知识点01 规律猜想型问题

这是一份知识点01 规律猜想型问题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

知识点01 规律猜想型问题
一、选择题
4．（2020·重庆A卷）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．21

{答案}B{解析}本题考查了图形规律的探索，观察图形可知，第①个图案黑色三角形个数为1，第②个图案黑色三角形个数为3=1+2，第③个图案黑色三角形个数为6=1+2+3,…，按此规律可知第⑤个图案黑色三角形个数为1+2+3+4+5=15．
11．（2020·聊城）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图表示，那么图中的白色小正方形地砖的块数是（　　）
…
①②③

A．150 B．200 C．355 D．505
{答案}C
{解析} 该类规律猜想题可从图形规律、数字规律或函数等角度分析求解．
方法1：根据图形规律可知，白色小正方形地砖的块数分别为：
① 5×3－3×1；
② 5×5－3×2；
③ 5×7－3×3；
…
则图有白色小正方形地砖的块数是5(2n＋1)－3n＝7n＋5，图中的白色小正方形地砖的块数是7×50＋5＝355．
方法2：从数字规律考虑，图①、②、③中白色小正方形地砖的块数分别为12，19，26，…发现相邻两数的差均为7，即有
① 12＝7×1＋5；
② 19＝7×2＋5；
③ 26＝7×3＋5；
…
则图中白色小正方形地砖的块数是7n＋5，中的白色小正方形地砖的块数是7×50＋5＝355．
方法3：从函数角度入手考虑，根据题意，初步猜想白色小正方形地砖的块数s与图形序号n具有一次函数关系，设s＝kn＋b，把（1，12）、（2，19）代入，得
解得∴s＝7n＋5．验证：当n＝3时，s＝7×3＋5＝26，符合题意．
当n＝50时，s＝7×50＋5＝355．
8．（2020·重庆B卷）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定的规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形有8个实心圆点，第③个图形有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中的实心圆点的个数为（ ）

A．18 B．19C．20 D．21
{答案}C
{解析}本题考查了图形规律的探索，观察图形可知，第①个图形实心圆点的个数为5=（2×1+1）+2，第②个图形实心圆点的个数为8=（2×2+1）+3，第③个图形实心圆点的个数为11=（2×3+1）+4,…，按此规律可知第⑥个图形实心圆点的个数为（2×6+1）+7=20，因此本题选C．
（2020·德州）12.下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案黑色棋子的个数是
A. 148 B. 152 C. 174 D. 202

{答案}C
{解析}图①中的黑子棋子数是0+2（1+2+3）；
图②中的黑子棋子数是2+2（1+2+3+4）；
图③中的黑子棋子数是4+2（1+2+3+4+5）；
图④中的黑子棋子数是6+2（1+2+3+4+5+6）；
…
第10个这样的图案黑子棋子数是2×9+2（1+2+3+4+5+6+…+11+12）=.

10．（2020·天水）观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（　　）
A．2S2－S B．2S2＋S C．2S2－2S D．2S2－2S－2
{答案}A
{解析}根据等式的规律，可知2100＋2101＋2102＋…＋2199＋2200＝2100(1＋2＋22＋…＋299＋2100)＝2100(1＋2101－2)＝2×(2100)2－2100，又2100＝S，即可用含S的式子表示这组数据的和为2S2－S．因此本题选A．

10．（2020·鄂州）如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，则（n为正整数）的坐标是（）

A． B． C． D．
{答案}D
{解析}本题考查了反比例函数的性质，属于规律问题，求出是解题的关键．先求出的坐标，由题意容易得到为等腰直角三角形，即可得到，然后过作交y轴于H，，通过反比例函数解析式可求出x，从而能够得到，再同样求出，即可发现规律．
解：联立，解得，
∴，，
由题意可知，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
过作交y轴于H，则容易得到，

