2023年辽宁省锦州市高考数学最后一模试卷

这是一份2023年辽宁省锦州市高考数学最后一模试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省锦州市高考数学最后一模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，，则(    )A.  B.  C. ， D. 2.  已知，是空间两个不同的平面，命题：“”，命题：“平面内有无数条直线与平行”，则是的(    )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.  已知复数为虚数单位，为纯虚数，则在复平面内，对应的点的轨迹为(    )A. 圆 B. 一条线段
C. 两条直线 D. 不含端点的条射线4.  已知直线的倾斜角为，则(    )A.  B.  C.  D. 5.  南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该杯盏的高度为(    )
A.  B.  C.  D. 6.  若，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  在中，，点在线段上，，，，点是外接圆上任意一点，则最大值为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知，，，则(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  甲、乙二人在相同条件下各射击次，每次中靶环数情况如图所示：下列说法正确的是(    )
A. 从环数的平均数看，甲、乙二人射击水平相当
B. 从环数的方差看，甲的成绩比乙稳定
C. 从平均数和命中环及环以上的频数看，乙的成绩更好
D. 从二人命中环数的走势看，甲更有潜力10.  函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是(    )A. 的最小正周期是
B. 的值为
C. 在上单调递增
D. 若为偶函数，则最小值为
 11.  若，是函数为自然对数的底数图象上的任意两点，且函数在点和点处的切线互相垂直，则下列结论中正确的是(    )A.  B. 最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为12.  如图，正方体的棱长为，点、、分别在棱、、上，满足，记平面与平面的交线为，则(    )A. 存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形
B. 当时，三棱锥的外接球表面积为
C. 当时，三棱锥体积为
D. 当时，与平面所成的角的正弦值为
 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  某考生回答一道有个选项的选择题，设会答该题的概率是，并且会答时一定能答对，若不会答，则在个答案中任选个已知该考生回答正确，则他确实会答该题的概率是______ ．14.  设为定义在上的可导函数，其导函数为偶函数，若对任意有，且，则 ______ ．15.  已知正项等差数列，公差为，前项和为，若也是公差为的等差数列，则 ______ ．16.  已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，则当最大时，的面积为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
在直角梯形中如图一，，，将沿折起，使如图二．

求证：平面平面；
设为线段的中点，求点到直线的距离．18.  本小题分
在中，角是锐角，角，，所对的边分别记作，，，满足，．
求；
若，求的值．19.  本小题分
记为数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
设单调递增的等差数列满足，且成等比数列．
求的通项公式；
设，证明：．20.  本小题分
据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标如肺活量、柔韧度、力量、速度、耐力等自年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到年中小学生在肺活量、柔韧度、力量、速度、耐力等多项指标出现好转，但肥胖、近视等问题依然严重，体育事业任重道远某学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取名女生的成绩单位：秒作为样本，整理得到如图所示的频率分布直方图．
估计样本中女生短跑成绩的平均数；同一组的数据用该组区间的中点值为代表
由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩，其中近似为女生短跑平均成绩，近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取人，记其中短跑成绩在内的人数为，求结果保留位有效数字．
参考数据：随机变量服从正态分布，则，，，，，，，．
21.  本小题分
已知，为双曲线：的左、右焦点，的离心率为，为上一点，且．
求的方程；
设点在坐标轴上，直线与交于异于的，两点，且点在以线段为直径的圆上，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标以及的长度；若不存在，请说明理由．22.  本小题分
已知函数，其中，为自然对数的底数．
若，求实数的值；
证明：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：所求中的元素需满足或，
解得或，
所以共有两个元素，满足．
故选：．
根据集合的交并运算得出元素需要满足的特征性质进而求得元素，或利用集合中元素的几何意义数形结合得出答案．
本题主要考查了集合的交集及并集运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：若，则平面内的任意一条直线平行于另一个平面，故平面内有无数条直线与平行，所以可以推出，
根据面面平行的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，
若平面内有无数条直线与平行，则与可能相交，不一定平行，所以不能推出，
所以是的充分不必要．
故选：．
利用面面平行的性质和判定定理即可求得结果．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：由题意可知，复数在复平面内对应的点，
所以，
因为为纯虚数，
所以，解得或，
故在复平面内，对应的点的轨迹为不含端点的条射线．
故选：．
利用复数的分类及复数的几何意义，结合复数的乘法法则即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及纯虚数的定义，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：因为直线的倾斜角为，
所以．
所以．
故选：．
利用直线的斜率的定义及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意可得，设抛物线的标准方程为，
则，解得，所以抛物线的标准方程为，
可设，代入抛物线方程，可得，
所以该杯盏的高度为．
故选：．
以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，可得点坐标及抛物线的标准方程，设代入抛物线方程求出后可得答案．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属中档题．
 6.【答案】 【解析】解：设，
，
，
可得：
，
，
，即，
，即，
，即，

