2023届辽宁省锦州市高三下学期4月质量检测（一模）数学试题含答案

  2023年锦州市普通高中高三质量检测

数学

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数满足，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.在中，点在边上且平分.若，则（    ）

A.    B.

C.    D.

4.如图，用三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次是，则在系统正常工作的前提下，只有和正常工作的概率是（    ）

A.    B.    C.    D.

5.如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为（单位：）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为（单位：）.若，每对轧辊的减薄率不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（    ）（一对轧辊减薄率）

A.14    B.15    C.16    D.17

6.已知正方体的棱长为是棱的两个三等分点，则四面体的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知函数，若使得的图像在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ）

A.    B.1    C.    D.2

8.已知实数满足且（其中是自然对数的底数），若，则（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知我市某次考试高三数学成绩，从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为，则（    ）

A.    B.服从标准正态分布

C.    D.

10.如果有限数列满足，则称其为“对称数列”，设是项数为的“对称数列”，其中是首项为50，公差为-4的等差数列，则（    ）

A.若，则

B.若，则所有项的和为590

C.当时，所有项的和最大

D.所有项的和可能为0

11.已知函数是定义在上的可导函数，当时，，若且对任意，不等式成立，则实数的取值可以是（    ）

A.-1    B.0    C.1    D.2

12.已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率大于0的直线交抛物线于两点（其中在的上方），为坐标原点，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线于点，则（    ）

A.若，则直线的斜率为

B.

C.若是线段的三等分点，则直线的斜率为

D.若不是线段的三等分点，则

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.写出过点且与圆相切的一条直线的方程__________.

14.的展开式中含的项与含的项系数相等，则__________.

15.椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，若，是上轴上方的两点且，则__________.

16.在中，，若空间点满足，则的最小值为__________；直线与平面所成角的正切的最大值是__________.（第一空2分，第二空3分）

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步㩧.

17.（本题满分10分）

已知数列和满足，数列的前项和分别记作，且.

（1）求和；

（2）设，求数列的前项和.

18.（本题满分12分）

今年以来，人们的出行需求持续释放，各种旅游项目态势火爆，旅游预订人数也开始增多.某调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客进行了预订，这200名游客中各年龄段所占百分比如图所示：

年龄在19-35岁的人群称为青年人群，已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的青年游客概率为.

（1）请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否为青年有关；

（2）按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人中至少有2人是青年人的概率.

附：①，其中.

②

19.（本题满分12分）

已知的内角的对边分别为.

（1）若，求的值；

（2）是否存在以为直角顶点的Rt？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

20.（本题满分12分）

如图一，是等边三角形，为边上的高线，分别是边上的点，；如图二，将沿翻折，使点到点的位置，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

21.（本题满分12分）

已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，点坐标为，且.

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的动直线与的左､右两支分别交于两点，若点在线段上，满足，证明：在定直线上.

22.（本题满分12分）

已知函数，

（1）证明：；

（2）若恒成立，求的取值范围；

（3）设，证明：函数存在唯一的极大值点，且.

2023年锦州市普通高中高三质量检测数学

（参考答案及评分标准）

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1-8BDCCDBAD

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.AD    10.BC    11.AB    12.ABC

三，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.或注：写一条直线方程即可，如果写两个方程，都正确得5分，有错误的得0分.

14.1    15.3    16.，（第一空2分，第二空3分）

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

解：（1）因为，所以，

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，

所以其前项和

又因为所以

（2）当时，.

也适合，所以.

所以

所以

.

18.（本题满分12分）

解：（1）200名有预订的游客中，青年游客人数为，

200名不预订的游客中，青年游客人数为，

可知列联表如下

所以能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否青年有关.

（2）按分层抽样，从预定游客中选取5人，

其中青年游客的人数为人，其他游客2人，

所以从5人中任取3人，其中至少有2人是青年人的概率为

.

19.（本题满分12分）

解：（1）（法一）因为，所以由正弦定理，得

又因为，所以，即.

由余弦定理知：

.

（法二）因为所以

又

所以，即.

所以即所以

因为，所以.

（2）不存在以为直角顶点的直角三角形.

理由如下：

因为，

由正弦定理，得

若，则，且，

所以

将上式两边平方得：

所以.

因为，所以，且，

故不存在满足条件的三角形.

20.（本题满分12分）

解：（1）因为为等边三角形，，

为边上的高线，所以，又，

所以平面.

因为平面，所以.

在中，，所以，

所以，.

而平面平面，

所以平面.

（2）分别以方向为轴正方向建立空间直角坐标系，

则，

则.

设平面的法向量，平面的法向量，则，且，

解得平面的一个法向量，

平面的一个法向量，

设二面角大小为，则

所以

21.（本题满分12分）

解：（1）设，因为双曲线的离心率为，

设，

所以，

所以，解得或-1（舍），

所以双曲线的方程为

（2）设即，

由，可得，

所以.

设，根据题意，，

又由，可得

整理得：，

即，

化简得

又，消去，得，

所以点在定直线上.

22.（本题满分12分）

（1）证明：，所以是上的增函数，

所以

（2）解：，

当时，为上的增函数，所以存在，

不符合题意；

当时，由，得，

时是减函数，时是增函数，

所以.

所以只需①，

设，则，

当时为增函数，当时为减函数，

则，.

所以当且仅当时①式成立；

综上，.

（3）证明：，

因为是上的减函数，由正切函数的性质及可知，

在内，存在唯一实数，使得，

当时，为增函数，当时，为减函数，所以是的极大值点，.

由（1）可知，当时，，由（2）可知，所以

下面证明，

令，即证②，

设，则，

所以是上的增函数，

所以时，，②式成立，命题得证.