设，则，
∴，
解得，（舍），
∴，，
∴，
用同样方法可得到，
因此可得到，即
故选：D．

10．（2020·娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（ ）
1
4
2
9

2
6
3
20

3
8
4
35

……
a
18
b
x

A．135 B．153 C．170 D．189
{答案}C
{解析}本题考查了数字类的规律题，由观察分析：每个正方形内有：由观察发现：又每个正方形内有：，因此本题选C．
10．（2020·武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．

（1） （2） （3） （4）
把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是 （　　）
A．160 B．128 C．80 D．48
{答案}A
{解析}本题考查了图形的拆拼，图形规律，图形的摆放分横着和竖着两种，而每种都有图（3）显示的四种方式摆放，图（4）是6×6的正方形，所以横着和竖着摆放结果是一样的，那么只需要讨论一种摆放方式的数量即可，假设先横着摆放就是4×5＝20种，所以n＝20×2×4＝160种，因此本题选A．
10．（2020·玉林）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000，则n等于（　　）
A．499 B．500 C．501 D．1002
{答案}C
{解析}根据排列规律可知第n个数为2n，第(n－1)个数为2n－2，第（n－2）个数为2n－4，由于三个数的和为3000，所以可得2n＋2n－2＋2n－4＝3000，解得n＝501，故选择C．
7．（2020·烟台）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（　　）

A．（2）n B．（2）n﹣1 C．（22）n D．（22）n﹣1
【解析】∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，
∴OA2=2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴OA3＝2=(2)2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴OA4＝22=(2)3．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴OA5＝4=(2)4，
……
∴OAn的长度为（2）n﹣1．
故选：B．
12．（2020·云南）按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（　　）
A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）na C．2n﹣1a D．2na
{答案}A．
{解析}根据题意，找出规律：单项式的系数为（﹣2）的幂，其指数为比序号数少1，字母为a．∵a＝（﹣2）1﹣1a，﹣2a＝（﹣2）2﹣1a，4a＝（﹣2）3﹣1a，﹣8a＝（﹣2）4﹣1a，16a＝（﹣2）5﹣1a，﹣32a＝（﹣2）6﹣1a，…由上规律可知，第n个单项式为：（﹣2）n﹣1a．



二、填空题
18．（2020·铜仁）观察下列等式：
2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
2+22+23+24+25＝26﹣2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝　 　（结果用含m的代数式表示）．
{答案}2m2﹣m
{解析}由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝220（220×2﹣1），再将220＝m代入，原式＝m（2m﹣1）=＝2m2﹣m．
19．（2020·黔西南州）如图所示的图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为________．

{答案}57
{解析}本题考查了图形规律探究．第①个图形中一共有3个菱形，即2＋1×1＝3；第②个图形中一共有7个菱形，即3＋2×2＝7；第③个图形中一共有13个菱形，即4＋3×3＝13；…，按此规律排列下去，所以第⑦个图形中菱形的个数为:8＋7×7＝57，因此本题答案为57．
21．(2020·绥化)下面各图形由大小相同的黑点组成，图(1)中有2个点，图(2)中有7个点，图(3)中有14个点，……，按此规律，第10个图中黑点的个数是______．
…
图(1)
图(4)
图(3)
图(2)
图6



{答案}119{解析}将每个图形左、右各补上一个点，使它们分别成为“方阵”．第n个图形左、右各补一个点后，斜着看共有(n＋1)行，每行有(n＋1)个点，因此第n个图形原有点的个数是(n＋1)2－2．当n＝10时，(10＋1)2－2＝112－2＝119(个)．
17．（2020·江苏徐州）如图，∠MON=30˚，在OM上截取OA1=.过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1,以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2,以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3； 按此规律，所得线段A20B20的长等于.

