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2023年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷(含答案)
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这是一份2023年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷(含答案)，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级抽取成绩的平均数等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．正数2的平方根可以表示为（ ）
A．22 B．± C． D．﹣
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．青 B．春 C．梦 D．想
3．下列计算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3 B．（﹣3a+b）（3a+b）＝9a2﹣b2
C．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（ ）
A．6﹣ B．4﹣ C．6﹣ D．6﹣
5．据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，14.12亿用科学记数法表示为（ ）
A．14.12×109 B．0.1412×1010
C．1.412×109 D．1.412×108
6．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2023，则k的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．用配方法解一元二次方程﹣3x2+12x﹣2＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初一级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如图．由图中信息可知，下列结论错误的是（ ）
A．选“责任”的有120人
B．本次调查的样本容量是600
C．选“感恩”的人数最多
D．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为64.8°
9．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为（ ）
A．29.5° B．31.5° C．58.5° D．63°
10．如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣1，4）
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的BD长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BE＝DE B．DE垂直平分线段AC
C．＝ D．BD2＝BC•BE
12．如图，在Rt△AOB中，，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）
13．计算：﹣2﹣|﹣|＝ ．
14．从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y＝，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是 ．
15．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 °．
16．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
17．如图，在第一象限内的直线l：y＝x上取点A1，使OA1＝1，以OA1为边作等边△OA1B1，交x轴于点B1；过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2；过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，以OA3为边作等边△OA3B3，交x轴于点B3；……，依次类推，则点A2022的横坐标为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．先化简，再求值：（a+1﹣）÷，其中a＝tan45°+（）﹣1﹣π0．
19．某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
（数据分成5组，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b：七年级抽取成绩在70≤x＜80这一组的是：
70，72，73，73，75，75，75，76，
77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七年级
76.5
m
八年级
78.2
79
请结合以上信息完成下列问题：
（1）七年级抽取成绩在60≤x＜90的人数是 ，并补全频数分布直方图；
（2）表中m的值为 ；
（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则 （填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
20．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
21．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
22．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
25．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CA＝4，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求过A，B，O三点的抛物线解析式；
（2）若在线段AB上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接MB，MA，求△MAB的面积的最大值；
（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O，A，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．
参考答案
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．正数2的平方根可以表示为（ ）
A．22 B．± C． D．﹣
【分析】利用平方根的定义即可求解．
解：∵（±）2＝2，
∴2的平方根为±，
故选：B．
【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是熟悉平方根的定义．
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．青 B．春 C．梦 D．想
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．
解：在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是：想，
故选：D．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3 B．（﹣3a+b）（3a+b）＝9a2﹣b2
C．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
【分析】根据合并同类项法则、平方差公式、多项式乘多项式法则及积的乘方与幂的乘方逐一计算即可．
解：A．3a2﹣a2＝2a2，此选项计算错误；
B．（﹣3a+b）（3a+b）＝b2﹣9a2，此选项计算错误；
C．（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，此选项计算错误；
D．（﹣2a2）3＝﹣8a6，此选项计算正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、平方差公式、多项式乘多项式法则及积的乘方与幂的乘方．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（ ）
A．6﹣ B．4﹣ C．6﹣ D．6﹣
【分析】根据矩形的性质得出∠B＝∠DAB＝90°，AD＝BC＝AE＝2，求出BE，再分别求出扇形EAD和矩形ABCD、△ABE的面积，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝BC＝4，
∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4，
