2022-2023学年广东省珠海市香洲区重点学校高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省珠海市香洲区重点学校高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  函数的导数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  (    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知甲盒中有个白球，个红球，个黑球，乙盒中有个白球，个红球，个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球个，红球个，白球个，从中任取个，其中白球的个数记为，则等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若的展开式中各项系数和为，则其展开式中的常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是(    )

 

A. 在上是增函数 B. 在上是减函数
C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极大值

11.  已知，，分别是两边上的动点，若，则面积的可能取值是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知直线：与椭圆交于、两点，点，为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有(    )

A. 椭圆的离心率为
B. 椭圆上存在点，使得
C. 当时，，使得
D. 当，，

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在等比数列中，，，则 ______ ．

14.  曲线在点处的切线方程为______ ．

15.  已知，是方程的两根，则 ______ ．

16.  已知数列满足，，当时， ______ ；若数列的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数的值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知对于任意，函数在点处切线斜率为，是公比大于的等比数列，，．
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和．

18.  本小题分
已知，，，函数的单调递减区间为，区间．
求函数的单调递减区间；
“”是“”的充分条件，求的取值范围．

19.  本小题分
第届冬季奥林匹克运动会将于年举办某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中．
求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？
若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望．

20.  本小题分
如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．

21.  本小题分
如图，已知椭圆，其左、右焦点分别为，，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且．
求椭圆的方程；
过点且斜率为的动直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

22.  本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求函数的极值；
Ⅱ若在上是单调增函数，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
则．
故选：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：函数，
．
故选：．
根据求导公式计算即可．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用诱导公式以及二倍角公式，转化求解即可．
本题考查诱导公式以及二倍角的三角函数的应用，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：从甲盒中随机取出一个白球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个红球或黑球的概率为，
从甲盒中随机取出一个红球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个白球或黑球的概率为，
从甲盒中随机取出一个黑球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个白球或红球的概率为，
则，
故选：．
利用全概率公式，代入求解即可．
本题考查全概率公式，考查分类讨论思想，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题设，取出的个球中没有白球的概率为，
取出的个球中有一个白球的概率，
所以目标式表示．
故选：．
根据已知条件分析概率值、对应的事件，即可得结果．
本题考查古典概型的概率公式的应用，属中档题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
由题意令，则，解得，再利用通项公式即可得出．

【解答】

解：由题意令，则，解得．
的通项公式为： ，
令，解得．
常数项．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：，，且，
，，即，，
．
故选：．
根据的范围得，然后由得出，然后根据二倍角的正余弦公式化简得出，然后可求出，然后即可求出的值．
本题考查了二倍角的正弦、余弦和正切公式，同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，，
设，
则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
又因为，所以，
所以，
故选：．
由题意可知，，，，构造函数，求导得到函数的单调性，进而比较大小即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较大小，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：令得，，故A正确；
因为的通项为，所以，故B正确；
令，则，
又，所以，故C错误；
令，则，故D正确．
故选：．
由通项公式可判断，由特值法可判断．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察的图象可知，
当时，函数先递减，后递增，故A错误；
当时，，函数单调递减，故B正确；
因为，所以不是的极值点，故C错误；
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，故D正确．
故选：．
观察的图象，由导数与单调性的关系及极值的定义逐项判断即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，根据余弦定理：，
，即，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
的面积可能是或．
故选：．
根据余弦定理可得出，然后即可得出，然后根据三角形的面积公式得出，然后即可得出正确的选项．
本题考查了余弦定理，不等式的运用，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，则，
对于选项A，，故A正确；
对于选项B，，，

