题型九 二次函数综合题 类型九 二次函数与菱形有关的问题（专题训练）-中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

题型九 二次函数综合题

类型九 二次函数与菱形有关的问题（专题训练）

1.（2022·湖南湘潭）已知抛物线．

(1)如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接．

①求该抛物线所表示的二次函数表达式；

②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

(2)如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围．

2．（2021·湖南中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．

（1）求的值；

（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．

①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；

②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．

3.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．

4.（2021·山西中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．

（1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；

（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点．

①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长．

5.（2021·内蒙古）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；

（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6.（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．