2023湖北省部分高中联考协作体高二下学期期中数学试题含解析

2023年春季湖北省部分高中联考协作体期中考试

高二数学试卷

命题学校：天门市育贤学校    命题教师：张方印 王瑞霞   

审题学校：天门市岳口高级中学    审题教师：熊万枝

考试时间：2023年4月12日8：00-10：00    试卷满分：150分

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校､考号､班级､姓名等填写在答题卡上.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷､草稿纸上无效.

3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷､草稿纸上无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.

第I卷选择题（共60分）

一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知，则的值是（    ）

A.6    B.3    C.6或3    D.7

2.数列的一个通项公式是（    ）

A.    B.

C.    B.

3.将五名防接新冠肺炎疫情的志愿者随机分配到四个社区进行服务，则不同分配方法的种数是（    ）

A.1021    B.1022    C.1023    D.1024

4.已知函数，且，则的值为（    ）

A.1    B.3    C.    D.

5.函数的单调递增区间（    ）

A.    B.    C.    D.

6.点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知函数是定义在上的减函数，其导数满足，则下列结论中正确的是（    ）

A.当且仅当时，

B.当且仅当时，

C.恒成立

D.恒成立

8.南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的䟻积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高价等差数列，其前五项为，则该数列的第21项为（    ）

A.400    B.398    C.397    D.402

二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.（    ）

A.4    B.3    C.2    D.1

10.在50件产品中，有47件合格品，3个不合格，从这50件产品中任意抽取4件，则下列结论正确的有（    ）

A.抽取的4件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种

B.抽取的4种产品中至少有1件是不合格品的抽法有种

C.抽取的4件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种

D.抽取的4件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种

11.已知函数，下列命题正确的是（    ）

A.是函数的一个零点

B.函数的最大值为1

C.是函数的一个极值点

D.函数在处的切线的斜率为

12.已知数列满足，其中为数列的前项和，则下列四个结论中，正确的是（    ）

A.数列的通项公式为

B.数列为递减数列

C.

D.若对于任意的都有，则

第II卷非选择题（共90分）

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设公比为5的等比数列的前项和为，若，则__________.

14.已知的展开式的第3项和第6项的二项式系数相等，的展开式中的系数__________.

15.已知两个等差数列与的前项和分别是和：，则__________.

16.已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为__________.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步步骤）

17.（10分）从7名运动员中选4人参加米接力賽，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）

（1）甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒；

（2）若甲､乙两人都被选且不跑相邻两棒.

18.（12分）已知函数满足

（1）求的值；

（2）求这个函数在点处的切线方程.

19.（12分）王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，月利率为，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）.

（1）若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；

（2）若王先生采取等额本息的还贷方式.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据

20.（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为0.

（1）求函数的解析式；

（2）点是曲线上的任意一点，求点到直线的最短距离.

21.（12分）已知数列的首项，且.

（1）求证：是等比数列；

（2）若，当为何值时，数列的前项和取得最大值.

22.（12分）已知函数，其中.

（1）讨论的极值，当的极值为2时，求的值；

（2）证明：当时，；

（3）求证：.

高二数学答案

选择题

填空题

13.504    14.    15.10    16.

第I卷选择题（共60分）

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合

题目要求的.

1.【答案】C

【解析】因为，故或，即或.

2.【答案】C

【解析】数列前4项为，可知它的一个通项公式为.

3.【答案】D

【解析】每名防控新冠肺炎疫情的志愿者都有4种不同的选择方法，根据分布乘法计算原理可知，不同的选择方法共有（种）

4.【答案】D

【解析】因为，所以，则时，.

5.【答案】A

【解析】函数的定义域为，

求导可得，当时，得，即时，函数单调递增.

6.【答案】B

【解析】由可得，即，

当时，，当时，，

所以角的范围是.

7.【答案】C

【解析】因为，所以，

令在R上单调递增，而，

故，而，所以，又是定义在上的减函数，所以时，也恒成立，综上所述在上恒成立.

8.【答案】D

【解析】设该数列为，则由可知该数列逐项差数之差成等差数列，首相为1，公差为2，故，因此，由，上式相加，得，即，故.

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】AB

【解析】因为!，所以，当时成立；当时也成立.

10.【答案】BCD

【解析】抽取4件产品中没有不合格（全为合格品）的抽法，抽出产品中恰有1件不合格的抽法，抽取的4件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种，A错误，D正确；

抽出的4件产品中至少有1件不合格品有如下可能：

抽出产品中恰有1件不合格的抽法，

抽出产品中恰有2件不合格的抽法，

抽出产品中恰有3件不合格的抽法，

取的4件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，B正确；

这50件产品中任意抽取4件的抽法为，抽取4件产品中没有不合格（全为合格品）的抽法，故抽出的4件产品中至少有一件合格的抽法为正确.

11.【答案】ACD

【解析】因为，

时，，A正确；

，函数的最大值为错误；

时，C正确；

时，，D正确.

12.【答案】BC

【解析】由可得：当时，则，

当时，则，

两式相减得：，即，

也适合上式，综上所述：错误；

，当时恒成立，故，即数列为递减数列，B正确；

因为，

所以，C正确；

因为当时恒成立，故，

若对于任意得都有，则，D错误.

第II卷非选择题（共90分）

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】504

【解析】.

14.【答案】

【解析】因为的展开式的第3项和第6项的二项式系数相等，

所以，则，

因此的展开式中的系数.

15.【答案】10

【解析】

16.【答案】

【解析】由题意得，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

故，可知函数的图像如图所示：

令，则有三个不等实根就是有两个不等实根，令，则有两个不等实根，

，所以不妨令，解得，实数的取值范围.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.

17.【解析】

（1）若乙在第一棒，其余三棒共有选法

若乙不在第一棒，甲不在第一棒，则需选择一人跑第一棒，共有种选法，

乙不在最后一棒，则需选择一人跑最后一棒，共有种选法

其余两棒共有选法

甲不在第一棒，乙不在最后一棒共有种排法.

（2）除甲､乙外还需选择2人参加接力赛共有种选法

甲乙不跑相邻两棒，其余2人跑剩余两棒共有3种排法

甲､乙两人都被选且不跑相邻两棒共有种排法.

18.【解析】

（1）..

将代入上式，可得：，从而.

（2）

函数在点处的切线方程为

即

19.【解析】

由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列表示数列的前项和.

则，故.

故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000元.

（2）设王先生每月还货额为元，则有

.

即，

故.

因为，故王先生该笔贷款能够获批.

20.【解析】

（1）由函数得，，

所以.

又，所以.

函数的解析式为.

（2）由与直线

可知，即由判

别式

所以与直线相交

到直线的距离为0.

21.【解析】

（1）由，得.

而，故数列是以1为首项，为公比的等比数列.

（2）由（1）可知，.

则.

故当或9时，数列的前项和取得最大值，且最大值为72

22.【解析】

（1）

①若，则对任意的都有，

即函数在上单调递减，

函数在上无极值；

②若，由得，当时，；当时，

即函数在单调递减，在单调递增

函数在处有极小值，

.

（2）证明：当时，

令，则对任意的恒成立

函数在区间上单调递减.

当时，.

（3）对任意的

而.

.

.