（第17题）
{答案}219{解析}先分别求出A1B1、A2B2、A3B3的值，然后找出它们的规律，从而得出线段A20B20的长.
∵∠O=30˚，OA1=，∴OB1=，A1B1==20，
∵OB1=B1A2=2,∴∠B1A2A1=∠O=30˚，∴∠OB1A1=∠A2B1A1=60˚,∴∠B2B1A2=60，
∵B2A2⊥OM，∴∠B1A2B2=60˚,∴△B1A2B2为等边三角形，
同理可得：△B2A3B3为等边三角形，∴B2A2=2=21，∴A3B3=A3B2=2A2B2=4=22 ,
同理可求得A4B4=8=23，∴A20B20=219.
18．（2020·衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为(，)，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4、OP5... OPn（n为正整数） ，则点P2020的坐标是.

(第18题图)
{答案}（22018，﹣22018）
{解析}本题考查了点的变化规律，根据题意得出点P2020的坐标与点P3的坐标在同一直线上是解题关键.∵点P1的坐标为（），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OPn＝2n-1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2019÷8＝252…3，∴点P2020的坐标与点P3的坐标在同一直线上，正好在第4象限角平分线上，∴点P2020的坐标是（22018，﹣22018）．因此本题答案为（22018，﹣22018）．
18．(2020自贡)如图，直线y=-3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝　　，前25个等边三角形的周长之和为　　．

{答案}故答案为：43，60．
{解析}本题考查了反比例函数的图像和性质，解直角三角形，一元二次方程根与系数的关系，探究规律行规知识．
解：设直线y=-3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵y=-3x+b，∴当y＝0时，x=33b，即点D的坐标为（33b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝﹣b，OD=-33b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=3，∴∠ADO＝60°．
∵直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，∴-3x+b=kx，
整理得，-3x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，
∵EBAB=cos60°=12，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=433k＝16，解得：k＝43．
由题意可以假设D1（m，m3），∴m2•3=43，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2（4+n，3n），∵（4+n）•3n＝43，解得n＝22-2，
∴E1E2＝42-4，即第二个三角形的周长为122-12，设D3（42+a，3a），
由题意（42+a）•3a＝43，解得a＝23-22，即第三个三角形的周长为123-122，
…，∴第四个三角形的周长为124-123，∴前25个等边三角形的周长之和12+122-12+123-122+124-123+⋯+1225-1224=1225=60，

因此本题答案为：43，60．
18．（2020·泰安）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，......，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，......，第n个数记为an，则a4＋a200﹦___________．
（第18题）




{答案}20110
{解析}本题考查了对有理数探索规律和有理数的运算，根据表中数据排列，会发现a2=3=2+1、a3=6=3+2+1、则a4=1+2+3+4=10，a200=1+2+3+4+…+199+200==20100，所以，a4＋a200﹦20110，因此本题答案为20110．
17．（2020·齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是　　．

{答案}22020
{解析}根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积＝2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为2，∴第2个等腰直角三角形的面积＝22，∵A4（10，4），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，∴第3个等腰直角三角形的面积＝8＝23，
…
则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；
故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．


16.（2020·达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线l1：y=kx+k+1与直线l2：y=（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是；记直线l1和l2与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1=，S1+S2+S3+…+S100的值为.
{答案}（﹣1,1），14，50101
{解析}联立函数解析式得kx+k+1=（k+1）x+k+2，解得x=﹣1，将x=﹣1代入直线l1的解析式得y=1，所以交点为（﹣1，1）．当k=1时，直线l1：y=x＋2和直线l2：y=2x+3与x轴的交点分别为（﹣2，0）和（﹣32，0），所以围成的三角形面积S1=12×12×1=14，依次可得：S2=112，S3=124，S4=140，……，发现Sn=12nn+1，所以S1+S2+S3+…+S100=14+112+124+140+……+1200×101=12（1﹣12+12﹣13+13﹣14+……+1100﹣1101）=12（1﹣1101）=12×100101=50101.
13．（2020·泰州）以水平数轴的原点O为圆心过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为(5，0°)、(4，300°)，则点C的坐标表示为_______．

{答案}(3，240°)
{解析}本题考查了有序数对，前一个数字表示该点到圆心的距离，后一个数字表示方向．．
（2020·山西）12． 如图是－组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10 个三角形．．．按此规律摆下去，第n个图案有_________个三角形（用含n的代数式表示）．