∵AB＝2，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°，
∴BE＝AE＝2，
∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD
＝2×4﹣××2﹣
＝6﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出BE长和∠EAD的度数是解此题的关键．
5．据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，14.12亿用科学记数法表示为（ ）
A．14.12×109 B．0.1412×1010
C．1.412×109 D．1.412×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：14.12亿＝1412000000＝1.412×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2023，则k的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】用整体思想①+②，得6x+6y＝6k+6，等式两边都除以6，得x+y＝k+1，再根据x+y＝2023，从而计算出k的值．
解：，
①+②，得6x+6y＝6k+6，
∴x+y＝k+1，
∵x+y＝2023，
∴k+1＝2023，
∴k＝2022．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
7．用配方法解一元二次方程﹣3x2+12x﹣2＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】利用系数化1，移项，配方将一元二次方程转化为（x+a）2＝b，即可得解．
解：﹣3x2+12x﹣2＝0，
系数化1，得：，
移项，得：，
配方，得：，
即：；
∴；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键．
8．为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初一级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如图．由图中信息可知，下列结论错误的是（ ）
A．选“责任”的有120人
B．本次调查的样本容量是600
C．选“感恩”的人数最多
D．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为64.8°
【分析】根据条形统计图和扇形统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：本次调查的样本容量为：108÷18%＝600，选“责任”的有600×＝120（人），故选项A中的说法正确，不符合题意；B选项正确，不符合题意；
选“感恩”的人数为：600﹣132﹣600×（15%+18%）﹣120＝150，故选“感恩”的人数最多，故选项C中的说法正确，不符合题意；
扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为360°×＝79.2°，故选项D中的说法错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为（ ）
A．29.5° B．31.5° C．58.5° D．63°
【分析】根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB＝58.5°，
∴∠B＝90°﹣∠ADB＝31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝58.5°，
∵点A是的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE＝90°﹣∠BAC＝31.5°，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10．如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣1，4）
【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．
解：如图，
△A′B′C′即为所求，
则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的BD长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BE＝DE B．DE垂直平分线段AC
C．＝ D．BD2＝BC•BE
【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质结合①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断③的错误；利用相似三角形的判定与性质可以判断④的正确．
解：由题意得：AB＝AD，AP为∠BAC的平分线，
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AP为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，故A的结论正确；
∵△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，∠ADB＝60°，
∴∠DBE＝30°，
∵BE＝DE，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°，
∴∠ADE＝∠ADB+∠EDB＝90°，
∴DE⊥AC．
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB，
∵AB＝AD，
∴AD＝CD，
∴DE垂直平分线段AC，故B的结论正确；
∵∠EDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝（）2，
∵AD＝AB，
∴＝＝tan∠DAE＝tan30°＝，
∴＝（）2＝，
故C的结论错误；
∵∠BDE＝∠C，∠DBE＝∠CBD，
∴△BDE∽△BCD，
∴＝，
∵BE＝DE，
∴BD2＝BC•BE＝BC•DE，
故D的结论正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．如图，在Rt△AOB中，，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝，根据垂线段最短得到当OP⊥AB时，OP最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
解：连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当OP最小时，线段PQ的长度最小，
当OP⊥AB时，OP最小，
在Rt△AOB中，∠A＝30°，
∴OA＝＝＝6，
在Rt△AOP′中，∠A＝30°，
∴OP′＝OA＝3，
∴线段PQ长度的最小值＝＝2，
故选：A．
【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）
13．计算：﹣2﹣|﹣|＝ 12 ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：﹣2﹣|﹣|
＝3+9+﹣
＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y＝，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解：画树状图得：
则共有12种等可能的结果，
∵反比例函数y＝中，图象在二、四象限，
∴ab＜0，
∴有8种符合条件的结果，
∴P（图象在二、四象限）＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 120 °．
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π，
设圆心角的度数是n度．则＝4π，
解得：n＝120．
故答案为120．
【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 a≥1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得答案．
解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞2a，
解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，
∵不等式组无解，
∴2a≥2，
解得a≥1，
故答案为：a≥1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．如图，在第一象限内的直线l：y＝x上取点A1，使OA1＝1，以OA1为边作等边△OA1B1，交x轴于点B1；过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2；过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，以OA3为边作等边△OA3B3，交x轴于点B3；……，依次类推，则点A2022的横坐标为 22020 ．
