2023北京西城高二（上）期末数学（教师版）

这是一份2023北京西城高二（上）期末数学（教师版），共15页。试卷主要包含了 直线倾斜角等于， 抛物线的准线方程为， 在的展开式中，的系数为等内容，欢迎下载使用。
2023.1
本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线倾斜角等于（ ）
A B. C. D.
2. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 在空间直角坐标系中，点，则（ ）
A. 直线坐标平面B. 直线坐标平面
C. 直线坐标平面D. 直线坐标平面
4. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 36
5. 在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
8. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）
A. B. C. D.
10. 设点，，直线，于点，则的最大值为（ ）
A. B. 6C. 4D.
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________.
12. 在的展开式中，常数项为_____．
13. 设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则__________.
14. 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
15. 如图，在正方体中，为棱中点，是正方形内部（含边界）的一个动点，且平面.给出下列四个结论：
①动点的轨迹是一段圆弧；
②存在符合条件的点，使得；
③三棱锥的体积的最大值为；
④设直线与平面所成角为，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是__________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动.
（1）共有多少种不同的选择方法？
（2）若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？
17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角余弦值.
18. 在平面直角坐标系中，，曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值的点组成的集合.
（1）若曲线是一个圆（或圆的一部分），求的值；
（2）若曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率，求的取值范围.
19. 已知椭圆的一个焦点为，其长轴长是短轴长的2倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）记斜率为1且过点的直线为，判断椭圆上是否存在关于直线对称的两点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.
20. 如图，在四棱柱中，平面，为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.
条件①：；条件②：.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离；
（3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
21. 已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为.
（1）求实数的值；
（2）若过点可作两条互相垂直的直线，且均与椭圆相切.证明：动点组成的集合是一个圆.
参考答案
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 【答案】D
【解析】
【分析】由得，据此可得答案.
【详解】由得，得直线斜率为，则倾斜角为.
故选：D
2. 【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程.
【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：，
故选：D.
3. 【答案】C
【解析】
【分析】求出及三个坐标平面的法向量，根据与法向量的关系判断．
【详解】，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是，这三个法向量与都不平行，
但，点均不在坐标平面上，因此与坐标平面平行，
故选：C．
4. 【答案】C
【解析】
【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.
【详解】展开式的通项公式，
令，得，
所以在的展开式中，的系数为，
故选：C
5. 【答案】D
【解析】
【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出的值即可得出答案.
【详解】长方体中，，，
，平面,平面,,
又平面平面，
为二面角所成的平面角，
，
所以二面角的余弦值为.
故选：D.
6. 【答案】B
【解析】
【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解.
【详解】因为直线与圆相离，
所以圆心到直线的距离，
解得或，
故选:B.
7. 【答案】B
【解析】
【分析】先排好教师再排学生即可.
【详解】2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有 种排法，
所以共有 种排法；
故选：B.
8. 【答案】A
【解析】
【分析】
计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案.
【详解】直线与直线平行，则，或，
验证均不重合，满足.
故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
9. 【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解.
【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，
当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长.
把代入椭圆方程可得：，
所以当水位上升时，水面的宽度为，
故选：.
10. 【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得直线的方程，再联立直线的方程，消后可得到的轨迹方程为，则所求的最大值为圆心到点的距离加上半径，由此即可求解．
【详解】依题意可得直线方程为，
联立，消整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
故的最大值为，
故选：B．
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 【答案】
【解析】
【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.
【详解】因为，所以线段的中点，且.
所以与垂直的直线的斜率为，
所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即.
故答案为：
12. 【答案】
【解析】
【分析】根据展开式的通项公式求解即可.
【详解】在的展开式的通项公式为，
所以令，解得，
所以常数项为
故答案为：．
13. 【答案】
【解析】
【分析】由题意可设，且满足，因为，由两点间的距离公式代入可求出，即可求出.
【详解】由题意可得，，，设，
且满足，此时，
则，
解得：，此时，所以，
故.
