专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（学生版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

              专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题

图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．

产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．

一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．

一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．

【例1】(2022•武汉模拟)抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；

(3)如图2，P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值．

【例2】(2022•黄石)如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．

(1)A，B，C三点的坐标为 　   　，　   　，　   　．

(2)连接AP，交线段BC于点D，

①当CP与x轴平行时，求的值；

②当CP与x轴不平行时，求的最大值；

(3)连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．

【例3】(2022•河南三模)如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D是抛物线y＝ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．

①请用含m的代数式表示线段DF的长；

②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当时点D的坐标．

【例4】(2021•大庆)如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2，1)．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．

①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．

证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；

(3)点C(3，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．

1．(2020•道里区二模)已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣+bx+3交x轴于A、B两点(点B在点A的右边)交y轴于点C，OB＝3OC．

(1)如图1，求抛物线的解析式；

(2)如图2，点E是第一象限抛物线上的点，连接BE，过点E作ED⊥OB于点D，tan∠EBD＝，求△BDE的面积；

(3)如图3，在(2)的条件下，连接BC交DE于点Q，点K是第四象限抛物线上的点，连接EK交BC于点M，交x轴于点N，∠EMC＝45°，过点K作直线KT⊥x轴于点T，过点E作EL∥x轴，交直线KT于点L，点F是抛物线对称轴右侧第一象限抛物线上的点，连接ET、LF，LF的延长线交ET于点P，连接DP并延长交EL于点S，SE＝2SL，求点F的坐标．

2．(2020•三明二模)如图，抛物线y＝x2+mx(m＜0)交x轴于O，A两点，顶点为点B．

(Ⅰ)求△AOB的面积(用含m的代数式表示)；

(Ⅱ)直线y＝kx+b(k＞0)过点B，且与抛物线交于另一点D(点D与点A不重合)，交y轴于点C．过点C作CE∥AB交x轴于点E．

(ⅰ)若∠OBA＝90°，2＜＜3，求k的取值范围；

(ⅱ)求证：DE∥y轴．

3．(2022•杜尔伯特县一模)如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A(﹣1，0)，B(m，0)两点，与y轴相交于点C(0，﹣3)，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．

(3)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．

①求线段PM长度的最大值．

②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值．

4．(2020•江岸区校级一模)已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．

(1)如图1，求抛物线的解析式；

(2)如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式(不要求写出自变量d的取值范围)；

(3)如图3，在(2)的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．

5．(2020•涡阳县一模)如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与直线y＝x+1相交于A(﹣1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点C(5，0)．

(1)求抛物线的解析式．

(2)点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求△ABP的面积最大时的P点坐标．

(3)若点P是抛物线上的一个动点(不与点A点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．当PE＝2ED时，求P点坐标；

(4)设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点M，使得AM被FC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

6．(2021•桂林)如图，已知抛物线y＝a(x﹣3)(x+6)过点A(﹣1，5)和点B(﹣5，m)，与x轴的正半轴交于点C．

(1)求a，m的值和点C的坐标；

(2)若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时，求点P的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

7．(2021•甘肃)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A(0，﹣2)，B(4，0)两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．

(1)求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；

(2)当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；

(3)①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值．

8．(2021•丽水)如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．

(1)求b，c的值；

(2)连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．

①求点M的坐标；

②将抛物线L向左平移m(m＞0)个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．

9．(2020•陕西)已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点(﹣3，3)和(1，﹣5)，与x轴的交点为A，B(点A在点B的左侧)．

(1)求抛物线L的表达式；

(2)若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB(P的对应点是D)，且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．

10．(2020•盘锦)如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C(0，4)，△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF(点A，B，O的对应点分别为点D，E，F)，平移时间为t(0＜t＜4)秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；

(3)如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．

11．(2022•深圳三模)如图1，抛物线y＝ax2+bx经过点A(﹣5，0)，点B(﹣1，﹣2)．

(1)求抛物线解析式；

(2)如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q(﹣4，0)作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM+QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；