第12题图
{答案}（3n＋1）
{解析}本题考查规律探究．第1个图案有个4三角形，4＝1+3；第2个图案有7个三角形，7＝1+2×3；第3个图案有10 个三角形，10=1＋3×3…按此规律摆下去，第n个图案有（3n＋1）个三角形．故答案为3n＋1．
18．（2020•湘西州）观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；
（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；
…
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是　 　．

（第18题图）
{答案} A1N＝AnM，∠NOAn
{解析}本题考查了正多边形和圆、规律型：图形的变化类、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正多边形的性质．∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE108°；…
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也有类似的结论是A1N＝AnM，∠NOAn．因此本题答案是A1N＝AnM，∠NOAn．
16．（2020·怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为　 　．

{答案}(2n，0)．
{解析}解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，
∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，
∴B1C=3OC，
设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，3t），
把B1（t，3t）代入y=3x得t•3t=3，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），
∴OA1＝2OC＝2，
∴A1（2，0），
设A1D的长度为m，同理得到B2D=3m，则B2的坐标表示为（2+m，3m），
把B2（2+m，3m）代入y=3x得（2+m）×3m=3，解得m=2-1或m=-2-1（舍去），
∴A1D=2-1，A1A2=22-2，OA2=2+22-2=22，
∴A2（22，0）
设A2E的长度为n，同理，B3E为3n，B3的坐标表示为（22+n，3n），
把B3（22+n，3n）代入y=3x得（22+n）•3n=3，
∴A2E=3-2，A2A3=23-22，OA3=22+23-22=23，
∴A3（23，0），
综上可得：An（2n，0），
故答案为：(2n，0)．

14. （2020·张家界）观察下面的变化规律：
，……
根据上面的规律计算：
__________．
{答案}
{解析}本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．
由题干信息可抽象出一般规律：（均为奇数，且）．
故．
故答案：．
（2020·本溪）18．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为　2n+12n　．（用含正整数n的式子表示）

{答案}2n+12n
{解析}先求得△EF1D的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF1F2的面积，EF2F3的面积，…，EFn﹣1Fn的面积，以及△BCFn的面积，再根据面积的和差关系即可求解．
【解答】解：∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，
∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，
∵点F2是CF1的中点，
∴△EF1F2的面积等于12，
同理可得△EFn﹣1Fn的面积为12n-1，
∵△BCFn的面积为12S△EFn﹣1Fn=12n，
∴△EFnB的面积为2+1﹣1-12-⋯-12n-1-12n=2﹣（1-12n）=2n+12n．

12．(2020·青海)观察下列各式的规律：
①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1．
请按以上规律写出第4个算式______．
用含有字母的式子表示第n个算式为______．
{答案}4×6－52＝－1；n(n＋2)－(n＋1)2＝－1
{解析}等式左边第一个数与序号数相同，第二、三两个数分别比第一个数大2、大1，等式右边总是－1，因此第4个算式是4×6－52＝－1．第n个算式是n(n＋2)－(n＋1)2＝－1．
18.(2020·潍坊)如图，四边形是正方形，曲线是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为；
的圆心为点B，半径为；
的圆心为点C，半径为；
圆心为点D，半径为；…
的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形的边长为1，则的长是_________．

{答案}{解析}本题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．
由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，
，，……，
，，
故的半径为，
的弧长=．
18.（2020·牡丹江）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是______个.
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
（第18题图）






