河南省焦作市武陟一中2022—2023学年高二(下)期末考试-数学试卷及答案
展开这是一份河南省焦作市武陟一中2022—2023学年高二(下)期末考试-数学试卷及答案,共20页。试卷主要包含了函数的大致图象为,定义,已知函数的图象经过点,则等内容,欢迎下载使用。
焦作市武陟一中2022—2023学年高二(下)期末考试
数 学 试 卷
考生注意:
1.开考前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动,用橡皮檫干净后,再涂选其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合,则( )
A. B. C. D.
2.若复数z满足,为z的共轭复数,则( )
A. B.5 C. D.3
3.的展开式中的常数项为( ).
A.80 B.160 C.240 D.320
4.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
5.在长方体中,,现分别以AB,CD为轴,截去底面半径为3的两个四分之一圆柱,得到如图所示几何体,则该几何体的表面积为( )
A. B.
C. D.
6.定义:表示不大于x的最大整数已知函数,则( )
A.函数在(0,1]上单调递增
B.函数的最大值为0
C.函数在(0,3]上单调递减
D.函数的最小值为
7.已知分别为双曲线的左、右焦点,点P在C上,若,O为坐标原点,且的面积为,则双曲线C的渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数,若对任意的,总存在使得成立,则实数k的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.如图,在正方体中,下列结论中正确的有( )
A.平面
B.平面
C.与底面ABCD所成角的正切值是
D.与BD为异面直线
10.已知函数的图象经过点,则( ).
A.点是函数图象的一个对称中心
B.函数的最大值为2
C.函数的最小正周期是
D.直线是图象的一条对称轴
11.已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点,设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的( )
A.抛物线的方程是
B.抛物线的准线方程是
C.的最小值是
D.线段AB的最小值是6
12.已知直线,圆,则以下命题正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.直线l与圆C恒相交
C.圆C被x轴截得的弦长为
D.圆C被直线l截得的弦最短时,
三、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.某互联网公司借助手机微信平台推广自己的产品,对今年前5个月的微信推广费用(单位:百万元)与利润额(单位:百万元)进行了初步统计,得到下列表格中的数据:
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
30 | 40 | 60 | 70 |
经计算,月微信推广费用与月利润额满足线性回归方程,则的值为_______________.
14.的展开式中的系数为______(用数字作答).
15.已知圆柱的底面圆O的半径为4,矩形为圆柱的轴截面,C为圆O上一点,,圆柱的表面积为,则三棱锥的体积与其外接球的体积之比为____________.
16.已知等比数列满足,数列满足,记是数列的前n项和,则当时,n的最小值为________.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)在中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且.
(1)求A.
(2)若的面积,求的值.
18.(12分)已知数列为等比数列,设其前n项和为,公比,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列的前n项和为,求数列的前n项和.
19.(12分)如图,平面四边形ABCD中,,,,.
(1)若,求BD;
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
20.(12分)致敬百年,读书筑梦,某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩,党史网络知识竞赛”活动.并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计,得到如下人数分布表.规定:成绩在内,为成绩优秀.
成绩 | |||||||
人数 | 5 | 10 | 15 | 25 | 20 | 20 | 5 |
(1)根据以上数据完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关;
| 优秀 | 非优秀 | 合计 |
男 | 10 |
|
|
女 |
| 35 |
|
合计 |
|
|
|
(2)某班级实行学分制,为鼓励学生多读书,推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案:规定成绩达到优秀的同学,可抽奖2次,每次中奖概率为p(每次抽奖互不影响,且p的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率),中奖1次学分加5分,中奖2次学分加10分.若学生甲成绩在内,请列出其本次读书活动额外获得学分数X的分布列并求其数学期望.
参考公式:,.
附表:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
21.(12分)已知双曲线的右焦点为,点F到C的渐近线的距离为1.
(1)求C的方程.
(2)若直线与C的右支相切,切点为与直线交于点Q,问x轴上是否存在定点M,使得?若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
22.(12分)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若在区间,各恰有一个零点,求a的取值范围.
参 考 答 案
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.答案:D
解析:依题意,,,则,故选D.
2.答案:B
解析:因为,
所以,
,
所以,
故选:B.
3.答案:D
解析:因为展开式的通项为,则,其展开式中的常数项为.故选D.
4.答案:A
解析:第一步:根据定义判断函数的奇偶性由题意得的定义域为R,所以为奇函数,其图象关于原点对称,排除选项B,D.
第二步:根据某一点处函数值的大小排除其他选项又,排除选项C,故选A.
5.答案:C
解析:该几何体共有5个面,其中两个曲面的面积均为以3为底面半径,以6为母线长的圆柱的侧面的四分之一,所以其面积和为;
两侧的平面图形可看作矩形面积的两倍减去一个半径为3的圆,其面积为;
顶部的平面图形为矩形,其面积为36,故该几何体的表面积为,故选C.
6.答案:B
解析:当时,,函数单调递减,且;当时,,因为是和均为减函数,所以函数单调递减,且;
当时,,同理,函数单调递减,且;
当时,.
函数在[0,1)上单调递减,不可能在(0,1]上单调递增,A错误;,函数在(0,3]上不可能是单调递减函数,C错误;函数的最大值为0,B正确;函数没有最小值,D错误.故选B.
7.答案:A
解析:在中,,由余弦定理得,
得,故的面积,所以.
因为O是的中点,所以,两边同时平方得
,
因为,所以,所以,所以双曲线C的渐近线方程为,故选A.