【分析】根据一次函数图象上的坐标特征及等边三角形的性质，找出规律性即可求解．
解：∵OA1＝1，△OA1B1是等边三角形，
∴OB1＝OA1＝1，
∴A1的横坐标为，
∵OB1＝1，
∴A2的横坐标为1，
∵过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2，过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，
∴OB2＝2OB1＝2，
∴A3的横坐标为2，
∴依此类推：An的坐标为：（2n﹣2，2n﹣2），
∴A2022的横坐标为22020，
故答案为：22020．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，解题关键找出规律性即可得出答案．
三、解答题（本题共8个小题，共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．先化简，再求值：（a+1﹣）÷，其中a＝tan45°+（）﹣1﹣π0．
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂和零指数幂的运算求出a的值，代入进行计算即可；
解：原式＝
＝•
＝•
＝，
∵a＝tan45°+（）﹣1﹣π0
＝1+2﹣1
＝2，
∴当a＝2时，原式＝＝0．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
19．某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
（数据分成5组，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b：七年级抽取成绩在70≤x＜80这一组的是：
70，72，73，73，75，75，75，76，
77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七年级
76.5
m
八年级
78.2
79
请结合以上信息完成下列问题：
（1）七年级抽取成绩在60≤x＜90的人数是 38 ，并补全频数分布直方图；
（2）表中m的值为 77 ；
（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则 甲 （填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
【分析】（1）根据各组人数求出60≤x＜90的人数，并补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）根据该学生的成绩大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数，即可判断；
（4）用样本估计总体的思想解决问题．
解：（1）成绩在60≤x＜90的人数为12+16+10＝38，
故答案为：38；
（2）第25，26名学生的成绩分别为77，77，所以m＝＝77，
故答案为：77；
（3）∵78大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数．
∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
故答案为：甲；
（4）400×＝64（人），
即估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数为64．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
20．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
【分析】（1）由AAS证明△BCE≌△FDE即可；
（2）先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＝∠CBE，
∵E为CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
由（1）得：△BCE≌△FDE，
∴BC＝FD，BE＝FE，
∴FD＝AD，
∵GD＝DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB，
∵BE＝FE，
∴AE⊥FE，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFG是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△BCE≌△FDE是解题的关键．
21．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，由题意：用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，由题意得w＝﹣m+450，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2 （150﹣m），然后由一次函数的性质即可得出结论．
解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，
由题意得：，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，
则5×（1﹣20%）＝4，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，
由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 （150﹣m），
解得：m≥100，
∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，
则150﹣m＝50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）
【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC＝AM，AN＝MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
解：延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，如图所示：
则四边形AMCN是矩形，
∴NC＝AM，AN＝MC，
在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，
∵sin∠EDM＝，cos∠EDM＝，
∴EM＝ED×sin37°≈20×＝12（米），DM＝ED×cos37°≈20×＝16（米），
∴AN＝MC＝CD+DM＝74+16＝90（米），
在Rt△ANB中，∠BAN＝42.6°，
∵tan∠BAN＝，
∴BN＝AN×tan42.6°≈90×＝81（米），
∴BC＝BN+AE+EN＝81+3+12＝96（米），
答：大楼BC的高度约为96米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）把A，B两点的坐标代入y＝中可计算k和m的值，确定点B的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
（2）如图，设AB与x轴交于点D，证明CD⊥x轴于D，根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD即可求得．
解：（1）将A（2，﹣4），B（﹣4，m）两点代入y＝中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m，
解得，k＝﹣8，m＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
将A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得，
解得，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2；
（2）如图，设AB与x轴交于点D，连接CD，
由题意可知，点A与点C关于原点对称，
∴C（﹣2，4）．
在y＝﹣x﹣2中，当x＝﹣2时，y＝0，
∴D（﹣2，0），
∴CD垂直x轴于点D，
∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
【分析】（1）连接OD，由∠BAC是直径所对的圆周角，可知∠BAC＝90°，再由AD是∠BAC的平分线，可得∠BAD＝45°，根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，可得∠BOD＝90°，再由切线DP⊥OD，可证DP∥BC；