{答案}92{解析}根据已有图形找规律，第1个图形中一共有1×（1+1）+2=4个圆，第2个图形中一共有2×（2+1）+2=8个圆，第3个图形中一共有3×（3+1）+2=14个圆，第4个图形中一共有4×（4+1）+2=22个圆；故可得第n个图形中圆的个数是n（n+1）+2；所以第⑨个图形中圆的个数9×（9+1）+2=92．
15．（2020·咸宁）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
{答案} bc=a
{解析}本题考查了数字的变化规律，∵一列数：3，，，，，，，，…，可发现：第n个数等于前面两个数的商，∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，∴bc=a，因此本题填bc=a．
18．（2020·营口）如图，∠MON=60°，点A1在射线ON上，且OA1=1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1 A2，使得A1 A2= A1 B1；过点A2作A2 B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2 A3，使得A2 A3= A2 B2；…；按照此规律进行下去，则A2020 B2020长为．

{答案}{解析}在Rt△OA1B1中，∠OA1B1=90°，OA1=1，∠B1OA1=60°，∴A1B1= OA1·tan60°=1×=，则A1 A2= A1 B1=，所以OA2=1+，如上同理可得A2B2= OA2·tan60°=（1+）×=（1+），则A2 A3= A2 B2=（1+），所以OA3= OA2+ A2 A3=（1+）+（1+）=（1+）2，所以A3B3= OA3·tan60°=（1+）2，以此类推，可得A2020 B2020=（1+）2019．
19．（2020·滨州）观察下列各式：，根据其中的规律可得________（用含n的式子表示）．
{答案}{解析}本题考查了观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，观察分母的变化为3、5、7，…，2n+1，分子的变化为： n2+（-1）n+1，因此本题填．
24．（2020·内江）如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，0），直线与x轴交于点B，以AB为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推……，则点的纵坐标是______________

{答案}{解析}本题考查了点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1，过A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），且与x轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A1、A2、A3、的纵坐标，进而得到An的纵坐标，据此可得A2020的纵坐标，即可解答．
如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1，过A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），与y轴交于点D（0，），∴OB=1,OD=,
∴∠DBO=30º,由题意可得：∠A1B1B=∠A2B2B1=30º,∠B1A1B=∠B2A2B1=60º
∴∠A1BB1=∠A2B1B2=90º，
∴AB=1，A1B1=2A1B=21，A2B2=2A2B1=22，A3B3=2A3B2=23，…AnBn=2n
∴A1C=AB=×1，A1纵坐标为×1=；A2C1=A1B1=，
A2的纵坐标为×1+===；A3C2=A2B2=,
A3的纵坐标为×1++===；
…
由此规律可得：AnCn-1=,An的纵坐标为=，
∴A2020=，
因此本题答案为：．
18．（2020·抚顺本溪辽阳）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为． （用含正整数n的式子表示）

{答案}3
{解析}本题分别延长BF1、BF2、BF3…与ED相交构成相似三角形，根据相似三角形的性质求出三角形△EF1B、△EF2B、△EF3B，…与矩形的面积关系，找出其变化规律求解．
设AD＝a，AB＝b，则ab＝2．如图1，延长BF1，ED交于点M1，过F1作F1N1∥ED．∵四边形ABCD是矩形，∴DE∥BC，AD＝BC，∴∠M1＝∠M1BC，又∵DF1＝CF1，∠DF1M1＝∠BF1C，∴△DF1M1≌△CF1B，∴BC＝DM1，BF1＝F1M1．∵AE＝DA，∴EM1＝3a．∵F1N1∥ED，∴△BF1N1∽△BM1E，∴＝＝，∴F1N1＝EM1＝a，∴S△BF1E＝F1N1·AB＝＝．如图2，延长BF2，ED交于点M2，过F2作F2N2∥ED．∵∠M2＝∠M2BC，∠DF2M2＝∠BF2C，∴△DF2M2∽△CF2B，∴＝＝，∴DM2＝3BC＝3a，∴EM2＝5a．∵F2N2∥ED，∴△BF2N2∽△BM2E，∴＝＝，∴F2N2＝EM2＝a，∴S△BF2E＝F2N2·AB＝．如图3，延长BF3，ED交于点M3，过F3作F3N3∥ED．∵∠M3＝∠M3BC，∠DF3M3＝∠BF3C，∴△DF3M3∽△CF3B，∴＝＝，∴DM3＝7BC＝7a，∴EM3＝9a．∵F3N3∥ED，∴△BF3N3∽△BM3E，∴＝＝，∴F3N3＝EM3＝a，∴S△BF3E＝F3N3·AB＝．…，S△BFnE＝FnNn·AB＝．故△EFnB的面积为．


