8.3.2双曲线（针对练习）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第八章 平面解析几何
8.3.2双曲线（针对练习）
针对练习
针对练习一 双曲线的定义及辨析
1．已知定点，且，动点满足，则点的轨迹为（    ）
A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线
【答案】B
【分析】由双曲线定义可直接得到结果.
【详解】，点轨迹是以为焦点的双曲线的一支.
故选：B.
2．已知，则动点的轨迹是（　）
A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支
【答案】A
【分析】根据可得动点的轨迹.
【详解】因为，故动点的轨迹是一条射线，
其方程为：，故选A.
【点睛】利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹时，要注意定义中规定的条件，如双曲线的定义中，要求动点到两个定点的距离的差的绝对值为常数且小于两个定点之间的距离并且两个定点及动点是在同一个平面中.
3．若双曲线左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（   ）
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B
【分析】由双曲线的定义运算即可得解.
【详解】由双曲线的定义得，即，
因为，所以.
故选：B.
4．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线方程确定的值，从而求出，再利用双曲线的定义求解得答案.
【详解】在双曲线中，，，,
∵，∴，
又，∴,
故选:A
5．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（    ）
A．19 B．25 C．37 D．85
【答案】B
【分析】设，可表示，利用基本不等式计算即可.
【详解】由题意，双曲线焦点坐标为，
设，且，则，


当且仅当即时等号成立，
所以最小值为25，
故选：B.

针对练习二 双曲线中的焦点三角形
6．已知，分别为双曲线的左右焦点，过作一条直线l与双曲线的右支交于P，Q两点，若，则的周长为（    ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义可算出答案.
【详解】由双曲线定义得，，
则，得，则的周长为，
故选：C.
7．已知双曲线方程为，双曲线两焦点为，，过作直线交双曲线的一支于、两点，且，则的周长为（    ）
A．3 B．24 C． D．
【答案】C
【分析】先由方程可得的值，再利用双曲线的定义和性质，求出的周长.
【详解】由双曲线方程，得，
由双曲线的定义知：，，
即，又，
所以的周长.
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义和性质的应用，属于基础题.
8．已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（    ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【分析】由双曲线的定义可得，平方化简结合已知条件可得，再利用余弦定理可求得，从而可求出三角形的面积
【详解】因为P是双曲线左支上的点，所以，
两边平方得，
所以.
在中，由余弦定理得，
所以，所以.
故选：C
9．已知双曲线：的离心率为2，左、右焦点分别为，，点A在双曲线上，若的周长为10，则的面积为（    ）
A． B． C．15 D．30
【答案】A
【分析】根据离心率，可求得，即可得双曲线方程，不妨设A在双曲线的右支上，根据双曲线定义，可得，根据题意，可得，即可求得，即可求得答案.
【详解】由题意得，所以，
所以双曲线方程为，
不妨设A在双曲线的右支上，由双曲线定义可得①，
又的周长为，且，
所以②，
①②联立，解得，
所以的面积为.
故选：A
10．设，是双曲线的左、右焦点，一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且，则的面积等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据渐近线方程可求得，由双曲线定义可求得，由勾股定理知，由此可求得所求面积.
【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：，又一条渐近线方程为，，
由双曲线定义知：，
解得：，，又，
，，
.
故选：A.

针对练习三 双曲线上的点到焦点与定点距离的和、差最值
11．是双曲线右支上一点，是其右焦点，点，则的最小值是
A．3 B．6 C．16 D．19
【答案】A
【详解】根据题意，设双曲线的左焦点为M，
∵ 双曲线的方程为
∴，，
∵ P是双曲线的右支上一点
∴ ，则，当、、三点共线，即在轴上时，等号成立
故选A
12．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为
A．9 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【解析】根据渐近线方程求出双曲线方程，根据定义可将问题转化为求解的最小值，由位置关系可知当与圆心共线时取最小值.
【详解】由渐近线方程可知            
设双曲线右焦点为
由双曲线定义可知：
则
则只需求的最小值即可得到的最小值
设圆的圆心为，半径
则

本题正确选项：
【点睛】本题考查双曲线中的最值问题，关键是能够利用双曲线的定义将问题进行转化，再根据圆外点到圆上点的距离的最值的求解方法得到所求最值.
13．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点，在轴上，中心在原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先画出图像，再结合双曲线第一定义，三角形三边关系，当点为与双曲线的交点时，取到最小值
【详解】如图，由双曲线第一定义得①，
又由三角形三边关系可得②（当点为与双曲线的交点时取到等号），①+②得：，故，
由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8可得，，则，，，
则

故选：D
【点睛】本题考查利用双曲线第一定义求解到两定点之间距离问题，数形结合与转化思想，属于中档题
14．双曲线：的离心率为，点是的下焦点，若点为上支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】由离心率可得，即知渐近线为，若上焦点为，结合双曲线定义，将问题转化为求最小，若应用数形结合思想判断的位置关系求最值.
【详解】由题设，，可得，则双曲线渐近线方程为，
若上焦点为，则，故，
所以，如下图示：，

所以，要使最小，只需共线，即一条渐近线，
而到渐近线的距离为，故.
故选：B
15．点是双曲线的右支上的一点，是圆上的一点，点的坐标为，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆外一点到圆上一点的最大值是这点到到圆心的距离与其半径的和，
以及双曲线的定义即可得解.
【详解】设圆圆心为,
则.
故选：D.

