河南省周口市扶沟县县直高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

扶沟高中高一数学下学期综合测试

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】由复数乘法运算和复数的相等可直接求得结果.

【详解】由得：，，.

故选：A.

2. 某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区1100名男性居民和900名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则应从男性居民中抽取的人数为（    ）

A. 45 B. 50 C. 55 D. 60

【答案】C

【解析】

【分析】根据分层抽样规则运算即可.

【详解】应从男性居民中抽取的人数为；

故选：C.

3. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（    ）

A. 两条相交直线确定一个平面

B. 两条平行直线确定一个平面

C. 四点确定一个平面

D. 直线及直线外一点确定一个平面

【答案】A

【解析】

【分析】利用平面的基本性质求解.

【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，

所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.

故选：A

4. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（    ）

A. 16 B. 12 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据斜二测画法分析运算.

【详解】在直观图中，，

可得原图形平行四边形，其底边长2，高为，

则另一边长为，所以原图形的周长为．

故选：A.

5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件，由正弦定理得，可令，再利用余弦定理求解.

【详解】由正弦定理：

得

又因为，所以

令

所以

故选：D.

6. 已知平面，且，，则直线a，b的关系为（    ）

A. 一定平行 B. 一定异面

C. 不可能相交 D. 相交、平行或异面都有可能

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间线面间的位置关系判断．

【详解】由平面，且，可知直线a，b没有公共点，故它们一定不相交，即可能是平行或异面．

故选：C．

7. 已知P是所在平面内一点，若，其中，则点P一定在（    ）

A. 边所在直线上 B. 边所在直线上

C. 边所在直线上 D. 的内部

【答案】B

【解析】

【分析】根据，利用平面向量的线性运算转化为，再利用平面向量共线定理求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以点P在边所在直线上．

故选：B

【点睛】本题主要考查平面向量共线定理，属于基础题.

8. 有一个正三棱柱形状的石料，该石料的底面边长为6．若该石料最多可打磨成四个半径为的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出柱形石料的高，利用柱体体积减去四个球体体积可得结果.

【详解】设底面是边长为的等边三角形的内切圆的半径为，

由等面积法可得，解得，

若可以将该石料打磨成四个半径为的石球，则该柱形石料的高至少为，

因此，至少需要打磨掉的石料废料的体积为.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多得项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列命题错误的是（    ）

A.  B.

C. 若，则 D. 若，则

【答案】CD

【解析】

【分析】根据复数的运算，逐一分析即可.

【详解】解：，故A对，因为，故，故B对,

虚数不能比较大小，故C错，设仍为虚数，不能与0比较大小，故D错.

故选：CD.

10. 下列说法不正确的是（    ）

A. 若直线a，b不共面，则a，b为异面直线

B. 若直线平面，则a与内任何直线都平行

C. 若直线平面，平面平面β，则

D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等

【答案】BCD

【解析】

【分析】由空间中线线，线面，面面间的位置关系对各选项进行判断即可.

【详解】A.直线a，b不共面，即不平行，不相交，则a，b为异面直线，故正确；

B. 直线平面，则a与内的直线平行或异面，故错误；

C. 直线平面，平面平面β，则或，故错误；

D. 空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故错误；

故选：BCD

11. 在中，角，，所对的边分别为，，，有如下判断，其中正确的判断是（    ）

A 若，则

B. 若，则是等腰三角形

C. 若为锐角三角形，则

D. 若，则是钝角三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】A：由大角对大边，及正弦定理判定；利用正弦定理及二倍角公式判断B；根据正弦函数的性质及诱导公式判断C；根据余弦定理判断D；

【详解】解：对于A：在中，若，则，

则，则，故正确；

对于B：，，

，，或即，

为等腰或直角三角形，故不正确．

对于C：当为锐角三角形时，，，

，可得成立，故正确．

对于D：若，则，

即，即，即所以，

即为钝角，故是钝角三角形,故D正确；

故选：ACD.

12. 已知正四棱台的上底面的边长为，下底面ABCD的边长为，高为，则（    ）

A. 侧棱长为4 B. 异面直线与BC所成角为

C. 二面角的余弦值为 D. 与底面ABCD所成角为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据正四棱台的结构特征及线线角，线面角与面面角的求法逐个选项判断即可.

【详解】

易得，A选项，设上下底面的中心分别为，O，则四边形为直角梯形．

其中，，，所以，A正确；

B选项：因为，所以与BC所成角即为与AD所成角，在等腰梯形中，，

，，过作于，所以与AD所成角的余弦值为，B错误；

C选项：点在底面ABCD的射影为OB的中点，设为E，过E作，垂足为则，，面，

，所以平面，所以，则为二面角的平面角．

因为，，所以，，C错误；

D选项：正四棱台中，与底面ABCD所成角与与底面ABCD所成角相等，

由C选项知为与底面ABCD所成角，，得 ，故D正确．

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在中，角所对应的边分别为．若，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据正弦定理即可求解.

【详解】因为，所以．

故答案为：.

14. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为_________.