故答案为：
14. 【答案】2（满足皆可）
【解析】
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
15. 【答案】②③④
【解析】
【分析】对于①，利用线线平行可证得平面平面，进而知动点的轨迹；
对于②，利用垂直的性质的可判断；
对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；
对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；
【详解】对于①，分别取和的中点，连接，，，
由正方体性质知，，平面，平面，所以平面,又平面，，所以平面平面，
当在上运动时，有平面，故动点的轨迹是线段，故①错误；
对于②，当为线段中点时，，，
又，，故②正确；
对于③，三棱锥的体积，
又所以三棱锥的体积的最大值为，故③正确；
对于④，连接，则与平面所成角，则，
又，所以的取值范围是，故④正确；
故正确结论的序号是①③④，
故答案为：②③④
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 【答案】（1）35 （2）30
【解析】
【分析】（1）7名志愿者中选出3人共有种；
（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，即.
【小问1详解】
7名志愿者中选出3人共有种；
【小问2详解】
选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有种.
17. 【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面与平面的法向量，即可求得二面角的余弦值
【小问1详解】
由平面，根据线面垂直的性质定理可知，
又因为底面为正方形，所以，
又因为，且PA,BA含于平面PAB,所以平面；
为线段的中点，平面，
所以，
【小问2详解】
根据题意可知，以A点为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则；
则，
设平面的一个法向量为，
得，令可得，，即；
易知，是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则
所以，平面与平面夹角余弦值为
18. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足圆的条件即可求得的值.
（2）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足双曲线的条件及离心率即可求得的取值范围.
【小问1详解】
设且，，由题意知，的斜率存在，
则即，
可化为，
因为曲线是一个圆（或圆的一部分），所以，
可化为，
所以解得.
小问2详解】
设且，，由题意知，的斜率存在，
则即，
可化为，
因为曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以，
可化为，
所以，
因为，
所以解得，
所以的取值范围为.
19. 【答案】（1）
（2）不存在
【解析】
【分析】（1）由及，根据，解得，写出方程.
（2）先假设存在，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得中点坐标，代入，求得，验证，得结论不存在关于直线对称的两点.
【小问1详解】
椭圆的方程
【小问2详解】
假设存在关于对称的两点
，设的方程为
直线与椭圆的方程联立得
设
则，
的中点代入
解得
此时，
所以椭圆上不存在关于直线对称的两点.
20. 【答案】（1）
（2）
（3）的长为或.
【解析】
【分析】选①或②，都能得到，，后如图以为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.
【小问1详解】
若选择①，因平面ABCD，平面ABCD，则，
又，平面，平面，，则
平面，又平面，则；
若选择②，做，交AB于F，又，则四边形DCFA是平行四边形，则，又，则.
则在中，，得，又，则.
故，则如图建立以A为原点的空间直角坐标系.
则，
得，则直线与所成角的余弦值为：
.
【小问2详解】
因，
则.
设平面的法向量为，则，
取，则求点到平面的距离.
【小问3详解】
因点在线段上，则设，其中.
又，则.又，
设平面法向量为，则，
取，则直线与平面所成角的正弦值为：
或.
得线段的长为或.
21. 【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而代入切线中的，化简即可求解.
【小问1详解】
椭圆的焦点在轴上，且离心率为，所以，解得，
【小问2详解】
当时，椭圆方程为，
设与椭圆相切，且斜率存在直线方程为，
所以，
由于相切，所以，化简得—①，
设过点且斜率为直线方程为，即，
所以将代入①得，
化简得—②，
将代入②得，化简得—③，
由②③相加得，
当其中一条切线无斜率时，此时,也满足，
综上可知：动点组成的集合是一个圆，且圆的方程为
【点睛】根据直线与曲线相切，转化成判别式为0，进而得到等量关系式，可将关系式进行适当的变形，根据弦长公式，或者利用向量共线等方式，化简运算即可求解.