16．（2020·恩施）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为______．

{答案}（-1,8）
{解析}先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解．具体如下：根据题意作出如下图形：

N点坐标为(-1,0)，
N点关于A点对称的N1点的坐标为(-3,0)，N1点关于B点对称的N2点的坐标为(5,4)，
N2点关于C点对称的N3点的坐标为(-3,8)，N3点关于A点对称的N4点的坐标为(-1,8)，
N4点关于B点对称的N5点的坐标为(3,-4)，N5点关于C点对称的N6点的坐标为(-1,0)，
此时刚好回到最开始的点N处，
∴其每6个点循环一次，
∴，
即循环了336次后余下4，
故的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为(-1,8) ．
故答案为：(-1,8) ．
14．（2020·通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多　　个小正方形．

第1个正方形第2个正方形第3个正方形
{答案}2n+3
{解析}第1个正方形需要4个小正方形，即22；第2个正方形需要9个小正方形，即32；第3个正方形需要16个小正方形，即42……，按照这个规律下去，第n个正方形需要(n+1)2个小正方形．所以第（n+1）个正方形比第n个正方形多的正方形个数是（n+2）2－（n+1）2=2n+3．
18．（2020·东营）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，…，依次进行下去，记点的横坐标为，若=2，则=．

{答案}2
{解析}本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．求根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商和余数的情况确定出即可．
解：∵=2，∴点的纵坐标为1+1=2，∴点（1，2），
∵⊥轴，点在双曲线，∴点（1，-1），
∵⊥轴，∴点的纵坐标为-1，，解得，∴点（-2，-1），
同理可求（-2，），∴（-，），（-，2），
∴（1，2），（1，-1），…，
∴依此类推，每3次变化为一个循环组依次循环，
∵2020÷3=673余1，
∴为第674循环组的第一个点，与点重合，
∴==2．
6．（2020·昆明）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是.
{答案}
{解析}本题考查了数字变化规律探究．解答过程如下：
∵第1个数是，第2个数是，第3个数是，第4个数是，第5个数是，…，
∴这一组数的第n个数是.
16．（2020·海南）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录.图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律纺织图案，则第5个图中有_________个菱形，第n个图中有_______个菱形(用含n的代数式表示).

{答案}41 2n2－2n＋1
{解析} 观察图案可知图中含有两个平方数，第3个图案中有(32＋22)个菱形，第4个图形中有(42＋32)个图案，故第n个图形中有菱形个数为：n2＋(n－1)2＝2n2－2n＋1.当n＝5时，2n2－2n＋1＝2×52－2×5＋1＝41.
16．（2020·广西北部湾经济区）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是　 　．

{答案}556个
{解析}因为前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），
往后每排增加两个座位，
所以前区最后一排座位数为：20+2（8﹣1）＝34，
所以前区座位数为：（20+34）×8÷2＝216，
以为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，
所以后区的座位数为：10×34＝340，
所以该礼堂的座位总数是216+340＝556个．因此本题答案是556个．
16.（2020·天门仙桃潜江）如图，已知直线a：，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y 轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x 轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2020的横坐标为．
a
b
O
y
x
P
P1
P3
P2
P4
P5
…
（第16题图）


{答案}
{解析}∵点P（1，0），P1在直线y＝x上，
∴P1（1，1），
∵P1P2∥x轴，
∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，
∵P2在直线y＝﹣x上，
∴1＝﹣x，
∴x＝﹣2，
∴P2（﹣2，1），即P2的横坐标为﹣2＝﹣21，
同理，P3的横坐标为﹣2＝﹣21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝﹣23，P7＝﹣23，P8＝24…，
∴P4n＝2，
∴P2020的横坐标为2＝21010，
故答案为：21010．