（2）由（1）DP∥BC，得∠ACB＝∠P，再由同弧所对圆周角相等，得∠ACB＝∠ADB，进而得到∠P＝∠ADB，又由∠ODC＝45°，∠CDP＝45°，即可证明△ABD∽△DCP；
（3）由已知可求BC＝13cm，在Rt△COD中，CD＝，在Rt△BOD中，BD＝，再由△ABD∽△DCP，可得＝，即可求CP＝．
解：（1）连接OD，
∵DP是⊙O的切线，
∴DO⊥DP，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴OD⊥BC，
∴DP∥BC；
（2）∵DP∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴△ABD∽△DCP；
（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，
∴BC＝13cm，
在Rt△COD中，CD＝，
在Rt△BOD中，BD＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴＝，
∴＝，
∴CP＝．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握切线的性质，能够灵活运用同弧所对的圆周角与圆心角的关系，准确找到角之间的等量关系是解题的关键．
25．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CA＝4，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求过A，B，O三点的抛物线解析式；
（2）若在线段AB上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接MB，MA，求△MAB的面积的最大值；
（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O，A，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．
【分析】（1）先通过勾股定理求出AB的长，再通过证△AHO∽△ACB，分别求出点A，B的坐标，将其代入y＝ax2+bx即可；
（2）求出线直AB的解析式，可设P（x，﹣x+），则M（x，x2﹣x），用含x的代数式表示出△MAB的面积，通过二次函数的图象及性质可求出其最大值；
（3）先求出抛物线的对称轴，分情况讨论：①如图3﹣1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，利用平行四边形的性质可求出点E的横坐标，即可写出点E坐标；②如图3﹣2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，则点E在抛物线顶点处，直接求出抛物线顶点坐标即可．
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
由翻折知，△BCO≌△BHO，
∴BH＝BC＝3，
∴AH＝AB﹣BH＝2，
∵∠HAO＝∠CAB，∠OHA＝∠BCA＝90°，
∴△AHO∽△ACB，
∴＝，
即＝，
∴AO＝，
∴A（，0），B（﹣，3），
∵抛物线经过原点O，
∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
将点A（，0），B（﹣，3）代入，
得，
解得，，
∴过A，B，O三点的抛物线解析式为y＝x2﹣x；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将点A（，0），B（﹣，3）代入，
得，
解得
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，
∴可设P（x，﹣x+），则M（x，x2﹣x），
∴PM＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2+x+，
∴S△MAB＝PM（xA﹣xB）
＝（﹣x2+x+）×4
＝﹣x2+x+
＝﹣（x﹣）2+4，
∴当x＝时，△MAB的面积取最大值4；
（3）在y＝x2﹣x中，
对称轴为x＝，
①如图3﹣1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，
∵OA＝，
∴EF＝，
∵xF＝，
∴xE＝±＝或﹣，
当xE＝或﹣，时yE＝，
∴点E的坐标为（，）或（﹣，）；
②如图3﹣2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，
则点E在抛物线顶点处，
∵当x＝时，y＝﹣，
∴点E的坐标为（，﹣），
综上所述，点E的坐标为（，）或（﹣，）或（，﹣）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，平行四边形的性质等，解题关键是能够结合抛物线与平行四边形的性质求点的存在性．
2023年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．正数2的平方根可以表示为（ ）
A．22 B．± C． D．﹣
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．青 B．春 C．梦 D．想
3．下列计算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3 B．（﹣3a+b）（3a+b）＝9a2﹣b2
C．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（ ）
A．6﹣ B．4﹣ C．6﹣ D．6﹣
5．据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，14.12亿用科学记数法表示为（ ）
A．14.12×109 B．0.1412×1010
C．1.412×109 D．1.412×108
6．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2023，则k的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．用配方法解一元二次方程﹣3x2+12x﹣2＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初一级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如图．由图中信息可知，下列结论错误的是（ ）
A．选“责任”的有120人
B．本次调查的样本容量是600
C．选“感恩”的人数最多
D．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为64.8°
9．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为（ ）
A．29.5° B．31.5° C．58.5° D．63°
10．如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣1，4）
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的BD长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BE＝DE B．DE垂直平分线段AC
C．＝ D．BD2＝BC•BE
12．如图，在Rt△AOB中，，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）
13．计算：﹣2﹣|﹣|＝ ．
14．从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y＝，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是 ．
15．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 °．
16．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
17．如图，在第一象限内的直线l：y＝x上取点A1，使OA1＝1，以OA1为边作等边△OA1B1，交x轴于点B1；过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2；过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，以OA3为边作等边△OA3B3，交x轴于点B3；……，依次类推，则点A2022的横坐标为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．先化简，再求值：（a+1﹣）÷，其中a＝tan45°+（）﹣1﹣π0．
19．某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
（数据分成5组，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b：七年级抽取成绩在70≤x＜80这一组的是：
