精品解析：广东省汕头市高一下学期期末数学试题

汕头市~普通高中教学质量监测

高一数学

一､单选题（本题共8小频.每小颗5分.北40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件可得，然后可得答案.

【详解】因为，，所以

所以

故选：A

2. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法法则计算可得；

【详解】解：

故选：C

3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．

4. 下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.

【详解】因为函数的单调递增区间为，

对于函数，由，

解得，

取，可得函数的一个单调递增区间为，

则，，A选项满足条件，B不满足条件；

取，可得函数的一个单调递增区间为，

且，，CD选项均不满足条件.

故选：A.

【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．

5. 函数的部分图象的大致形状是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】运用排除法，由，得出为奇函数， ，可排除得选项．

【详解】由，所以为奇函数，排除A，C；

因为 的大于0的零点中，最小值为；又因为，排除B，

故选：D．

【点睛】本题考查函数的图象的辨别，常从函数的奇偶性，特殊点的函数值的正负，函数的单调性运用排除法，属于基础题．

6. 函数的最小正周期是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先由诱导公式及两角的正弦公式将原式展开，再用二倍角公式及半角公式降幂，结合辅助角公式化为一个角的三角函数，用周期公式求出周期;

【详解】

.∴.

故选C.

【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、诱导公式、周期公式、辅助角公式等知识，熟练运用这些公式是解题的关键，属于基础题.

7. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意及圆柱、球的对称，可求得圆柱底面圆半径，根据圆柱表面积的求法，即可得答案.

【详解】由题意得球的半径为，设圆柱底面圆半径为r，

根据圆柱和球的对称性可得，

所以圆柱的表面积.

故选：D

8. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过8后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（    ）.

A. 24 B. 26 C. 8 D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】依题意有= ，解得，得到，再令,求解得到的值，减去最初的即得所求．

【详解】依题意有= ，即 ，

两边取对数得 ，

当容器中只有开始时的八分之一，则有，

 两边取对数得，

所以再经过的时间为．

故选:．

二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9. 维生素又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每克维生素的含量（单位：），得到数据如下.则下列说法不正确的是（    ）

猕猴桃 

柚子

A. 每克柚子维生素含量的众数为

B. 每克柚子维生素含量的分位数为

C. 每克猕猴桃维生素含量的平均数高于每克柚子维生素含量的平均数

D. 每克猕猴桃维生素含量的方差高于每克柚子维生素含量的方差

【答案】BC

【解析】

【分析】利用众数的概念可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，每克柚子维生素含量众数为，A对；

对于B选项，每克柚子维生素含量的分位数为，B错；

对于C选项，每克猕猴桃维生素含量的平均数为，

每克柚子维生素含量的平均数为，C错；

对于D选项，每克猕猴桃维生素含量的方差为

，

每克柚子维生素含量的方差为

，D对.

故选：BC.

10. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数的单调递增区间是

B. 函数的值域是R

C. 函数的图象关于对称

D. 不等式的解集是

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据对数函数相关复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.

【详解】对于A:因为为增函数,所以求的单调递增区间即求的单调递增区间,即.又对数函数的定义域有,解得.故函数的单调递增区间是.A错误；

对于B：，由对数函数的定义域解得：，则，由于，所以，即函数的值域是，B正确；

对于C: ,关于对称，所以函数的图象关于对称，故C正确；

对于D: ,即，解得：，故D正确；

故选：BCD.

11. 已知向量，，则下列结论正确的是（    ）.

A. 若，则

B. 若，则

C. 若取得最大值，则

D. 的最大值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据向量平行的坐标运算，结合同角三角函数的关系，可判断A的正误；根据向量垂直的坐标运算，结合同角三角函数的关系，可判断B的正误；根据数量积公式、辅助角公式、诱导公式，化简整理，即可判断C的正误；根据求模公式、辅助角公式，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：若，则，所以，故A错误；

对于B：若，则，所以，故B正确；

对于C：，其中，

当取得最大值时，则，

所以，故C正确；

对于D：，

所以，其中，

当时，，故D正确

故选：BCD

12. 已知函数，则（    ）

A. 是周期函数 B. 的图象必有对称轴

C. 的增区间为 D. 的值域为

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A，由可判断；对B，由可判断；对C，根据和的大小可判断；对D，求出在的取值范围即可.

【详解】对A，，故是的周期，故A正确；

对B，，故关于轴对称，故B正确；

对C，当时，区间为，，，故在不单调递增，故C错误；

对D，由AB可得，则关于对称，且周期为，

故值域即为在的取值范围，此时，

，，，，

可知在单调递增，

，，故的值域为.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题考查与三角函数相关函数的性质问题，解题的关键是判断出函数的周期和对称轴.

三､填空题（每小题5分，共20分）.

13. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.

【答案】

【解析】

【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．

【详解】根据题意可得基本事件数总为个.

点数和为5的基本事件有，，，共4个.

∴出现向上的点数和为5的概率为.

故答案为：.

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______．

【答案】3

【解析】

【分析】利用基本不等式求目标式最小值，注意等号成立条件.

【详解】由题设，，当且仅当时等号成立.

故答案为：3

15. 已知，，，则、、 从小到大的顺序为_______.

【答案】

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；

【详解】解：，，，即，，

所以

故答案：

16. 斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓（yùn）都”或“潮（qiàn）堵”：其上底是一矩形，下底是一线段.有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤（mào）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是___________.

【答案】20

【解析】

【分析】如图所示：过A作，垂足为M，连接MD，过B作，垂足为N，连接CN，将所求几何体分割成1个直三棱柱和2个全等的三棱锥，根据柱体、锥体的体积公式，代入数据，即可得答案.

