2022-2023学年河南省周口市项城市第一高级中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省周口市项城市第一高级中学高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知三棱锥中，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量线性运算计算即可.

【详解】

.

故选：D.

2．如图，圆内有一点，为过点的弦，若弦被点平分时，则直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意得到直线与直线垂直,求出直线的斜率,

可得直线的斜率,点斜式即可确定的方程.

【详解】当弦被点平分时，直线与直线垂直，

因为，所以，

则直线AB的方程为，即．

故选:.

3．已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（    ）

A． B．1 C． D．6

【答案】A

【分析】根据直线平行则它们的法向量也互相平行可解，需要验算.

【详解】，

解之：经检验

故选：A.

4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出抛物线焦点坐标，得双曲线的一个焦点，然后可得双曲线的标准方程，进而即得．

【详解】因为抛物线的焦点为，

可得双曲线的一个焦点为，

所以，即，

所以双曲线的方程为，

所以双曲线的渐近方程是.

故选：C.

5．设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（    ）

A．2 B． C．2或- D．2或

【答案】A

【分析】直接代入等比数列的求和公式与通项公式即可求解.

【详解】依题知，

因为，

所以，

所以，

代入通项公式得：，

又因为，所以，

解得：或（舍），

故选：A.

6．已知函数，则该函数的图象在处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出函数的导数，再赋值法求出，然后得到的函数解析式可得切点，后将数据代入点斜式方程可得答案.

【详解】因为，所以，解得，

所以，

即切点

所以切线方程为：，即.

故选：A.

二、多选题

7．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】先由条件得出为等腰直角三角形，即可得出椭圆长半轴长，短半轴，长半焦距的关系，从而得出椭圆的离心率；然后在焦点三角形中，利用余弦定理得出双曲线实半轴长为，半焦距为的关系，从而得出双曲线的离心率，依次对选项验证即可。

【详解】因为，且，所以为等腰直角三角形．

设椭圆的半焦距为，则，所以，则．

在中，，设，，双曲线的实半轴长为，则（在中，由余弦定理可得），

故，故，

又，所以，即，

故，，，，选BD．

故选：BD

三、单选题

8．已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取中点，将所求数量积转化为，根据的取值范围可求得结果.

【详解】取中点，

则，

当为侧面中点时，；的最大值为体对角线的一半，

又，，

即的取值范围为.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的向量数量积问题的求解，解题关键是通过转化法将问题转化为向量模长最值的求解问题，进而通过确定向量模长的最值来确定数量积的取值范围.

9．设等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由等差数列片段和的性质可得出、、、成等差数列，即可求得的值.

【详解】解：由等差数列的性质可知，、、、成等差数列，

且该数列的公差为，则，

所以，，

因此，.

故选：D.

10．已知函数，以下判断正确的是（    ）

①有两个极值点；

②有三个零点；

③点是曲线的对称中心.

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

【答案】C

【分析】求导，根据导函数的正负可判断极值点，即可判断①，根据单调性以及极值即可判断②，根据对称性满足的关系式即可判断③.

【详解】由得，令得，且当和时， ，当时，，所以均是的极值点，故有两个极值点，故①正确，

由①知，是的极大值点，且， ，所以只有一个零点，故②错误，

又，所以，故点是曲线的对称中心，所以③正确，

故选:C

11．已知是等差数列的前项和，，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列的前项和公式和性质可得：，且，进而求解.

【详解】因为是等差数列的前项和，

由可得：，所以，

由可得：，所以，

则有，所以等差数列的前项为负值，从第项开始为正值，

所以的最小值为，

故选：.

12．已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，则的最小值为（    ）

A． B．8 C． D．

【答案】D

【分析】根据椭圆定义得到，且，换元后得到，根据“1”的妙用得到，求出的最小值为，从而求出的最小值.

【详解】由题意得：椭圆：的两个焦点在y轴上，且，故，

则，故，

由椭圆定义可知：，

设，则由椭圆性质可知：，故，

，

其中

，

令，则，则，

由对勾函数的性质可知：在上单调递增，

故当时，取得最小值，最小值为，

故，

等且仅当时，等号成立.

