2023年广东省珠海重点中学高考数学适应性试卷（含解析）

这是一份2023年广东省珠海重点中学高考数学适应性试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省珠海重点中学高考数学适应性试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知等比数列的各项均为正数，公比，且，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知，则(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知正三棱锥的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 6.  “校本课程”是现代高中多样化课程的典型代表，自在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，艺术科组准备了学生喜爱的中华文化传承系列的校本活动课：创意陶盆，拓印，扎染，壁挂，剪纸五个项目供同学们选学，每位同学选择个项目则甲、乙、丙、丁这名学生至少有名学生所选的课全不相同的方法共有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种7.  已知圆：，点，若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知函数及其导函数的定义域均为，记若为奇函数，为偶函数，且，，则(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  下列说法正确的是(    )A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
B. 若，则事件与事件相互独立
C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，响应变量将平均减少个单位
D. 对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大10.  已知，下列结论正确的是(    )A. 与向量垂直且模长是的向量是和
B. 与向量反向共线的单位向量是
C. 向量在向量上的投影向量是
D. 向量与向量所成的角是锐角，则的取值范围是11.  己知抛物线：的焦点为，点，为上两点，若点，则下列结论正确的是(    )A. 的最小值为
B. 过点与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条
C. 点到点的距离与到焦点距离之和的最小值为
D. 若弦的中点到轴的距离为，则，两点到焦点的距离之和为12.  如图所示，圆锥中，为高，为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于的等腰直角三角形，为母线的中点，点为底面上的动点，且，点在直线上的射影为当点运动时，下列结论正确的是(    )A. 三棱锥体积的最大值为 B. 线段长度是线段长度的两倍
C. 直线一定与直线垂直 D. 点的轨迹长度为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  复数满足，则 ______ ．14.  从，，，，中，甲乙两人各取一数不重复，已知甲取到的数是的倍数，则甲数大于乙数的概率为______ ．15.  ______ ．16.  已知数列满足：对于任意有，且，若，，数列的前项和为，则 ______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色如图某摩天轮的最高点距离地面的高度为米，最低点距离地面米，摩天轮上均匀设置了个座舱如图，开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，己知关于的函数关系式满足其中，，，求摩天轮转动一周的解析式；
问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为米？18.  本小题分
已知数列满足．
记，写出，，，并求数列的通项公式；
求的前项和．19.  本小题分
如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面，点为线段上一点，且．
证明：平面；
若，，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．
20.  本小题分
某大学平面设计专业的报考人数连创新高，今年报名已经结束考生的考号按，，的顺序从小到大依次排列某位考生随机地了解了个考生的考号，具体如下：





据了解，这名考生中有名男生，名女生在某次模拟测试中，名男生平均分数是分，样本方差是，名女生平均分数是分，样本方差是，请求出此人该次模拟考试成绩的平均分和方差考生个人具体分数不知晓
请根据这个随机抽取的考号，帮助这位考生估计考生总数，并说明理由．21.  本小题分
已知函数．
求函数单调区间；
若存在，，使得是自然对数的底数，求实数的取值范围．22.  本小题分
己知动圆经过点，且动圆被轴截得的弦长为，记圆心的轨迹为曲线．
求曲线的标准方程；
设点的横坐标为，，为圆与曲线的公共点，若直线的斜率，且，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
．
故选：．
先通过求函数的定义域和值域求出集合，，然后可直接求出．
本题考查函数的定义域、值域，集合的运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，公比，
，
，
又等比数列的各项均为正数，，
．
故选：．
利用等比数列的通项公式求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：点到双曲线的一条渐近线的距离为，
可得，
即，
解得．
故选：．