，即，
，
，
由此可知，，
且数列，，，，是以为公差的等差数列，
所以，，，
所以．
故选：．
将展开与比较系数发现数列，，，，是以为公差的等差数列，进而可求得结果．
本题考查数列以及二项式定理相关知识，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：在中，，，

在中，由余弦定理得，
，
又因为，所以，解得，
从而，．
设外接圆的半径为，由正弦定理得，
故．
所以，
当与同向时，取得最大值为．
故选：．
先根据余弦定理求出线段，，的长度，再根据正弦定理求出外接圆的半径，最后将写成后再求，当与同向时，取得最大值．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】【分析】本题考查了对数函数的单调性、对数的运算性质，属于中档题．
利用对数函数的单调性、对数的运算性质即可得出．【解答】解：，
，
又，最大，
故选：．  9.【答案】 【解析】解：由题意及图得，
甲射击  次中靶环数由小到大排列为，，，，，，，，，．
乙射击  次中靶环数由小到大排列为，，，，，，，，，．
甲平均值：环，
乙平均值：环，
甲方差：，
乙方差：，
项，甲平均值等于乙平均值，故A正确；
项，，甲的成绩比乙稳定，B正确；
项，甲乙平均数均为，甲命中环及环以上的频数为，乙命中环及环以上的频数为，故乙的成绩更好，C正确；
项，从二人命中环数的走势看，甲成绩逐渐平稳，乙成绩仍有上升趋势，故乙更有潜力，D错误．
故选：．
求出甲乙的平均数和方差，即可得出结论．
本题主要考查平均数，方差的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：由图可知，，该三角函数的最小正周期，故A错误；
由于，则，由图知，
所以该函数的一条对称轴为．
将代入得出，解得，
所以，
所以，故B正确；
令解得．
当时，在上单调递减，故C错误；
若为偶函数，则为偶函数，
所以，解得，
则当时，取最小值，最小值为，故D正确．
故选：．
对于选项A，看图求周期即可；对于选项B，先求出解析式，再求；对于选项C，先求出的减区间，再做出判断即可；对于选项D，求出为偶函数时的取值，进而求出最小值．
本题考查了三角函数解析式的求解，三角函数的周期性、单调性、奇偶性以及最值的求解，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：当时，，当时，．
因为函数在点和点处的切线互相垂直，
所以，
即可得．
因为，可得故A正确．
由，设，，
当时，，在上单调递增，
所以在上无最小值．故B错误．
由，设，，
当时，，在上单调递减，
所以在上有最小值故C正确．
由，设，，
当时，，在上单调递增，
所以在上有最大值，故D正确．
故选：．
先分段求导，利用导数的几何意义得出，通过构造新函数，利用导数的正负求得函数的单调性，再利用单调性求出最值即可．
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查两直线垂直的条件，考查构造函数法和运算能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．
正方体的棱长为，当时，平面截正方体所得截面图形为四边形，
当时，平面截正方体所得截面图形为五边形或六边形，如图：

故A错误；
当时，，三棱锥的外接球的球心在过线段的中点，
且垂直于平面的直线上，记的中点为，，球心，
由，得，解得，可得．
三棱锥的外接球表面积为，故B错误；
当时，，可得，可得平面，
又平面，
，故C正确；
当时，，，，，，

，，．
设平面的一个法向量为，则，
取，得；
由平面知，平面的法向量为．
记平面与平面的交线的一个方向向量，
则，取，得．
取平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，则，故D正确．
故选：．
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．
当时，画出平面截正方体所得截面图形判断；当时，找出三棱锥的外接球的球心，求出半径，可得三棱锥的外接球表面积判断；利用等体积法求三棱锥的体积判定；当时，利用空间向量求解与平面所成的角的正弦值判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解：设考生会答该题为事件，不会答为事件，该考生回答正确为事件；
则：，，
，
，
故答案为：．
利用条件概率和全概率公式即可．
本题考查条件概率相关知识，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：导函数为偶函数，
所以，
，为常数；
，
，即，
所以，即，
，
两式相减得：，故函数周期为，
，
，
，
，
，；
；
．
故答案为：．
导函数为偶函数可知有对称中心，可知有对称轴，所以是周期函数，然后根据周期性和对称性求解即可．
本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：因为是公差为的正项等差数列，则，
因为是等差数列的前项和，所以，
又因为也是公差为的等差数列，则，
从而有，两边平方得，
即，
由多项式相等，得出，
解得．
故答案为：．
利用等差数列的通项公式和前项和公式，结合多项式相等即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：根据椭圆的方程可知，，连接，，
则，
所以当、、三点共线时，的值最大，
此时，．
又因，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得，
．
故答案为：．
将对称性和椭圆的定义结合起来，得到，的和为定值，从而知当、、三点共线时，的值最大，然后通过几何关系求出，结合余弦定理即可求出三角形的面积．
本题考查椭圆的几何性质，余弦定理的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 17.【答案】证明：取的中点，连接，如图所示：