【详解】过A作，垂足为M，连接MD，过B作，垂足为N，连接CN，如图所示

则三棱柱为直棱柱，三棱锥与三棱锥全等，

由题意得AB=3，BC=2，EF=6，底边BC上的高为5，

所以

所以该几何体的体积.

故答案为：20

四､解答题（共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 已知函数（，且）满足.

（1）求的值；

（2）解不等式.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据解析式及题中所给数据，代入即可得a值

（2）由（1）可得解析式，代入不等式，根据指数的运算性质即单调性，即可得答案.

【小问1详解】

因为

所以，整理得，解得或（舍）

【小问2详解】

由（1）可得，

所以，即为，整理可得，

因为为单调递增函数，

所以，解得，

所以不等式的解集为

18. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的（即百万分之一）的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在条鱼的样本中发现的汞含量（单位：）如下：

（1）因为样本数据的极差为，所以取区间为，组距为，请把频率分布表补充完整；

（2）请把频率分布直方图补充完整；

（3）求得上述样本数据的平均数为和标准差为，则在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、倍标准差的范围内？

【答案】（1）频率分布表见解析   

（2）频率分布直方图见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据分组、频数、频率，结合题中数据可制成频率分布表；

（2）根据频率分布表可作出频率分布直方图；

（3）求出相应的区间，结合样本数据可得结果.

【小问1详解】

解：根据题意，频率分布表如下表所示：

【小问2详解】解：频率分布直方图如下图所示：

【小问3详解】

解：平均数为，标准差为，，，

在上述样本中，其中汞含量在范围内的鱼的条数为.

19. 如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点.

（1）当为的中点时，求异面直线与所成的角的余弦值；

（2）求与平面所成角的正切值的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）过点作，垂足为，连接，则，得到或其补角是异面直线与所成的角，结合题设条件和，即可求解；

（2）由平面，得到是与平面所成的角且，

当最小时，得出，即可求解.

【小问1详解】

解：如图所示，过点作，垂足为，连接，则，

所以或其补角是异面直线与所成的角，

在中，因为，所以，

又因为，，且，

在中，，

所以，

即异面直线与所成的角的余弦值为.

【小问2详解】

解：由是长方体知，平面，

所以是与平面所成的角，则，

当最小时，最大，这时，

又由直角中，可得，得，

即与平面所成角的正切值的最大值为.

20. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且.

（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

（2）记为，为，求的值.

【答案】（1）2，18平方（2）

【解析】

【分析】（1）由同角的平方关系，求出，在中结合余弦定理即可求出结果；

（2）在中结合正弦定理求得，然后根据同角的平方关系求出，再由平面几何图形以及诱导公式求出和，然后利用两角和的正弦公式即可求出结果.

【详解】（1）因为，且角为钝角，所以.

在中，由余弦定理得，，

所以，即，

解得或（舍），

所以小岛与小岛之间的距离为.

∵，，，四点共圆，∴角与角互补，

∴，，

在中，由余弦定理得：，

∴，

∴.

解得（舍）或.

∴

.

∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方.

（2）在中，由正弦定理，，即，

解得

又因为，

所以，且为锐角，所以为锐角，

所以，又因为，，

 所以.

21. 如图，已知在矩形中，，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：面；

（3）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；

（2）翻折前，利用勾股定理证明出，翻折后则有，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（3）过点在平面内作，垂足为点，连接，分析可知二面角的平面角为，证明出，计算出的长，即可求得的余弦值，即为所求.

【小问1详解】

证明：取线段的中点，连接、，

翻折前，在矩形中，为的中点，，则，

所以，，

翻折后，在三棱锥中，、分别为、的中点，则，

平面，平面，平面，

为的中点，且，则，所以，为的中点，

又因为为的中点，所以，，

平面，平面，所以，平面，

，所以，平面平面，

因为平面，平面.

【小问2详解】

证明：在矩形中，，，

，，

因为，则，

因为，为的中点，所以，，则，

所以，，所以，，则，

在三棱锥中，则有，，

因为，所以，面.

【小问3详解】

解：在三棱锥中，，，，

所以，，，

过点在平面内作，垂足为点，连接，

平面，平面，，

因为，，平面，

平面，，所以，二面角的平面角为，

在中，，，，

由余弦定理可得，

所以，，所以，，

因为平面，平面，，

所以，，

故，因此，二面角的余弦值为.

22. 已知函数，

（1）判断 的奇偶性并证明；

（2）若，求的最小值和最大值；

（3）定义，设.若在内恰有三个不同的零点，求a的取值集合.

【答案】（1）偶函数，证明见解析.   

（2），   

（3）

【解析】

【分析】（1）结合奇偶性的定义直接证明即可；

（2）将看作整体，结合二次函数的性质即可求出最值；

（3）由于，则转化为或，然后分类讨论即可求出结果.

【小问1详解】

是偶函数

证：因为的定义域为,

且

∴f（x）是偶函数

【小问2详解】

当，则

又

∴当时，

当时，

【小问3详解】

因为都是偶函数.

所以在上是偶函数，因为恰有3个零点，所以，则有：或，

① 当时，即且时，因为当，令，因为，解得或，

所以恰有3个零点，即满足条件：.

② 当时，即且时，此时，

当时，只有1个零点，且，所以恰有3个零点等价于恰有2个零点，

所以，解得，此时有2个零点符合要求，

当时只有一个零点x=0，有2个零点符合要求，

当时，解得或，

令解得或（舍去），

所以的根为，要使恰有3个零点，则

综上：

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．