18．（2020·武威）已知y＝﹣x+5，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是　2032　．
【解析】当x＜4时，
原式＝4﹣x﹣x+5＝﹣2x+9，
当x＝1时，原式＝7；
当x＝2时，原式＝5；
当x＝3时，原式＝3；
当x≥4时，原式＝x﹣4﹣x+5＝1，
∴当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是：
7+5+3+1+1+…+1
＝15+1×2017
＝2032．
故答案为：2032．

15．（2020•遂宁）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若+++…+＝．（n为正整数），则n的值为　4039　．

【解析】由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，
∴an＝n（n+1），
∵+++…+＝，
∴+++…+＝，
∴2×（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）＝，
∴2×（1﹣）＝，
1﹣＝，
解得n＝4039，
经检验：n＝4039是分式方程的解，
故答案为：4039．



三、解答题
17．（2020·安徽）观察以下等式：
第1个等式：×(1 + )＝2 - ，
第2个等式：×(1 + )＝2 - ，
第3个等式：×(1 + )＝2 - ，
第4个等式：×(1 + )＝2 - ，
第5个等式：×(1 + )＝2 - ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明．
{解析}（1）由给出的5个等式发现，等式的左边是两个因数的乘积，第一个因数的分子依次是1，3，5，7，9，……；分母依次是3，4，5，6，7.另一个因数是两个数的和，其中一个加数固定是1，另一个加数是分数，这个加数的分子都是2，分母依次是1，2，3，4，5，根据这个规律可写出第6个等式；（2）根据（1）中发现的规律写出第n个等式，并运用分式的运算方法进行证明.
{答案}解：(1)×(1＋)＝2－；(2)×(1＋)＝2－；
证明:因为左边＝×(1＋)＝×＝＝2－＝右边，所以等式成立.
20．（2020·枣庄）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形




顶点数V
4
6
8

棱数E
6

12

面数F
4
5

8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：
____________________________．
{解析}先观察图形，按要求把各几何体的顶点数，棱数，面数在表格中填写完整，再观察数据特征，由于数据比较简单，故可从它们的和差关系入手考虑，探寻V、E、F之间存在的关系．
{答案}解：（1）填表如下：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形




顶点数V
4
6
8
6
棱数E
6
9
12
12
面数F
4
5
6
8
（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：V＋F－E＝2．
20．（2020·黑龙江龙东）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标　 　．

{答案}{解析}本题考查了一次函数的性质、规律的探索，解：∵点B坐标为（1，1），
∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，
∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2（17，9），
同理可得B4（53，27），B5（161，81），…
由上可知，Bn(2×3n-1，3n)，∴当n＝2020时，Bn(2×32020-1，32020)．
故答案为：（2×3n﹣1，3n）．





25．（2020•宁夏）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：
鞋号（正整数）
22
23
24
25
26
27
…
脚长（毫米）
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据bn定义为[bn]如表2：
序号n
1
2
3
4
5
6
…
鞋号an
22
23
24
25
26
27
…
脚长bn
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
脚长[bn]
160
165
170
175
180
185
…
定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[bn]＝m，则m﹣2≤bn≤m+2．
如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．
（1）通过观察表2，猜想出an与序号n之间的关系式，[bn]与序号n之间的关系式；
（2）用含an的代数式表示[bn]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
解：（1）an＝21+n；
[bn]＝160+5（n﹣1）＝5n+155；
（2）由an＝21+n与[bn]＝5n+155解得：[bn]＝5an+50，
把an＝42代入an＝21+n得n＝21，
所以[b21]＝5×42+50＝260，
则：260﹣2≤b21≤260+2，即258≤b21≤262．
答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm～262mm；
（3）根据[bn]＝5n+155可知[bn]能被5整除，
∵270﹣2≤271≤270+2，
∴[bn]＝270，
将[bn]＝270代入[bn]＝5an+50中得an＝44．
故应购买44号的鞋．