在中，由余弦定理得

，
当且仅当时，最小值为，
，函数在上单调递减，即最大为，故B错误；
对于选项C，时，：，直线过右焦点，设，，
联立消去整理得，恒成立，
，

又，，
，


，故C错误；
对于选项D，时，：，设，，
则，由，解得；
，



，
当时，取到最小值为，故，故D正确．
故选：．
根据椭圆的离心率、焦点三角形、相交的坐标运算逐项判断即可得答案．
本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为，
则，
即，
解得，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
又时，，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出时的函数值，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意，，，
则，
则．
故答案为：．
由韦达定理以及和角公式可得，再由二倍角公式以及商数关系即可得解．
本题考查三角函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】   

【解析】解：，
，
则 
，，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
，即
当时，．
因为，所以，
要使的所有项仅取有限个不同的值，则，
此时，，
否则时，的取值有无穷多个．
故答案为：；．
由题设递推式出发，抓住奇数项与偶数项的关系进行推理，结合可化为等比数列的递推关系求出的表达式．再根据表达式对第二问进行判断．
本题以分段函数为载体，考查了数列的递推关系，属中档题．
 

17.【答案】解：已知函数，
，
，
又因为，，
所以，
又，
解得，
所以；
已知，
则，
所以

． 

【解析】先求导，结合曲线的切线方程的求法及等比数列通项公式的求法求解即可；
由等差数列的求和公式及裂项求和法求解即可．
本题考查了曲线的切线方程、等差数列及等比数列通项公式的求法，重点考查了等差数列的求和公式及裂项求和法，属基础题．
 

18.【答案】解：，
由，有，得，
所以的单调递减区间为；
，有得，
又是的充分条件，可知，
有，得，
故实数的取值范围为． 

【解析】求出函数的导函数，令导函数小于等于，求出函数的单调减区间；
利用区间的定义，得到，然后将是的充分条件转化为，利用集合的包含关系求解即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
 

19.【答案】解：甲在初赛的两轮中均获胜的概率为；
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；
因为，所以，
所以，即甲进入决赛的可能性最大；
设甲、乙、丙都进入决赛的概率为，
则，
整理得，解得或，
由，所以，
所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为、，
两轮中均获胜的概率为：，
进入决赛的人数的可能取值为：、、、，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：

所以． 

【解析】分别计算出甲、乙、丙获胜的概率，比较概率大小即可得出结论；
求得的可能取值及对应概率，根据离散型随机变量的定义求解即可．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

20.【答案】解：证明：连接，如图所示：

在中，、分别为，的中点，，
又平面，平面，
平面；
由题意得平面，平面，平面，
，，
又，，
则建立以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：

，则，，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，由图形可知，二面角为钝角，
，
故二面角的余弦值为；
假设在线段上存在一点，设，则，
由得平面的一个法向量为，
与平面所成角的大小为，
，即，解得，
故存在满足题意的点，此时． 

【解析】连接，则，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；
由题意得，，，建立以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案；
假设在线段上存在一点，设，利用向量法，即可得出答案．
本题考查直线与平面平行和二面角、空间向量的应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：，
，，
，，，
椭圆方程为：．
动直线的方程为：，
由
得，
设，，
则．．
由对称性可设存在定点满足题设，
则，

，
由题意知上式对成立，且，解得．
存在定点，使得以为直径的适恒过这个点，且点的坐标为． 

【解析】利用椭圆的定义可得，结合题列出关系式，可得，即得，
由题可设直线的方程为：，设点，利用韦达定理法，结合条件可得，即得．
本题考查直线与椭圆的综合，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：函数的定义域为
当时，
当变化时，，的值变化情况如下表

由上表可知，函数单调递减区间是，单调递增区间是
极小值是，没有极大值

因为在上是单调增函数
所以在上恒成立
即不等式在上恒成立即在上恒成立
令则当时，
在上为减函数
的最大值为

故的取值范围为 

【解析】求出的导函数，列出，，的变化情况表，求出单调区间及函数的极值．
令的导数大于等于恒成立，分离出参数，构造新函数，通过导数求出新函数的最小值，令大于等于最小值即得到的范围．
求使函数单调的参数的范围时，若函数单增则令其导数大于等于恒成立；若单减，则令其导数小于等于恒成立．