2022-2023学年天津市重点大学附属学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市重点大学附属学校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列说法正确的是(    )

A. 向量与向量是相等向量
B. 与实数类似、对于两个向量，有，，三种关系
C. 两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D. 若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合

2.  在中，如果满足，则一定是(    )

A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形

3.  已知，，，则向量，的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  复数的共轭复数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若复数满足，则的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下面给出的命题中，正确的个数是(    )
一个棱柱至少有个面
平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

A.  B.  C.  D.

8.  如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长和面积分别为(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

9.  棱长为的正四面体的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10.  已知向量，，，若，则实数           ．

11.  在三角形中，角，，所对应的长分别为，，，若，，，则______．

12.  已知复数，则复数的模为      ；复数的虚部为      ．

13.  已知是虚数单位，化简的结果为______ ；的值为______ ．

14.  已知圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为的扇形，则该圆锥的高是______．

15.  在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为______．

三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知向量，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求及向量在向量上的投影向量的坐标；
Ⅲ若，求实数的值．

17.  本小题分
如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点设，．
用，表示，；
如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论．

18.  本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且面积．
求边；
求边并判断的形状．

19.  本小题分
已知复数，．
Ⅰ若是实数，求的值；
Ⅱ若是纯虚数，求的值；
Ⅲ若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．

20.  本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此不正确；
B.与实数不一样，对于两个向量不能比较大小，可以考虑相等或不相等，因此不正确；
C.两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或重合，因此不正确；
D.两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合，正确．
故选：．
利用向量的共线、相等、相反的意义即可判断出正误．
本题考查了向量的共线、相等、相反的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
则由正弦定理得，
可得，
可得，
因为，，可得，
则，
则为等腰三角形．
故选：．
利用正弦定理化边为角整理可得，即可得出结论
本题考查了正弦定理以及两角差的正弦公式在解三角形中的应用，考查学生的推理能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
又两向量夹角的范围是，
向量，的夹角为．
故选：．
根据两向量的夹角公式即可求解．
本题考查了两向量的夹角公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
则，
故选：．
利用复数的四则运算法则、模的计算公式即可得出结论．
本题考查了复数的四则运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
复数的共轭复数是．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
则，其虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查共轭复数和虚部的定义，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：三棱柱有个面组成，所以一个棱柱至少有个面，所以正确；
平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，满足平行六面体的结构特征，所以正确；
正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，满足正棱锥的定义，所以正确；
有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台，不满足棱台的定义，所以不正确．
故选：．
利用棱柱的结构特征判断；平行六面体的结构特征判断；正棱锥的特征判断；棱台的定义判断．
本题考查空间几何体的结构特征的判断，命题的真假的判断，是易错题，基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由直观图还原得到原图形，如图，

，，，
，原图形的周长为，
．
故选：．
由直观图还原出原图，在原图中打出对应线段的长度，能求出原平面图形的周长和面积．
本题考查原平面图形的周长和面积的求法，考查斜二测法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：棱长为的正四面体的四个面都是正三角形，且每个面的面积为，
正四面体的表面积为．
故选：．
正四面体的四个面都是正三角形，且每个面的面积为，由此即可求得答案．
本题考查正四面体的表面积求法，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量平行关系的坐标表示，考查运算求解能力等数学核心素养，属于基础题．
推导出，由，列方程能求出．

【解答】

解：向量，，，
，
，时不成立，所以，
，
解得．
故答案为：．

11.【答案】 

【解析】解：由余弦定理可知．
因为是三角形的边长，所以．
故答案为：．
由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出即可．
本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．
 

12.【答案】

【解析】解：复数，，
，
复数的虚部为，
故答案为：，．
根据复数的基本运算法则进行化简即可．
本题主要考查复数模长的计算，比较基础．
 

13.【答案】  

【解析】解：，
．
故答案为：；．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，设此圆锥的底面半径为，高为，母线为，

圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，
，，解得，
此圆锥的高为．
故答案为：．
设此圆锥的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理能求出圆锥的高．
本题考查圆锥的高的求法，考查圆锥的侧面开图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，长方体的体对角线为其外接球的直径，设外接球的半径为，
则，，
因此，该长方体的外接球的表面积为．
故答案为：．
算出长方体的体对角线长，即为外接球的直径，于是可得出外接球的半径的值，再利用球体的表面积公式可得出答案．
本题考查长方体外接球的表面积，解决本题的关键在于弄清楚体对角线即为外接球直径，考查计算能力，属于中等题．
 

16.【答案】解：，，
则，
故；
Ⅱ，，
则，
向量在向量上的投影向量的坐标为；
Ⅲ，
则，解得． 

【解析】Ⅰ根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解；
Ⅱ结合平面向量的数量积运算，以及投影向量的定义，即可求解；
Ⅲ根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．
 

17.【答案】解：，
，
，证明：由得，，，
，
，
． 

【解析】根据平面向量运算法则可得，
根据的表示形式计算即可解．
本题考查了平面向量的基本运算，属于中档题．
 

18.【答案】本小题满分分
解： ，
 --------------分
又 ，
----------------分
又，
，-----------------------------------------分
由余弦定理，-----分
得：，
故-----分
由知为直角三角形．-----------分 

【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式可求的值，又，即可解得，的值．
由余弦定理可求的值，由勾股定理即可得解为直角三角形．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

19.【答案】解：Ⅰ若是实数，
则，或，
则的值为或；
Ⅱ若是纯虚数，
则，，
则的值为；
Ⅲ若在复平面内对应的点在第四象限，
则，，
则的取值范围为． 

【解析】Ⅰ根据已知条件，结合实数的定义，即可求解；
Ⅱ根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解；
Ⅲ根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，实数，纯虚数的定义，属于基础题．
 

20.【答案】证明：Ⅰ在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
，
Ⅱ取的中点，连接，，
是的中点，
，，
又由Ⅰ可得，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
Ⅲ取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又由Ⅱ可得平面，，
平面平面，
是上的动点，平面，
平面，
线段存在点，使得平面． 

【解析】Ⅰ根据线面平行的性质定理即可证明；
Ⅱ取的中点，连接，，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；
Ⅲ取中点，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．
本题考查线面平行、线线平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．