针对练习四 根据方程表示双曲线求参数的范围
16．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（    ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】求得方程表示双曲线的充要条件，从而确定正确答案.
【详解】由于方程表示双曲线，，
所以，解得，
所以在ABCD四个选项中，
方程表示双曲线的一个充分不必要条件是.
故选：B
17．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是
A． B． C．或 D．以上答案均不对
【答案】A
【分析】由于方程表示双曲线，故两个分母是同号的，由此列不等式，求得的范围.
【详解】由于方程表示双曲线，属于，解得，故选A.
【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查了一元二次不等式的解法.属于基础题.
18．方程表示双曲线的必要条件是（    ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】根据双曲线的方程，可得结果.
【详解】由，
得
方程
表示双曲线的充要条件是，
即，知正确，
故选：
【点睛】本题主要考查双曲线的方程，属基础题.
19．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】的分母为正，的分母为负．
【详解】焦点在x轴上．则，解得．
故选A．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，在方程中，若，则其是双曲线方程．
20．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由条件可得，即可得到答案.
【详解】方程表示焦点在y轴上的双曲线
所以 ，即
故选：B

针对练习五 双曲线的标准方程
21．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
22．已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知焦距为4，得出，又由双曲线方程求出渐近线方程，而直线与渐近线垂直，得出它们斜率之积为 ，从而得出、之间的关系，代入，解出、，写出方程即可.
【详解】由已知焦距为4，所以 ，，又双曲线方程的渐近线方程为：，而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由 解得 ，所以双曲线方程为：
故选：C.
23．已知，分别是双曲线的左右焦点，点B为C的左顶点，动点A在C上，当时，，且，则C的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据双曲线的定义求出，然后根据直角三角形建立方程求出，根据双曲线的系数关系即可求得方程.
【详解】解：由题意得：

，
又

又
在直角三角形中，由勾股定理得
于是，解得：
故可知：（舍去）或
又由可知：
所以C的方程为
故选：D

24．已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，若右焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得双曲线C的渐近线方程，根据其与直线l垂直，可得a，b的关系，根据点到直线的距离公式，可求得b值，即可得a值，进而可得答案.
【详解】根据题意得：双曲线C的渐近线方程为，
因为其一条渐近线与直线l：垂直，所以
解得，即a=2b，
又右焦点到渐近线的距离为2，则，解得b=2，则a=4，
所以双曲线的方程为，
故选：A．
25．已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出双曲线的方程，根据离心率可得，根据题意求出点M、N的坐标，进而求得，结合三角形的面积公式化简计算即可求出a，b.
【详解】设双曲线的方程为，则，
由离心率为2，得，则，
因为直线l过点且垂直于x轴交E于点M、N，
所以点M、N的横坐标都为-c，有，解得，
所以，所以，
又，则
，
所以，故，得，
所以双曲线的方程为：.
故选：A

针对练习六 双曲线的轨迹方程
26．动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据圆与圆的位置关系，进而结合双曲线的定义即可求得答案.
【详解】设动圆M的半径为r，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为动圆M与圆和圆均外切，所以，，所以，所以点M的轨迹是以点，为焦点的双曲线的右支．，，，所以.所以动圆圆心M的轨迹方程为．
故选：A．
27．已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据动圆与圆与圆的位置关系，确定，所以为定值，故判断动点满足双曲线一支的定义，确定双曲线方程.
【详解】设动圆的半径为，又圆与圆的半径均为，
则由已知得，
所以.
又点，
则，所以，
根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支.
因为，
所以，
于是点的轨迹方程为.
故选：B.
28．设是圆上一动点，点的坐标为，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用线段垂直平分线的性质，构造出双曲线的定义是本题的关键.
【详解】
连接NQ，由线段的垂直平分线交直线于点，可知

是圆上一动点，
故
，，，
点的轨迹为以P、Q为焦点的双曲线，
，，，
点的轨迹方程为．
故选：D
29．在平面直角坐标系中，已知圆，点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析可知点的轨迹是以、为焦点的双曲线，计算出、的值，即可得出点的轨迹方程.
【详解】圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得，
当点在圆的右半圆上时，，

当点在圆的左半圆上时，
，

所以，点的轨迹是以、为焦点的双曲线，且，，
所以，，，，
因此，点的轨迹方程为.
故选：A.
30．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（    ）
A．（） B．（）
C． D．
【答案】D
【分析】结合圆相切时满足的条件以及双曲线的定义即可求出结果.
【详解】设动圆的半径为，由题意知，圆的圆心坐标为，半径为4．动圆与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以，
所以，即动点到两定点的距离之差为常数4，所以点在以，为焦点的双曲线上，所以，，所以，所以动圆的轨迹方程是．
故选：D.