利用点到直线的距离公式，数列出方程，然后求解双曲线的离心率即可．
本题考查的双曲线简单性质的应用，考查计算能力．
 4.【答案】 【解析】解：，，
，，，，
，
，
．
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查对数函数和指数函数的性质，属于中档题．
 5.【答案】 【解析】解：根据题意，设底面三角形的外心为，连接，连接并延长与交于点，
三棱锥为正三棱锥，则面，
又由侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则，则有，
又由，解可得，
为外接圆的圆心，则，
而，易得，
故三棱锥为正四面体，
则三棱锥所在正方体的棱长为，
故此正三棱锥的棱切球的半径为其所在正方体的棱长的一半，
故其棱切球的半径，
则此正三棱锥的棱切球的表面积．
故选：．
根据题意，设底面三角形的外心为，连接，连接并延长与交于点，分析可得，可得三棱锥为正四面体，由棱切球半径公式求出棱切球的半径，计算可得答案．
本题考查球的表面积计算，涉及棱锥与球的位置关系，属于中档题．
 6.【答案】 【解析】解：恰有名学生选课相同，
第一步，先将选课相同的名学生选出，有种可能；
第二步，从个项目中选出个排序，有，
根据分步计数原理可得，方法有种；
名学生所选的课全不相同的方法有种，
根据分类加法计数原理可得，
甲、乙、丙、丁这名学生至少有名学生所选的课全不相同的方法共有种．
故选：．
分为恰有名学生所选的课相同，以及名学生所选的课全不相同两种情况，分别计算求解得出，相加即可得出答案．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：由题知，圆和正组成的图形关于直线对称，
若存在点，满足题意等价于存在点使得，
过点作圆的切线，切点为，连接，则，，
所以，，，，
解得，所以实数的取值范围为．
故选：．
由题间可得存在点，满足题意等价于存在点使得，计算可求实数的取值范围
本题考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属中档题．
 8.【答案】 【解析】解：为奇函数，
，
，即：，
又，
，
又为偶函数，
，
将中换成得：，
将中换成得：，
由得：，
的一个周期为，
，
将代入得：，
，
又，
．
故选：．
运用抽象函数的奇偶性表达式及导数运算可得的一个周期为，再运用赋值及周期性计算可得一个周期内的和，进而可求得结果．
本题主要考查抽象函数及其应用，导数的运算，函数奇偶性与周期性，考查运算求解能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：随机变量服从二项分布，，，
则，解得，，故A正确；
，
，故B错误；
在经验回归方程中，
当解释变量每增加个单位时，则减小，即响应变量将平均减少个单位，故C正确；
对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越小，故D错误．
故选：．
对于，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解；
对于，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；
对于，结合经验回归方程，即可求解；
对于，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的期望与方差公式、独立性检验公式，以及线性回归方程的应用，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于，设与向量垂直且模长是的向量为，则，解得：或，故A不正确；
对于，与向量反向共线的单位向量为，故B正确；
对于，向量在向量上的投影向量为，故C正确；
对于，设向量与向量所成的角为，为锐角，且，即且，
且，且，故D不正确．
故选：．
由向量相关知识逐一判断选项即可．
本题考查向量的相关知识：数量积、坐标运算、模、投影向量等，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：由题意可得抛物线的准线方程为：，焦点坐标，
中，的最小值为：，所以不正确；
中，如图因为在抛物线的内部，所以，过点与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条，所以B正确；
中，由抛物线的定义可知，点到点的距离与到焦点距离之和的最小值为，所以C正确；
中，过、以及弦的中点，作准线的垂线，交点分别为：，，；
弦的中点到轴的距离为，弦的中点到准线的距离为，
则，两点到焦点的距离之和为，所以D正确．
故选：．
由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系，判断选项的正误即可．
本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
圆锥的轴截面为面积等于的等腰直角三角形，则其面积，
解得，，
对于，如图，，点在以为直径的圆上，半径为，
，点到平面的距离的最大值为，
，
三棱锥的体积即为三棱锥体积，
体积最大值为，故A错误；
对于，由平面，平面，，
，且，平面，，
在直角中，的长度是的长度的一半，即为线段的长度的一半，故B正确；
对于，平面，且平面，则，
，且，则平面，
平面，则，
由是等腰直角三角形，可得，即是等腰三角形，
连接，为的中点，，
，则平面，平面，，故C正确；
对于，由知平面，又由平面，且平面，
，过点且与垂直的平面仅有一个，则点的轨迹为以为直径的圆，
，则点形成的轨迹周长为，故D正确．
故选：．
设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，求得和，得到点到平面距离的最大值为，结合，可判断；证明，得到在直角中，的长度是长度的一半，可判断；由，，推导出恒成立，判断；证明，得到点的轨迹为以为直径的圆，判断．
本题考查三棱锥体积公式、点到平面距离公式、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解：，，
