精品解析：广东省珠海市高一下学期期末数学试题（A组）

珠海市第二学期期末学生学业质量监测

高一数学试题

一､单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合的交集运算进行求解.

【详解】因为，

所以.

故选：C.

2. 不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D. ，或

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；

【详解】解：由，解得，即不等式的解集为；

故选：C

3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法直接求出z.

【详解】因为，所以.

故选：A

4. 下列函数最小正周期为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数的性质计算可得；

【详解】解：对于A，的最小正周期，故A错误；

对于B：的最小正周期，故B正确；

对于C：的最小正周期，故C错误；

对于D：的最小正周期，故D错误；

故选：B

5. 下列选项正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 且

【答案】C

【解析】

【分析】利用对数函数单调性逐项判断可得答案.

【详解】对于A，因为是单调递增函数，所以，故A错误；

对于B，因为是单调递减函数，所以，故B错误；

对于C，因为，所以，故C正确；

对于D，当时，是单调递减函数，当时，是单调递增函数，

所以当时，，当时，，故D错误.

故选：C.

6. 一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】依题意正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，利用勾股定理求出直径，再根据体积公式计算可得；

【详解】解：因为正方体的棱长为，所以其体对角线为，

所以外接球的直径即为，即外接球的半径，

所以外接球的体积；

故选：D

7. 正四棱台的上､下底面边长分别为，侧棱长为，则棱台的侧面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求棱台的斜高，然后利用侧面积公式进行求解.

【详解】由题意，正四棱台的侧面是等腰梯形，且其上､下底面边长分别为，腰长为，所以斜高为.

所以侧面积为().

故选：B.

8. 已知平行四边形三个顶点分别对应的复数为，则第四个顶点对应的复数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解.

【详解】由题知，，，，设.

则，.

因为为平行四边形，所以.

由，解得，

所以点对应的复数为.

故选：D.

9. 设是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ）

A. 若，，，则

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若，且l与所成的角和m与所成的角相等，则

【答案】B

【解析】

【分析】举反例可判断AD；由面面平行的判断可判断B；由线面的位置关系可判断C.

【详解】对于A，在如下图正方体中， ，，，但与不垂直，所成角为，故A错误；

对于B， 若，，则，故B正确；

对于C， 若，，则或者，故C错误；

对于D，如下图，在正方体中，，且l与所成的角和m与所成的角相等为，但则不平行，故D错误.

故选：B.

10. 端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为时，该裹蒸粽的高的最小值为（    ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】A

【解析】

【分析】要使正四面体的高最小，当且仅当球与正四面体相内切，内切球的半径为，根据球的体积求出，再根据等体积法求出；

【详解】解：要使正四面体的高最小，当且仅当球与正四面体相内切，

设正四面体的棱长为，高为，内切球的半径为，则，解得，

如图正四面体中，令为的中点，为底面三角形的中心，则底面

所以，即.

故选：A

二､多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，请将符合题目要求的选项填涂在答题卡上，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

11. 设是所在平面内的一点，且，则下列结论不正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题设知为中点，数形结合并根据向量加法、数乘的几何意义判断各项的正误即可.

【详解】

由知：为中点，

故，，，B正确，A、D错误；

，C错误；

故选：ACD

12. 如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为正方形，.点分别为的中点.则在原四棱锥中，下列结论正确的是（    ）

A. 平面平面 B. 平面

C. 平面 D. 平面平面

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A：利用面面平行的判定定理证明平面平面；对于B：利用线面平行的判定定理证明平面；对于C：利用垂线面直的判定定理证明平面；对于D：由平面平面可判断平面平面不成立.

【详解】如图示，在四棱锥中.

对于A：分别为的中点，所以.

又面ABCD，面ABCD，所以面ABCD，

同理：面ABCD.

因为面EFGH，面EFGH，,

所以平面平面.故A正确；

对于B：, 面PAD，面PAD，所以平面.故B正确；

对于C：在四棱锥中，底面四边形为正方形，.

