初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形课时作业

【基础】初中数学华东师范大学八年级下册第十九章19.3 正方形作业

一、单选题

1．下列四个命题中的假命题是(　　)  

A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

B．对角线相等的平行四边形是矩形

C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形：

D．对角线相等的四边形是平行四边形

2．下列说法中正确的是（　　）

A．两条对角线垂直的四边形是菱形

B．对角线垂直且相等的四边形是正方形

C．两条对角线相等的四边形是矩形

D．两条对角线相等的平行四边形是矩形

3．下列说法不正确的是（　　）

A．平行四边形对角相等

B．对角线互相垂直的矩形是正方形

C．一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形

D．菱形的对角线互相垂直平分

4．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于(　　)  

A．30° B．45° C．60° D．75°

5．下列不能判断是正方形的有（　　）  

A．对角线互相垂直的矩形

B．对角线相等的矩形

C．对角线互相垂直且相等的平行四边形

D．对角线相等的菱形

6．如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（　　） 

A． B． C． D．

7．下列命题是真命题的是(　　)  

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

D．对角线互相平分的四边形是平行四边形

8．下列命题正确的是（　　）

A．对角线相等的四边形是平行四边形

B．对角线相等的四边形是矩形

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

二、填空题

9．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”.若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为　     　.

10．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是　               　（填一个符合题目要求的条件即可）．

11．若正方形的面积是9，则它的对角线长是　     　．  

12．如图，点M、N在半圆的直径AB上，点P、Q在 上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为 ，则正方形的边长为　     　．

13．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是　     　度．

14．如图，将正方形ABCD的边AB沿AE折叠，使点B落在对角线AC上，则∠BAE的度数为　     　．

三、解答题

15．如图，△ABC中，∠B=90°，点M在AB上，AM=BC，作正方形CMDE，连接AD．

（1）求证：△AMD≌△BCM．

（2）点N在BC上，CN=BM，连接AN交CM于点P，试求∠CPN的大小．

（3）在（2）的条件下，已知正方形CMDE的边长为3，AP=2PN，求AB的长．

16．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．

（1）证明：PC=PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

17．如图，在正方形ABCD中，OE=OF．求证：△AOE≌△BOF，AE⊥BF． 

参考答案与试题解析

1．【答案】D

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】B

6．【答案】B

7．【答案】D

8．【答案】C

9．【答案】49

10．【答案】AC＝BD且AC⊥BD​​

11．【答案】3

12．【答案】2

13．【答案】22.5

14．【答案】22.5°

15．【答案】（1）证明：∵四边形CMDE是正方形．∴DM=CM，∠DMC=90°，∴∠AMD+∠BMC=90°，∵∠B=90°，∴∠BMC+∠BCM=90°，∴∠AMD=∠BCM，在△AMD和△BCM中，，∴△AMD≌△BCM（SAS）；（2）解：连接CD，如图所示：∵四边形CMDE是正方形，∴∠DCM=∠ECM=45°，∵△AMD≌△BCM，∴∠DAM=∠B=90°，AD=BM，∴AD∥BC，∵CN=BM，∴AD=CN，∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN∥CD，∴∠CPN=∠DCM=45°；（3）解：设AM=a，AD=b，作NF⊥CM于F，如图所示：则CN=AD=b，BC=AM=a，∵sin∠AMD=，sin∠NCF=，∠AMD=∠NCF，∴=，∴FN=，∵∠CPN=45°，∴PN=FN=，∴AP=2PN=，∴AN=AP+PN=b2，∵四边形DMCE是正方形，∴CD==3，∴AN=CD=3，∴b2=3，解得：b=，∵在Rt△ADM中，AM2+AD2=DM2，即a2+b2=9，解得：a=，∴AB=AM+BM=+．

16．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，

∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE；

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠E，

∴∠DCP=∠E，

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，

即∠CPF=∠EDF=90°；

（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴PC=PE，

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PC，

∴∠DAP=∠AEP，

∴∠DCP=∠AEP

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，

即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，

∴△EPC是等边三角形，

∴PC=CE，

∴AP=CE．

17．【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形， 

∴OA=OB，∠AOE=∠BOF；

在△AOE与△BOF中，

，

∴△AOE≌△BOF（SAS），

延长AE交BF于点G；

∵△AOE≌△BOF，

∴∠AEO=∠OFG，即∠AEO=∠AFG．

∵AO⊥EO，

∴∠EAO+∠AEO=90°，

∴∠GAF+∠AFG=90°，

∴AE⊥BF．

∴△AOE≌△BOF，AE⊥BF．