故选：D

四、填空题

13．过点且垂直于直线的直线方程为__________．

【答案】

【分析】由题可设垂直于直线的直线方程为，进而待定系数即可求解.

【详解】解：设垂直于直线的直线方程为，

将点代入得，解得

所以所求方程为.

故答案为：

14．设抛物线：()的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交于、两点，若，的面积为，则_______.

【答案】

【解析】根据题意画出图形，结合图形求出，，由点A到准线l的距离写出△ABD的面积，从而求出p的值．

【详解】∵，

∴，

又∵，

∴，，

∴到准线的距离，

∴，解得.

故答案为：１.

【点睛】方法点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．

15．已知前项和为的等差数列（公差不为0）满足仍是等差数列，则通项公式___________.

【答案】

【分析】根据是等差数列列方程，求得数列的公差，由此求得.

【详解】设公差为，则，

或，而不合题意，故.

故答案为：

16．已知函数，若有三个零点，则的取值范围为__．

【答案】

【分析】有三个零点等价于与有三个交点，当与相切时，求出对应切线，则由数形结合可判断的取值范围.

【详解】有三个零点等价于与有三个交点，如图所示.

当与相切时，此时恰有两个交点，设切点为 ，则切线方程为，

∵切线过，∴，∴切线斜率为.

由图易得，当时，与有三个交点.

故答案为：

五、解答题

17．已知，．

(1)若，求的值；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据向量夹角公式计算即可；

（2）根据垂直关系的向量坐标表示求解.

【详解】（1）由已知可得，，

．

（2），

，

，，

即，解得．

18．已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l.

(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；

(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．

【答案】(1)x＝4或3x＋4y-8＝0.

(2)

【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程；

（2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.

【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2

当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；

当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，

则圆心到直线的距离为即，解得，

所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0.

综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0.

（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0，

圆心到直线l的距离

故所求弦长为：.

19．已知公差不为0的等差数列的前项和为，、、成等差数列，且、、成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)若，数列的前项和为，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）公式法列方程组解决即可；（2）运用裂项相消解决即可.

【详解】（1）由题知，

设的公差为，由题意得，

即，解得，

所以，

所以的通项公式为.

（2）证明：由（1）得，

所以，

所以．

20．已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差，

（2）由错位相减法即可求和.

【详解】（1）设数列的公差为，则

解得

∴．

（2）依题意，知数列的通项公式为．

由（1）知，

∴，

，①

①×3得，②

①-②得

，

∴．

21．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．

(1)求双曲线的方程；

(2)设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据已知可求出，，即可求出双曲线的方程；

（2）设，，.设出直线方程，与双曲线方程联立得到，根据韦达定理求出，用点的坐标表示出，整理得到，因为该式为常数，所以有，求出，代入即可求出常数.

【详解】（1）由已知可得，双曲线的渐近线方程为，双曲线焦点，.

则到渐近线，即的距离为，所以，

又渐近线的斜率为2，即，所以，

所以双曲线的方程为.

（2）由已知可得，直线的斜率存在，设斜率为，则.

联立直线的方程与双曲线的方程可得，，

设，，.

当，即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，不满足题意，所以，.

，解得，且.

由韦达定理可得，，且，.

又，，

则，

因为，，

所以，

要使为常数，则应与无关，

即应有，解得，此时是个常数，这样的点存在.

所以，在轴上存在定点的坐标为，使得为常数.

22．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的最小值；

(3)求函数的零点个数，并说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)只有一个零点，理由见解析

【分析】（1）求导，求得切线斜率，再由点斜式得解；

（2）判断函数的单调性，进而可得最小值；

（3）结合零点存在定理和单调性，即可得出结论．

【详解】（1）函数的定义域为，，

则，又，

由点斜式可得，所求切线方程为，即；

（2）令，解得；令，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以；

（3），，则，

令，解得；令，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，，则在上无零点，

在上单调递增，，，

则在只有一个零点，

综上在定义域只有一个零点．