70，72，73，73，75，75，75，76，
77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七年级
76.5
m
八年级
78.2
79
请结合以上信息完成下列问题：
（1）七年级抽取成绩在60≤x＜90的人数是 ，并补全频数分布直方图；
（2）表中m的值为 ；
（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则 （填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
20．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
21．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
22．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
25．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CA＝4，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求过A，B，O三点的抛物线解析式；
（2）若在线段AB上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接MB，MA，求△MAB的面积的最大值；
（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O，A，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．
参考答案
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．正数2的平方根可以表示为（ ）
A．22 B．± C． D．﹣
【分析】利用平方根的定义即可求解．
解：∵（±）2＝2，
∴2的平方根为±，
故选：B．
【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是熟悉平方根的定义．
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．青 B．春 C．梦 D．想
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．
解：在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是：想，
故选：D．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3 B．（﹣3a+b）（3a+b）＝9a2﹣b2
C．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
【分析】根据合并同类项法则、平方差公式、多项式乘多项式法则及积的乘方与幂的乘方逐一计算即可．
解：A．3a2﹣a2＝2a2，此选项计算错误；
B．（﹣3a+b）（3a+b）＝b2﹣9a2，此选项计算错误；
C．（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，此选项计算错误；
D．（﹣2a2）3＝﹣8a6，此选项计算正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、平方差公式、多项式乘多项式法则及积的乘方与幂的乘方．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（ ）
A．6﹣ B．4﹣ C．6﹣ D．6﹣
【分析】根据矩形的性质得出∠B＝∠DAB＝90°，AD＝BC＝AE＝2，求出BE，再分别求出扇形EAD和矩形ABCD、△ABE的面积，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝BC＝4，
∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4，
∵AB＝2，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°，
∴BE＝AE＝2，
∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD
＝2×4﹣××2﹣
＝6﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出BE长和∠EAD的度数是解此题的关键．
5．据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，14.12亿用科学记数法表示为（ ）
A．14.12×109 B．0.1412×1010
C．1.412×109 D．1.412×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：14.12亿＝1412000000＝1.412×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2023，则k的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】用整体思想①+②，得6x+6y＝6k+6，等式两边都除以6，得x+y＝k+1，再根据x+y＝2023，从而计算出k的值．
解：，
①+②，得6x+6y＝6k+6，
∴x+y＝k+1，
∵x+y＝2023，
∴k+1＝2023，
∴k＝2022．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
7．用配方法解一元二次方程﹣3x2+12x﹣2＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】利用系数化1，移项，配方将一元二次方程转化为（x+a）2＝b，即可得解．
解：﹣3x2+12x﹣2＝0，
系数化1，得：，
移项，得：，
配方，得：，
即：；
∴；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键．
8．为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初一级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如图．由图中信息可知，下列结论错误的是（ ）
A．选“责任”的有120人
B．本次调查的样本容量是600
C．选“感恩”的人数最多
D．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为64.8°
【分析】根据条形统计图和扇形统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：本次调查的样本容量为：108÷18%＝600，选“责任”的有600×＝120（人），故选项A中的说法正确，不符合题意；B选项正确，不符合题意；
选“感恩”的人数为：600﹣132﹣600×（15%+18%）﹣120＝150，故选“感恩”的人数最多，故选项C中的说法正确，不符合题意；
扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为360°×＝79.2°，故选项D中的说法错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为（ ）
A．29.5° B．31.5° C．58.5° D．63°
【分析】根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB＝58.5°，
∴∠B＝90°﹣∠ADB＝31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝58.5°，
∵点A是的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE＝90°﹣∠BAC＝31.5°，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10．如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣1，4）
【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．
解：如图，
△A′B′C′即为所求，
则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的BD长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BE＝DE B．DE垂直平分线段AC
C．＝ D．BD2＝BC•BE
【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质结合①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断③的错误；利用相似三角形的判定与性质可以判断④的正确．
