专题08 二次函数与平行四边形有关的问题（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

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专题08 二次函数与平行四边形有关的问题（知识解读） 【专题说明】二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，我借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题，同学们要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。【解题思路】 线段中点坐标公式 2.平行四边形顶点公式：                    分类： 三个定点，一个动点问题  已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论；   两个定点、两个动点问题 这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。 方法总结：  这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合的思想。 【典例分析】【考点1  三定一动类型】【典例1】（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝1，∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC的周长最短，∵点C的横坐标是2，yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴C（2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴P（1，﹣2）；（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y），①当AB为对角线时，则，解得：，∴E（0，3）；②当AC为对角线时，则，解得：，∴E（﹣2，﹣3）；③当BC为对角线时，则，解得：，∴E（6，﹣3）．综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．【变式1-1】（2022•宝山区模拟）已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求经过A、D两点的直线的表达式；（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+c，将点A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴D（2，1），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣1；（3）设P（t，t﹣1），①当AB为平行四边形的对角线时，t＝1+3＝4，∴P（4，3）；②当AC为平行四边形的对角线时，1＝3+t，∴t＝﹣2，∴P（﹣2，﹣3）；③当AP为平行四边形的对角线时，t+1＝3，∴t＝2，∴P（2，1），此时﹣3+0≠1+0，∴P（2，1）不符合题意；综上所述：P点的坐标为（4，3）或（﹣2，﹣3）．【变式1-2】（2021秋•建昌县期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方的抛物线上时，求△PBC的最大面积，并直接写出此时P点坐标；（3）若点M在抛物线的对称轴上，以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，∵点B（﹣3，0），∴﹣3k+3＝0，∴k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x+3，过点P作PQ∥y轴交BC于Q，设P（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），∴Q（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，∴S△PBC＝PQ（xC﹣xB）＝（﹣m2﹣3m）[0﹣（﹣3）]＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，△PBC的最大面积为，此时，点P的坐标为（﹣，）； （3）能是平行四边形；如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴设点M（﹣1，a），P（n，﹣n2﹣2n+3），假设存在以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形是平行四边形，①当四边形BCMP是平行四边形时，∵点C（0，3），B（﹣3，0），∴（n+0）＝（[﹣3+（﹣1）]，∴n＝﹣4，∴P（﹣4，﹣5），②当四边形BCP'M'是平行四边形时，∵点C（0，3），B（﹣3，0），∴[n+（﹣3）]＝（[0+（﹣1）]，∴n＝2，∴P（2，﹣5）， 即：满足条件的点P（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．【考点2   两定两动类型】【典例2】（2022•牡丹区三模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c，得：，解之，得，∴抛物线的解析式为．（2）∵BC为定值，∴当△BEC的面积最大时，点E到BC的距离最大．如图，过点E作EG∥y轴，交直线BC于点G．设点E的坐标为，则点G的坐标为（m，﹣m+4），∴，∴，∴当m＝2时，S△BEC最大．此时点E的坐标为（2，4）．（3）存在．由抛物线可得对称轴是直线x＝1．∵Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的横坐标为1．①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，∴点Q到点P的水平距离也是4．∴点P的横坐标是5或﹣3，∴点P的坐标为或；②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，∴点B到点P的水平距离也是3，∴点P的坐标为．综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 【变式2-1】（2022•南京模拟）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A（﹣1，0），C（0，﹣3）两点，对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴设抛物线y＝a（x﹣1）2+k，把A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2+k得：，∴，∴y＝（x﹣1）2﹣4；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴y＝x2﹣2x﹣3，依题意设N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），∵C（0，﹣3），对称轴为直线x＝1，∴F（2，﹣3），∵A（﹣1，0），F（2，﹣3），N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），当以AF为对角线时，，∴m＝0，∴M（0，﹣3），当以AN为对角线时，，∴m＝﹣2，∴M（﹣2，5），当以AM为对角线时，，∴m＝4，∴M（4，5），综上所述：M（0，﹣3）或M（﹣2，5）或M（4，5）．【变式2-2】（2022•东莞市校级一模）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，﹣3），已知AB＝4，对称轴在y轴左侧．（1）求抛物线的表达式；（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3，设A（x1，0），B（x2，0），由题意得x2﹣x1＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，∴b2+12＝16，∴b＝±2，又∵对称轴在y轴左侧，∴b＝2，∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形．∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，∴y＝0时，x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），①若OA为边，∴AO∥MN，OA＝MN＝3，∵N在对称轴x＝﹣1上，∴点M的横坐标为2或﹣4，当x＝2时，y＝5，当x＝﹣4时，y＝5，∴M（2，5）或（﹣4，5）；②若OA为对角线时，∵A（﹣3，0），O（0，0），∴OA的中点的坐标为（﹣，0），∵N在直线x＝﹣1上，设M的横坐标为m，∴，∴m＝﹣2，把m＝﹣2代入抛物线解析式得y＝﹣3，∴M（﹣2，﹣3）．综上所述，M的坐标为（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；（3）∵B（1，0），C（0，﹣3），∴S△OBC＝，∴S△OBC＝S△PBC＝，设BC的解析式为y＝kx+n，∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3，过点O作OP∥BC交抛物线于P，则S△OBC＝S△PBC，直线OP的解析式为y＝3x，∴，解得，，∴P（，）或（，）．【变式2-3】（2022•百色一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），B（2，3）两点，抛物线的顶点为M．（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）若抛物线的对称轴与直线AB相交于点N，E为直线AB上的任意一点，过点E作EF∥y轴交抛物线于点F，以M，N，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：，解得，所以抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M的坐标为（1，4）．（2）能．设点E的横坐标为t，则点F的横坐标为t，当﹣1＜t＜2，由（2）得，EF＝（﹣t2+2t+3）﹣（t+1）＝﹣t2+t+2；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点M的坐标为（1，4），直线AB：y＝x+1，当x＝1时，y＝2，∴B（1，2），∴BD＝4﹣2＝2，∵EF∥MN，∴当EF＝MN＝2时，四边形MNEF是平行四边形，∴﹣t2+t+2＝2，解得t1＝0，t2＝1（不符合题意，舍去），直线y＝x+1，当x＝0时，y＝1，∴E（0，1）；当x＜﹣1或x＞2时，则EF＝（t+1）﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，∴t2﹣t﹣2＝2，解得t1＝，t2＝，直线y＝x+1，当x＝时，y＝；当x＝时，y＝，∴E（，），E′（，），综上所述，点E的坐标为（0，1）或（，）或′（，）．