8.答案:A
解析:在函数中,当时,是减函数,因此,;
当时,也是减函数,因此,.
当时,,即.
在函数中,由知,在上单调递增,
.
若,总存在使得,
则,解得,又,.故选A.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.答案:BCD
解析:因为平面,所以AC与平面不平行,所以A错误.连接,,易证,.因为,所以平面,所以B正确.因为底面ABCD,所以是与底面ABCD所成的角,设该正方体的棱长为1,则,,所以,所以C正确.由异面直线的定义可知,与BD为异面直线,所以D正确.故选BCD.
10.答案:ABD
解析:因为函数,,的图象经过点,所以,解得,又因为,所以,,
因为函数图象的对称中心是点,,
所以令
得
所以函数图象的对称中心是,,
当时,,所以点是函数图象的一个对称中心,所以A正确;
因为,所以的最大值为2,所以B正确;
因为函数的最小正周期,所以C错误;
因为函数图象的对称轴方程是,,
所以令,,得,,
当时,,所以直线是函数图象的一条对称轴,所以D正确.故选ABD.
11.答案:BC
解析:抛物线的焦点为,准线方程为,由点到焦点F的距离等于3,可得,解得,则抛物线C的方程为,准线方程为,故A错误,B正确;
易知直线l的斜率存在,,
设,,直线l的方程为
由消去y并整理,得,
所以,,
所以,
所以AB的中点Q的坐标为,
,
故线段AB的最小值是4,故D错误;
圆Q的半径,
在等腰中,,
当且仅当时取等号,
所以的最小值为,故C正确,故选BC.
12.答案:BC
解析:由题意,直线可化为,令,解得,即直线过定点,所以选项A错误;圆的方程可化为,点在圆C的内部,所以直线l与圆C恒相交,所以选项B正确;在圆中,令,得,所以,所以选项C正确;由于直线l过定点.又圆心为,由斜率公式得过定点和圆心的直线斜率,所以当直线l的斜率为2时,被圆C截得的弦长最短,此时,所以D选项错误,故选BC.
三、填空题:每小题5分,共4小题,共20分.
13.答案:50
解析:由题中数据可得.
因为线性回归方程对应的直线过点,
所以,解得.
14.答案:-800
解析:由题意知,在的展开式中取第4项,即,
的展开式中取第2项,即,
故的系数为.
故答案为:-800.
15.答案:
解析:本题考查三棱锥及其外接球的体积、圆柱的表面积.如图所示,由题意知圆柱的表面积,故.在中,,所以,所以,所以,.由题意知平面,所以,结合,得平面,所以.取的中点,则由与为直角三角形知,为三棱锥外接球的球心,球的半径,所以外接球的体积,所以.
16.答案:3
解析:因为,数列是等比数列,所以数列的公比.又,所以,故,所以,故数列是以为首项,为公比的等比数列,所以.由,得,所以,所以n的最小值为3.
四、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)答案:(1).
(2).
解析:(1)因为,所以由正弦定理得,
即,
化简得,
因为,所以.
(2)因为,所以,由,
得,所以,
则,
由正弦定理得.
18.(12分)答案:(1).
(2)前n项和为.
解析:(1)因为,,
所以.
,两式相除得,
解得,,
故数列的通项公式.
(2)由(1)得,
则,
故,
则,
所以数列的前n项和为.
19.(12分)答案:(1)
(2)四边形ABCD面积的最大值为
解析:(1)由正弦定理得,即,
则,即,
所以.
在中,由,,,
可得,,
所以,即.
(2).
由,得,
当且仅当时,等号成立,
所以,
故四边形ABCD面积的最大值为.
20.(12分)答案:(1)表格见解析,没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关.
(2)分布列见解析,数学期望为2.5.
解析:(1)补全2×2列联表如表所示.
| 优秀 | 非优秀 | 合计 |
男 | 10 | 40 | 50 |
女 | 15 | 35 | 50 |
合计 | 25 | 75 | 100 |
因为,
因此没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关.
(2)由题可知,X的所有可能取值为0,5,10,
且,
,
,
,
所以X的分布列为:
X | 0 | 5 | 10 |
P |
则X的数学期望.
21.(12分)答案:(1)
(2)
解析:(1)易知C的渐近线方程为,
所以到渐近线的距离,
所以,
所以C的方程为.
(2)由题意易知直线的斜率存在,设其方程为,联立与C的方程,消去y,得,
因为直线与C的右支相切,所以,
得,则.
设切点,则,
.
设,因为Q是直线与直线的交点,所以.
假设x轴上存在定点,使得,
则
,
故存在,使得,即,
所以x轴上存在定点,使得.
22.(12分)答案:(1)
(2)
解析:(1)当时,,
,
,
,
所求切线方程为,即.
(2),
1°当时,若,则,,,
在上无零点,不符合题意.
2°当时,.
令,则,在上单调递增,
,,
(a)若,则,时,
在上恒成立,
在上单调递增,
,在上恒成立,
在上恒成立,
在上单调递增,,
在,上均无零点,不符合题意.
(b)若,则,时,存在,使得.
在上单调递减,在上单调递增.
,,.
(ⅰ)当,即时,在上恒成立,
在上恒成立,
在上单调递增.
,当时,,
在上无零点,不符合题意.
(ⅱ)当,即时,
存在,,使得,
在,上单调递增,在上单调递减.
,,当时,,
在上存在一个零点,
即在上存在一个零点,
,当时,,
在上存在一个零点,即在上存在一个零点.
综上,a的取值范围是.
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