【答案】150°

【解析】

【分析】根据向量垂直数量积等于，结合已知条件求出的值，利用向量夹角公式即可求解.

【详解】由，得，即，

因为，所以，

所以，又，

所以向量与的夹角为150°.

故答案为：150°

15. 如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°．若山高AD＝150m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______m/s．

【答案】

【解析】

【分析】由余弦定理求得后可得速度．

【详解】由题意可知，AB＝300m，m，由余弦定理可得（m），这辆汽车的速度为（m/s），

故答案为：．

16. 已知正方体的棱长为6，E、F分别是、的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为______．

【答案】

【解析】

【分析】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH；则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG.则EF＋FG＋GC＋CH＋HE为平面CEF截正方体所得的截面的周长，根据几何关系即可求解．

【详解】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH；

则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG．

∵E、F分别是、的中点，则易知AN＝，

∴AN＝，∴，

∴，，；

同理，，，；

∴平面CEF截正方体所得截面的周长为：

EF＋FG＋GC＋CH＋HE＝．

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．写出必要的文字说明､､证明过程及演算步骤．

17. 已知是虚数单位，复数，．

（1）当复数为实数时，求的值；

（2）当复数为纯虚数时，求的值；

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】根据实数和纯虚数定义可直接构造方程求得结果.

【小问1详解】

为实数，，解得：或.

【小问2详解】

为纯虚数，，解得：.

18. 已知，，，．当k为何值时：

（1）

（2）

【答案】（1）或2   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据，利用共线向量定理求解；

（2）根据，利用数量积运算求解.

【小问1详解】

解：因为，，，，

所以，

．

因为，所以，

整理为，

解得或2；

【小问2详解】

因，

所以，

整理为，

解得：.

19. 已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足．

（1）求角A的大小；

（2）若，求周长的最大值．

【答案】（1）   

（2）12

【解析】

【分析】（1）由结合三角形面积公式可化简得到，即可求得答案；

（2）利用余弦定理得到，进而化为，结合基本不等式求得，即可得周长的最大值.

【小问1详解】

，

，                                  

则，                                                             

，，

又，；

【小问2详解】

，，

由余弦定理得，                                          

即，，

所以,（当且仅当时取“＝”），                     

故，，                                                       

的最大值为8，的最大值为12，

周长的最大值为12．

20. 如图，在直三棱柱中，，M，N分别为棱、的中点．

（1）证明：平面．

（2）求点B到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）取中点．连接，证明平面平面后可得线面平行；

（2）利用计算点B到平面的距离．

【小问1详解】

取中点．连接，

因为在直棱柱中，分别是中点，

所以， ，，

平面，平面，所以平面，同理平面，

，平面，

所以平面平面，又平面，

所以平面；

【小问2详解】

连接,，由直棱柱平面，知平面，

而平面，所以，同理，

，，

，，

，，，

中，，所以，

，

设到平面的距离为，

则，

所以．即点B到平面的距离为．

21. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．

（1）求角A的大小；

（2）若D为线段延长线上的一点，且，求的面积．

【答案】（1）条件选择见解析，   

（2）

【解析】

【分析】（1）选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可.

选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得.

选择③：由正弦定理边化角，再由展开计算可得结果.

（2）设，，，在△ABC中，由、列等式①②，在中，由列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面积公式可得结果.

【小问1详解】

若选择①，∵．∴，

∵，∴，

即，

∵∴；

若选择②，∵，

∴，

∴，

∴，

，

∵∴；

若选择③，∵，

∴，

∴，

∴，

∴，又∵．∴，

∴，∵，∴；

【小问2详解】

设，，，

在中，用余弦定理可得，

即 ①，

又∵在中，，

即.即，即 ②，

在中，用余弦定理可得，

即 ③，③+①可得，

将②式代入上式可得，．

22. 在等腰梯形（图1）中，，是底边上的两个点，且.将和分别沿折起，使点重合于点，得到四棱锥（图2）.已知分别是的中点.

（1）证明：平面.

（2）证明：平面.

（3）求二面角正切值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析；    （3）.

【解析】

【分析】（1）由题可得四边形是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即得；

（2）利用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；

（3）过点作，由题可得是二面角的平面角，结合条件即得.

【小问1详解】

由题意可得，在等腰梯形中，，

在中，因为，

所以，四边形为正方形.

在四棱锥中，连接，因为分别是的中点，

所以，且，

在正方形中，因为是的中点，

所以，且，

所以，且，

∴四边形是平行四边形，，

因为平面，平面，

所以平面；

【小问2详解】

由（1）知，在中，，因为为的中点，

所以，

在等腰梯形中，，

所以在四棱锥中，，

因为， 平面，平面，

所以平面，

因为平面，

所以，

又因为，，平面，平面，

所以平面；

【小问3详解】

在中，过点作，垂足为，连接，

由（2）知平面，平面，

所以，

因为，平面，平面，

所以平面，平面，

∴，

故是二面角的平面角，

由（1）知，在四棱锥中，，

设，则，

在中，，

所以，

在中，，

故二面角的正切值为.