(3)如图3，长度为的线段CD(点C在点D的左边)在射线AB上移动(点C在线段AB上)，连接OD，过点C作CE∥OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．

12．(2022•阿克苏地区一模)如图1．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，已知点B(4，0)．

(1)若C(0，3)，求抛物线的解析式．

(2)在(1)的条件下，P(﹣2，m)为该抛物线上一点，Q是x轴上一点求的最小值，并求此时点Q的坐标．

(3)如图2．过点A作BC的平行线，交y轴与点D，交抛物线于另一点E．若DE＝7AD，求c的值．

13．(2022•松江区二模)如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．

(1)求抛物线的表达式；

(2)P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N．

①当MN＝AB时，求点P的坐标；

②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值．

14．(2022•游仙区模拟)如图，抛物线与坐标轴分别交于A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

(3)如图2，Q是△ABC内任意一点，求++的值．

15．(2022•龙岩模拟)抛物线y＝ax2+bx+c经过A(﹣1，0)，B(3，4)两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式(用含a的式子表示)；

(2)当a＞0时，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，求a的值；

(3)直线y＝﹣x+m与线段AB交于点P，与抛物线交于M，N两点(点M在点N的左侧)，若PM•PN＝6，求m的值．

16．(2022•雷州市模拟)如图(1)，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A(﹣6，0)、B(2，0)，与y轴交于点C，抛物线对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N．点P是抛物线上的动点，且位于x轴上方．

(1)求抛物线的解析式．

(2)如图(2)，点D与点C关于直线MN对称，若∠CAD＝∠CAP，求点P的坐标．

(3)直线BP交y轴于点E，交直线MN于点F，猜想线段OE、FM、MN三者之间存在的数量关系，并证明．

17．(2022•马鞍山二模)如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A(﹣1，0)、B(3，0)，与y轴交于C点，直线y＝kx(k＜0)交线段BC下方抛物线于D点，交BC于E点

(1)分别求出a、b的值；

(2)求出线段BC的函数关系式，并写出自变量取值范围；

(3)探究是否有最大值，若存在，请求出此时k值，若不存在，请说明理由．

18．(2022•南岗区校级二模)如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣ax2+6ax+6与y轴交于点B，交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点C，且S△ABC＝30．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，其横坐标为t，PD⊥x轴于点D，设tan∠PAD等于m，求m与t之间的函数关系式；

(3)如图3，在(2)的条件下，当m＝时，过点B作BN⊥AB交∠PAC的平分线于点N，点K在线段AB上，点M在线段AN上，连接KM、KN，∠MKN＝2∠BNK，作MT⊥KN于点T，延长MT交BN于点H，若NH＝4BH，求直线KN的解析式．

19．(2022•江汉区校级模拟)如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．

(1)若C(0，﹣3)，求抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，E是线段BC上一动点，AE交抛物线于F点，求的最大值；

(3)如图2，点N为y轴上一点，AN、BN交抛物线于E、F两点，求•的值．

20．(2022•成都模拟)如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．

(1)求点A，B，C的坐标及抛物线的对称轴；

(2)如图1，点P(1，m)，Q(1，m﹣2)是两动点，分别连接PC，QB，请求出|PC﹣QB|的最大值，并求出m的值；

(3)如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点D，过D点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，当直线l绕点D旋转时，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

21．(2022•沈阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，直线l：y＝kx+b经过点B，点C，点P是抛物线上一动点，连接OP交直线BC于点D．

(1)求直线l的解析式；

(2)当＝时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，点N是直线BC上一动点，连接ON，过点D作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD＝DF时，请直接写出点N的坐标．

22．(2022•沈阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣过点A(3，2)和点B(，0)，与x轴的另一个交点为点C．

(1)求抛物线的函数表达式．

(2)判断△ABC的形状，并说明理由．

(3)点D在线段BC上，连接AD，作DE⊥AD，且DE＝AD，连接AE交x轴于点F．点F不与点C重合，射线DP⊥AE，交AE于点P，交AC于点Q．

①当AD＝AF时，请直接写出∠CAE的度数；

②当＝时，请直接写出CQ的长．