因为，，
则四边形为正方形，所以，
因为，所以．
因为，，，，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
因为，，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
解：取，的中点，，连接，，，

因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以．
因为，，所以．
因为，，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以．
因为，，且，
所以，
即点  到直线  的距离为． 【解析】首先取的中点，连接，根据题意易证平面，从而得到，即可得到平面，再根据面面垂直的判定即可证明平面平面．
首先取，的中点，，连接，，，易证平面，从而得到，再计算的长度即可．
本题主要考查平面与平面垂直的判定，考查转化能力，属于难题．
 18.【答案】解：因为，
又因为角是锐角，即，
所以，
所以，故；
因为，
又，所以，
因为，，
由正弦定理，得，
所以，
由余弦定理得，，得，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
所以． 【解析】利用辅助角公式和三角函数关系式的变换求角；
利用正弦定理和余弦定理及三角函数关系式的变换求出结果．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于难题．
 19.【答案】解：因为，可得，，
两式相减可得，即，
则，，
又因为，可得，
所以当时，，即，
当时，不满足上式，
所以数列的通项公式为
设数列的公差为，
因为成等比数列，且，，，
所以，，
整理得，解得或，
因为，可得，
又因为，所以数列的通项公式为．
证明：由知，，
可得，
当时，；
当时，，
综上可得，对于任意，都有． 【解析】由数列的递推关系式得到，，再根据等比数列的通项公式，即可求解；
设数列的公差为，根据题意，结合等比中项公式列出方程，求得，再利用等差数列的通项公式，即可求解；
由得到，利用放缩法和裂项求和，即可求解．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，数列与不等式的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 20.【答案】解：平均数；
由题意可知，该校女生的短跑成绩，
，，
，，
成绩在内的概率，
，
，，
． 【解析】利用频率分布直方图求解平均数即可；
根据可求出成绩在内的概率，再利用二项分布的概率公式求解即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布曲线的对称性，以及二项分布的概率公式，属于中档题．
 21.【答案】解：双曲线的离心率为，
，
又，解得，
则，
，
故双曲线的方程为；
由得在双曲线：中，，
则点在双曲线的左支上，点在坐标轴上，即点的坐标为，
设，，
当的斜率存在时，设的方程为，
联立，整理得，
，则，
则，，
在以为直径的圆上，，
则，
，
整理得，解得或，
经检验均满足，
当时，直线的方程为，则直线过点，不合题意，舍去；
当时，直线的方程为，则直线过定点，符合题意．
当直线的斜率不存在时，由，
可设直线的方程为，联立，解得，，
直线的方程为，则直线过定点，
，是以为斜边的直角三角形，
点在以为直径的圆上，
则当为该圆的圆心时，为该圆的半径，即，
故存在点，使得为定值． 【解析】根据双曲线的离心率和双曲线的定义求出、，即可得出答案；
分类讨论的斜率存在与不存在两种情况，联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理和求出直线方程，求解即可得出答案．
本题考查直线与双曲线的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 22.【答案】解：，令，．
则等价于，对任意恒成立，令，
当时，，与恒成立矛盾，不合题意；
当时，，，与恒成立矛盾，不合题意；
当时，，在上递减，在上递增，
的最小值为．
令，则，知在上递增，在上递减，
，要使，当且仅当．
综上，实数的值为；
证明：由知，当时，，即，
，
下面证明，即证：．
令，．
当时，显然单调递增，，
在上单调递减，，
当时，显然，即．
故对一切，都有，即．
故原不等式成立． 【解析】，令，，则等价于，对任意恒成立，令，可知当时不恒成立；当时，利用导数求其最大值，由最大值等于求得值；
由知，当时，，即，可得，把问题转化为证明，即证：，构造函数，再由导数证明即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查化归与转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．