解：由题意得：AB＝AD，AP为∠BAC的平分线，
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AP为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，故A的结论正确；
∵△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，∠ADB＝60°，
∴∠DBE＝30°，
∵BE＝DE，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°，
∴∠ADE＝∠ADB+∠EDB＝90°，
∴DE⊥AC．
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB，
∵AB＝AD，
∴AD＝CD，
∴DE垂直平分线段AC，故B的结论正确；
∵∠EDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝（）2，
∵AD＝AB，
∴＝＝tan∠DAE＝tan30°＝，
∴＝（）2＝，
故C的结论错误；
∵∠BDE＝∠C，∠DBE＝∠CBD，
∴△BDE∽△BCD，
∴＝，
∵BE＝DE，
∴BD2＝BC•BE＝BC•DE，
故D的结论正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．如图，在Rt△AOB中，，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝，根据垂线段最短得到当OP⊥AB时，OP最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
解：连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当OP最小时，线段PQ的长度最小，
当OP⊥AB时，OP最小，
在Rt△AOB中，∠A＝30°，
∴OA＝＝＝6，
在Rt△AOP′中，∠A＝30°，
∴OP′＝OA＝3，
∴线段PQ长度的最小值＝＝2，
故选：A．
【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）
13．计算：﹣2﹣|﹣|＝ 12 ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：﹣2﹣|﹣|
＝3+9+﹣
＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y＝，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解：画树状图得：
则共有12种等可能的结果，
∵反比例函数y＝中，图象在二、四象限，
∴ab＜0，
∴有8种符合条件的结果，
∴P（图象在二、四象限）＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 120 °．
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π，
设圆心角的度数是n度．则＝4π，
解得：n＝120．
故答案为120．
【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 a≥1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得答案．
解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞2a，
解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，
∵不等式组无解，
∴2a≥2，
解得a≥1，
故答案为：a≥1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．如图，在第一象限内的直线l：y＝x上取点A1，使OA1＝1，以OA1为边作等边△OA1B1，交x轴于点B1；过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2；过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，以OA3为边作等边△OA3B3，交x轴于点B3；……，依次类推，则点A2022的横坐标为 22020 ．
【分析】根据一次函数图象上的坐标特征及等边三角形的性质，找出规律性即可求解．
解：∵OA1＝1，△OA1B1是等边三角形，
∴OB1＝OA1＝1，
∴A1的横坐标为，
∵OB1＝1，
∴A2的横坐标为1，
∵过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2，过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，
∴OB2＝2OB1＝2，
∴A3的横坐标为2，
∴依此类推：An的坐标为：（2n﹣2，2n﹣2），
∴A2022的横坐标为22020，
故答案为：22020．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，解题关键找出规律性即可得出答案．
三、解答题（本题共8个小题，共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．先化简，再求值：（a+1﹣）÷，其中a＝tan45°+（）﹣1﹣π0．
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂和零指数幂的运算求出a的值，代入进行计算即可；
解：原式＝
＝•
＝•
＝，
∵a＝tan45°+（）﹣1﹣π0
＝1+2﹣1
＝2，
∴当a＝2时，原式＝＝0．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
19．某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
（数据分成5组，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b：七年级抽取成绩在70≤x＜80这一组的是：
70，72，73，73，75，75，75，76，
77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七年级
76.5
m
八年级
78.2
79
请结合以上信息完成下列问题：
（1）七年级抽取成绩在60≤x＜90的人数是 38 ，并补全频数分布直方图；
（2）表中m的值为 77 ；
（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则 甲 （填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
【分析】（1）根据各组人数求出60≤x＜90的人数，并补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）根据该学生的成绩大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数，即可判断；
（4）用样本估计总体的思想解决问题．
解：（1）成绩在60≤x＜90的人数为12+16+10＝38，
故答案为：38；
（2）第25，26名学生的成绩分别为77，77，所以m＝＝77，
故答案为：77；
（3）∵78大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数．
∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
故答案为：甲；
（4）400×＝64（人），
即估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数为64．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
20．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
【分析】（1）由AAS证明△BCE≌△FDE即可；
（2）先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＝∠CBE，
∵E为CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
由（1）得：△BCE≌△FDE，
∴BC＝FD，BE＝FE，
∴FD＝AD，
∵GD＝DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB，
∵BE＝FE，
∴AE⊥FE，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFG是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△BCE≌△FDE是解题的关键．
