有两个零点,求实数的范围.
20. 解：（1）函数在处有极值
,又因为，解得
当
列出表格如下：


1



0



极大值1

所以，在处有极大值.
（2）
当时，在上为单调增函数，
当，令，得，
时，在为单调增函数，
时，在单调减函数
综上：当时，增区间为，无减区间，
当时，增区间为，减区间为 ；
（3）因为函数有两个零点，
增区间为，减区间为

解得：，

因为，
所以在上恰有一个零点，
由得
下证

令


在

即，所以在上恰有一个零点
综上：时，有两个零点.

22．已知双曲线（，）的离心率为2，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点．且．（1）求双曲线的标准方程．
（2）设为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，在轴的负半轴上是否存在定点．使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．解：（1）设双曲线的焦距为．由双曲线的离心率为2知，所以，
从而双曲线的方程可化为．
令得．
设，．因为，
所以，．因为，
所以，
于是，解得，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）假设存在点（）满足题设条件．
由（1）知双曲线的右焦点为．
设（）为双曲线右支上一点．
当时，因为，
所以，于是，所以．
当时，，．
因为，所以．
将代入并整理得，
所以．
综上，满足条件的点存在，其坐标．