．
故答案为：．
先求出，然后由复数的运算法则求出．
本题考查复数的模与复数的运算，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：从，，，，中，甲乙两人各取一数不重复，甲取到的数是的倍数，
甲取到或，基本事件总数，
甲数大于乙数包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，
共个，
甲取到的数是的倍数，则甲数大于乙数的概率为．
故答案为：．
先求出基本事件总数，再利用列举法求出甲数大于乙数包含的基本事件的个数，由此能求出甲取到的数是的倍数，则甲数大于乙数的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
 15.【答案】 【解析】解：，
则，
则．
故答案为：．
利用三角函数的倍角公式进行化简求解即可．
本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的倍角公式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
 16.【答案】 【解析】解：，，
又，，
则．
是以为首项，为公差的等差数列，
，又，
，则，
又，
．

．
对求导，可证得是以为首项，为公差的等差数列，求出，再由并项求和法求出．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 17.【答案】解：其中，，，
由题意知：，
，
故，
，
，
又，
，
，
故解析式为：，；
令，则，即，
因为，则，
所以或，
解得或，
故游客甲坐上摩天轮分钟或分钟时，距离地面的高度恰好为米． 【解析】利用正弦型函数的一般式结合题意，求出，，，；
根据求出的表达式，将化简求得．
本题主要考查了三角函数的实际应用，属于中档题．
 18.【答案】解：由，，
可得；；；
，则为首项为，公差为的等差数列，
所以；
的前项和为
． 【解析】由数列的递推式，可得数列的前三项，再由等差数列的定义和通项公式可得数列的通项公式；
由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查数列的分组求和，以及等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 19.【答案】解：证明：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，则，
又因为，，平面，
所以平面；
由知平面，平面，得，
又，，，
所以，
以为原点，分别以为轴、轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
又因为，所以，
，
，
设是平面的一个法向量，
则，即，
所以可取，
设是平面的一个法向量，
则即，所以可取，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【解析】过点作于点，由面面垂直、线面垂直的性质定理可得，，再由线面垂直的判定定理可得答案；
由体积求出，以为原点，分别以为轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案．
本题考查线面垂直的判定以及二面角相关知识，属于中档题．
 20.【答案】解：记名男生得分记为，，，，
名女生得分记，，，，
男生得分平均分，
女生得分平均分，
所以总平均分，
，
所以此人该次模拟考试成绩的平均分是，方差是．
答案一：，理由是用给出数据的最大值与对应估计考生总数；
答案二：，理由是用数据的最大值与最小值的和估计考生总数；
答案三：，这个数的算术平均值是，它应该与接近．
因此，估计今年报考这所大学美术系平面设计专业的考生总数为人；
答案四：，理由：把这个数据从小到大排列，这个数把区间分成个小区间．由于未知，除了最右边的区间外，其他区间都是已知的．可以利用这些区间长度来估计由于这个数是随机取的，一般情况下可以认为最右边区间的长度近似等于长的，并且可以用前个区间的平均长度近似代替这个区间的长度．因为这个区间长度的和，恰好是这个数中的最大值，因此得到． 【解析】根据公式计算即可；根据条件叙述清楚理由即可．
本题考查平均数，方差的算法，属于基础题．
 21.【答案】解：函数，
的定义域为，，
令，，
当，时，，在上是增函数，
又，的解集为，
的解集为，
函数的单调增区间为，单调减区间为．
存在，，使得成立，
而当时，，
只要，
，，的变化情况如下表：       减函数 极小值 增函数在上是减函数，在上是增函数，
当时，的最小值是，
的最大值为和中的最大值，
，
令，，则，
在上是增函数，而，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
而函数在上是增函数，解得，
当时，，函数在上是减函数，解得．
综上，所求的取值范围为． 【解析】的定义域为，，令，，由此利用导数性质能求出的单调区间．
存在，，使得成立，当时，，从而只要，由此能求出的取值范围．
本题考查满足条件的平面的作法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、，考查数形结合思想，是中档题．
 22.【答案】解：设，则点到轴的距离为，
因为圆被轴截得的弦长为所以，又，
所以，
化简可得，
所以曲线的标准方程为；
设，因为直线的斜率，
所以可设直线的方程为，
由及消去可得，
所以，，
所以，
设线段的中点为，点的纵坐标为，则，又，
所以直线的斜率为，所以，
所以，
所以，
易得圆心到直线的距离，
由圆经过点，可得，
所以，
整理可得，
解得或，
所以或，又，
所以． 【解析】设，由圆被轴截得的弦长为可知，结合化简后即可知曲线的标准方程；
设直线的方程为，与抛物线方程进行联立，可求出弦长，设线段的中点为，由得，又由联立后可求出进而求出所求的值．
本题考查了曲线方程求解，考查了圆和直线的位置关系，属于中档题．