21．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，由题意：用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，由题意得w＝﹣m+450，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2 （150﹣m），然后由一次函数的性质即可得出结论．
解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，
由题意得：，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，
则5×（1﹣20%）＝4，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，
由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 （150﹣m），
解得：m≥100，
∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，
则150﹣m＝50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）
【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC＝AM，AN＝MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
解：延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，如图所示：
则四边形AMCN是矩形，
∴NC＝AM，AN＝MC，
在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，
∵sin∠EDM＝，cos∠EDM＝，
∴EM＝ED×sin37°≈20×＝12（米），DM＝ED×cos37°≈20×＝16（米），
∴AN＝MC＝CD+DM＝74+16＝90（米），
在Rt△ANB中，∠BAN＝42.6°，
∵tan∠BAN＝，
∴BN＝AN×tan42.6°≈90×＝81（米），
∴BC＝BN+AE+EN＝81+3+12＝96（米），
答：大楼BC的高度约为96米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）把A，B两点的坐标代入y＝中可计算k和m的值，确定点B的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
（2）如图，设AB与x轴交于点D，证明CD⊥x轴于D，根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD即可求得．
解：（1）将A（2，﹣4），B（﹣4，m）两点代入y＝中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m，
解得，k＝﹣8，m＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
将A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得，
解得，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2；
（2）如图，设AB与x轴交于点D，连接CD，
由题意可知，点A与点C关于原点对称，
∴C（﹣2，4）．
在y＝﹣x﹣2中，当x＝﹣2时，y＝0，
∴D（﹣2，0），
∴CD垂直x轴于点D，
∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
【分析】（1）连接OD，由∠BAC是直径所对的圆周角，可知∠BAC＝90°，再由AD是∠BAC的平分线，可得∠BAD＝45°，根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，可得∠BOD＝90°，再由切线DP⊥OD，可证DP∥BC；
（2）由（1）DP∥BC，得∠ACB＝∠P，再由同弧所对圆周角相等，得∠ACB＝∠ADB，进而得到∠P＝∠ADB，又由∠ODC＝45°，∠CDP＝45°，即可证明△ABD∽△DCP；
（3）由已知可求BC＝13cm，在Rt△COD中，CD＝，在Rt△BOD中，BD＝，再由△ABD∽△DCP，可得＝，即可求CP＝．
解：（1）连接OD，
∵DP是⊙O的切线，
∴DO⊥DP，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴OD⊥BC，
∴DP∥BC；
（2）∵DP∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴△ABD∽△DCP；
（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，
∴BC＝13cm，
在Rt△COD中，CD＝，
在Rt△BOD中，BD＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴＝，
∴＝，
∴CP＝．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握切线的性质，能够灵活运用同弧所对的圆周角与圆心角的关系，准确找到角之间的等量关系是解题的关键．
25．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CA＝4，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求过A，B，O三点的抛物线解析式；
（2）若在线段AB上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接MB，MA，求△MAB的面积的最大值；
（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O，A，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．
【分析】（1）先通过勾股定理求出AB的长，再通过证△AHO∽△ACB，分别求出点A，B的坐标，将其代入y＝ax2+bx即可；
（2）求出线直AB的解析式，可设P（x，﹣x+），则M（x，x2﹣x），用含x的代数式表示出△MAB的面积，通过二次函数的图象及性质可求出其最大值；
（3）先求出抛物线的对称轴，分情况讨论：①如图3﹣1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，利用平行四边形的性质可求出点E的横坐标，即可写出点E坐标；②如图3﹣2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，则点E在抛物线顶点处，直接求出抛物线顶点坐标即可．
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
由翻折知，△BCO≌△BHO，
∴BH＝BC＝3，
∴AH＝AB﹣BH＝2，
∵∠HAO＝∠CAB，∠OHA＝∠BCA＝90°，
∴△AHO∽△ACB，
∴＝，
即＝，
∴AO＝，
∴A（，0），B（﹣，3），
∵抛物线经过原点O，
∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
将点A（，0），B（﹣，3）代入，
得，
解得，，
∴过A，B，O三点的抛物线解析式为y＝x2﹣x；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将点A（，0），B（﹣，3）代入，
得，
解得
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，
∴可设P（x，﹣x+），则M（x，x2﹣x），
∴PM＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2+x+，
∴S△MAB＝PM（xA﹣xB）
＝（﹣x2+x+）×4
＝﹣x2+x+
＝﹣（x﹣）2+4，
∴当x＝时，△MAB的面积取最大值4；
（3）在y＝x2﹣x中，
对称轴为x＝，
①如图3﹣1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，
∵OA＝，
∴EF＝，
∵xF＝，
∴xE＝±＝或﹣，
当xE＝或﹣，时yE＝，
∴点E的坐标为（，）或（﹣，）；
②如图3﹣2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，
则点E在抛物线顶点处，
∵当x＝时，y＝﹣，
∴点E的坐标为（，﹣），
综上所述，点E的坐标为（，）或（﹣，）或（，﹣）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，平行四边形的性质等，解题关键是能够结合抛物线与平行四边形的性质求点的存在性．
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