针对练习七 双曲线的渐近线
31．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得，即可求出、，再根据，即可求出，从而求出双曲线方程，最后求出渐近线方程；
【详解】解：依题意，所以，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为；
故选：C
32．设是双曲线的左､右焦点.若双曲线C上存在点P满足且，则双曲线C的渐近线方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义得出的关系，求得后可得渐近线方程．
【详解】由得，又，
所以，，
又，则，，，，
渐近线方程为，即．
故选：B．
33．设A，F分别是双曲线C：的一个顶点和焦点，过A，F分别作C的一条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则C的渐近线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式求得，结合求得，进而求得正确答案.
【详解】不妨设，一条渐近线方程为，
，
依题意，即，
由于，即，所以.
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A
34．与双曲线渐近线相同且经过点的双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】和题干双曲线共渐近线的方程为，再代入已知点得到，进而得到结果.
【详解】与双曲线渐近线相同的双曲线方程设为，
将代入上式有，故双曲线的标准方程为，
故选：C.
35．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可的解.
【详解】解：设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，
代入点，得，解得，
所以所求双曲线方程为.
故选：B.

针对练习八 双曲线的离心率
36．已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线左支的一个交点为P，若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，结合等腰三角形的性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】设双曲线的右焦点为，由题意得，直线l的倾斜角为，且经过双曲线的左焦点，当点P位于第三象限时，，又，连接，此时为正三角形，不符合题意，则点P位于第二象限，故，连接，由双曲线的定义知，
为等腰三角形，，
．
故选：A．
37．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限的交点为A，直线与C的左支交于点B，且．设C的离心率为e，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义：、以及，结合图形整理可得，在根据代入求解．
【详解】由双曲线定义可知
∵，
∴，
又∵，则
∵A在以为直径的圆上，则
∴，
由，得，
故．
故选：D．

38．已知为双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于两点，若为等边三角形，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性可知，由此可得，，由双曲线定义可得关于的齐次方程，由此可求得离心率.
【详解】

双曲线与以为直径的圆均关于轴对称，为等边三角形，
，又，，；
由双曲线定义知：，即，
双曲线离心率.
故选：D
39．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求焦点到渐近线的距离，然后结合已知由勾股定理构造几何量齐次式，整理可得.
【详解】双曲线的一条渐近线为，即
过F作渐近线的垂线，垂足为B
则右焦点到渐近线的距离
由题可知
由勾股定理得，，所以
即，得
故选：A

40．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为坐标原点，若为的中点，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设是双曲线的右焦点，根据中位线的性质得，，利用双曲线定义得，在中应用勾股定理可得的关系，即可求得离心率．
【详解】是中点，设是双曲线的右焦点，如图，
则，．所以，
由双曲线定义知，所以，从而，
因为是圆切线，所以，
所以，所以．
故选：B．


针对练习九 双曲线的离心率的取值范围
41．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与圆没有交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线与圆没有交点，则有求解.
【详解】因为双曲线的渐近线与圆没有交点，
所以，
解得，
又因为，
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
42．设双曲线：的一条渐近线与抛物线的一个交点的横坐标为，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，求得两曲线的交点坐标，根据，求得之间的不等关系，即可求得结果.
【详解】不妨设交点为，故可得，不妨取，
又因为点在渐近线上，故可得
整理可得，由，可得，
故，又因为，
故可得.
故选：A.
【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，涉及抛物线方程，属综合基础题.
43．已知，分别是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出点的坐标，根据向量数量积的正负，求得的关系式，结合离心率求解公式，即可容易求得.
【详解】不妨设过点与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为，
与另一条渐近线的交点为，
由是，
即有，又因为，
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属基础题.
44．斜率为2的直线过双曲线的左焦点，且与双曲线的左、右支分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据几何关系，求得的关系，即可求得离心率范围.
【详解】要满足题意，只需，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，列出不等式关系是解题重点，属基础题.
45．若双曲线的两个焦点为为双曲线上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由双曲型定义得，再加上条件得，又，可得不等式，进而可求出的取值范围.
【详解】设分别是左右焦点，则点为右支上一点，如图.
依据双曲线定义知，
则，
则，
所以，
∴，
又，
则.
故选:B.

【点睛】本题考查双曲线的定义以及离心率范围的求解，关注双曲线中的一些恒定的不等关系，在解决范围问题时可起到很大作用.