所以四棱锥为正四棱锥.

连接AC,BD交于点O，则面，所以，

因四边形为正方形，所以.

又PO,BD交于点O，所以平面.故C正确；

对于D：因为平面，所以平面平面.

所以平面平面不成立.故D错误.

故选：ABC.

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡上.）

13. 设是定义在上的奇函数，且，则___________.

【答案】1

【解析】

【分析】根据奇函数的性质求解即可.

【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，

因为，所以，

所以.

故答案为：1.

14. 已知点，则___________.

【答案】-15.

【解析】

【分析】直接利用向量的坐标表示，再进行数量积运算即可.

【详解】因为，所以，

所以.

故答案为：-15.

15. 水平放置的平行四边形，用斜二测画法画出它的直观图，如图所示.此直观图恰好是个边长为的正方形，则原平行四边形的面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据斜二测法的画图原则求出原平行四边形的边长和高，进而求面积.

【详解】由题设，，故原平行四边形中上下底的高，

平行四边形，，

所以原平行四边形的面积为.

故答案为：

16. 如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱冰块的侧面积的最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】设该圆锥的轴截面正三角形的边长为a，先求出a=8. 设圆柱的底面圆半径为x,高为h，建立出侧面积的函数，利用二次函数求出最大值.

【详解】设该圆锥的轴截面正三角形的边长为a，由该圆锥轴截面的面积为,得,所以a=8,所以该圆锥底面圆半径为4，高为.

设圆锥中放置的圆柱的底面圆半径为x,高为h，其中.

如下图所示：

由可得：，即，所以.

所以圆柱冰块的侧面积为.

由二次函数的性质可得： 当时，最大.

故答案为：

四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17. 已知.

（1）若，求实数的值；

（2）当时，若与垂直，求实数的值.

【答案】（1）-2；    （2）2

【解析】

【分析】（1）利用向量平行列方程即可求解；（2）先表示出与，利用向量垂直列方程即可求解.

【小问1详解】

因为，且，

所以，解得：.

【小问2详解】

当时，，所以，.

因为与垂直，所以，解得：.

18. 已知，其中.

（1）求；

（2）若，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据同角的关系即可求解；

（2）根据正弦的和角公式即可求解.

【小问1详解】

由可得，因为，故，进而

【小问2详解】

，故；

19. 如图，在三棱柱中，，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）若侧面为菱形，求证：平面.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线性质有，根据线面平行的判定证结论；

（2）线面垂直的判定有面，根据线面垂直、菱形的性质可得、，最后由线面垂直的判定证结论.

【小问1详解】

连接交于，连接，

由为三棱柱，则为平行四边形，

所以是中点，又是的中点，

故在△中，面，面，

所以平面.

【小问2详解】

由，而，面，

所以面，又面，则，

由侧面为菱形，故，

又，面，故平面.

20. 如图，在中，，点在边上，.

（1）求的长度；

（2）若，求的长度.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理即可求出；（2）直接用余弦定理求出.

【小问1详解】

在中，，.

由正弦定理得：，即，解得：.

【小问2详解】

在中，，，.

由余弦定理得：

.

21. 已知，且与相互垂直.

（1）求向量与向量的夹角的大小；

（2）求.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由，结合已知即可求夹角的大小；

（2）利用向量数量积的运算律有，即可求模.

【小问1详解】

由题意，，

所以，可得，而，

所以.

【小问2详解】

由，

所以.

22. 如图，在长方体中，，.求

（1）求直线和直线所成的角的大小；

（2）求直线与平面所成的角的大小.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由于∥，所以为直线和直线所成的角，然后在中求解即可，

（2）由于平面，所以为直线与平面所成的角，然后在中求解

【小问1详解】

在长方体中，，则,

因为∥，

所以为直线和直线所成的角，

在中，，

因为为锐角，

所以，

所以直线和直线所成的角的大小为，

【小问2详解】

连接，在长方体中，，，则，

因平面，

所以为直线与平面所成的角，

在中，，

因为为锐角，

所以