2022北京十一学校高二（上）期末数学（教师版）

这是一份2022北京十一学校高二（上）期末数学（教师版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022北京十一学校高二（上）期末
数 学
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项是正确选项）
1．（3分）以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（　　）
A．y2＝8x B．y2＝﹣8x
C．y2＝8x或y2＝﹣8x D．x2＝8y或x2＝﹣8y
2．（3分）设P是双曲线x216-y29=1上的点，若F1，F2是双曲线的两个焦点，则||PF1|﹣|PF2||等于（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
3．（3分）已知f(x)=sinxx，那么函数在x＝π处的瞬时变化率为（　　）
A．-1π B．0 C．-1π2 D．1π
4．（3分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A（3，1），M为抛物线上一点，则|MA|+|MF|的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（3分）函数y=4xx2+1的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（3分）双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论不正确的是（　　）
A．该双曲线的离心率为53
B．该双曲线的渐近线方程为y=±43x
C．点P到两渐近线的距离的乘积为14425
D．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为32
8．（3分）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）
A．72元 B．300元 C．512元 D．816元
9．（3分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
x
﹣1
0
2
4
5
f（x）
3
1
2.5
1
3
f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示．给出下列四个结论：
①f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增；
②f（x）有2个极大值点；
③f（x）的值域为[1，3]；
④如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是（　　）

A．③ B．①④ C．②③ D．③④
10．（3分）已知椭圆C1：x2m2+y2＝1（m＞1）与双曲线C2：x2n2-y2＝1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（　　）
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
二、填空题（共8个空，每空4分，共32分.）
11．（4分）若P1（1，1），P2（0，1），P3(-1，32)，P4(1，32)四点中恰有三点在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，则椭圆C的方程为　 　．
12．（4分）点P是椭圆x216+y29=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1||PF2|＝12，则∠F1PF2的大小　 　．
13．（4分）函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+5在[﹣4，4]上的最大值为　 　．
14．（4分）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是　 　．
15．（4分）已知f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（1）＝3且f（x）的导函数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2，则不等式f（x）＜2x+1的解集为 　 　．
16．（4分）若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则a的值为　 　．
17．（4分）关于曲线C：1x2+1y2=1，有如下结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线x±y＝0对称；
③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；
④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝2无公共点；
⑤曲线C与曲线D：|x|+|y|＝22有4个公共点，这4点构成正方形．
其中正确结论的个数是 　 　．
18．（4分）若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y＝kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”，已知函数f（x）＝x2（x∈R），g（x）=1x（x＜0），h（x）＝2elnx，有下列命题：
①F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈(-132，0)内单调递增；
②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；
③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；•
④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y＝2ex﹣e．
其中真命题为　 　（请填所有正确命题的序号）
三、解答题（19题12分，20题12分，21题14分，共38分）
19．（12分）已知抛物线E：y2＝8x．
（1）求抛物线的焦点及准线方程；
（2）过点P（﹣1，1）的直线l1与抛物线E只有一个公共点，求直线l1的方程；
（3）过点M（2，3）的直线l2与抛物线E交于点A，B．若弦AB的中点为M，求直线l2的方程．
20．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小．
21．（14分）已知函数f（x）=2x+a2x+alnx，实数a＞0．
（1）当a＝2时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）在区间（0，10）上的单调性和极值情况；
（3）若存在x∈（0，+∞），使得关于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求实数a的取值范围．

参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项是正确选项）
1．（3分）以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（　　）
A．y2＝8x B．y2＝﹣8x
C．y2＝8x或y2＝﹣8x D．x2＝8y或x2＝﹣8y
【分析】根据顶点在原点，对称轴为x轴，可设抛物线方程为：y2＝±2px，利用焦点到准线的距离为4，即可求得抛物线方程．
【解答】解：根据顶点在原点，对称轴为x轴，可设抛物线方程为：y2＝±2px．
∵焦点到准线的距离为4，
∴p＝4，
∴所求抛物线方程为y2＝±8x．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，解题的关键是定型与定量，属于基础题．
2．（3分）设P是双曲线x216-y29=1上的点，若F1，F2是双曲线的两个焦点，则||PF1|﹣|PF2||等于（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
【分析】根据双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||＝2a，结合双曲线的方程可得答案．
【解答】解：由双曲线x216-y29=1，可得a＝4，
根据双曲线的定义可得：||PF1|﹣|PF2||＝2a＝8，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的定义，属于基础题．
3．（3分）已知f(x)=sinxx，那么函数在x＝π处的瞬时变化率为（　　）
A．-1π B．0 C．-1π2 D．1π
【分析】先利用导数的计算公式求出f′（x）=xcosx-sinxx2，再根据导数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵f(x)=sinxx，∴f′（x）=xcosx-sinxx2，
∴f′（π）=πcosπ-sinππ2=-1π，
∴函数在x＝π处的瞬时变化率为-1π，
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的定义，导数的计算公式，比较基础．
4．（3分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A（3，1），M为抛物线上一点，则|MA|+|MF|的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】作出图象，过点M作准线x＝﹣1的垂线，垂足为H，结合图形可得当且仅当三点M，F，H共线时|MA|+|MH|最小，求解即可．
【解答】解析：设M（x0，y0），过点M作准线x＝﹣1的垂线，垂足为H，
由抛物线的定义可知|MF|＝|MH|，
则问题转化为|MA|+|MH|的最小值，
结合图形可得当且仅当三点M，F，H共线时|MA|+|MH|最小，
其最小值为|AH|＝3﹣（﹣1）＝4，
故选：B．

【点评】本题考查了抛物线的定义，转化思想与数形结合的数学思想，属于基础题．
5．（3分）函数y=4xx2+1的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】解：函数y=4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，
函数y＝f（x）=4xx2+1，则f（﹣x）=-4xx2+1=-f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，
当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
6．（3分）已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可．
【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1x+2ax=2ax2+1x，
a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
故a＞0⇒f（x）递增，是充分条件，
由f（x）递增，得a＞0或a＝0，不是必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道常规题．
7．（3分）双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论不正确的是（　　）
A．该双曲线的离心率为53
B．该双曲线的渐近线方程为y=±43x
C．点P到两渐近线的距离的乘积为14425
D．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为32
【分析】由双曲线方程求出a，b，c，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：由题意可知，a＝3，b＝4，c＝5，
故离心率e=53，故A正确；
由双曲线的性质可知，双曲线线x29-y216=1的渐近线方程为y＝±43x，故B正确；
设P（x，y），则P到两渐近线的距离之积为|4x-3y|5•|4x+3y|5=|16x2-9y2|25=16×925=14425，故C正确；
若PF1⊥PF2，则△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6（不妨取P在第一象限），
∴(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|＝100﹣2|PF1||PF2|，
解得|PF1||PF2|＝32，可得S△PF1F2=12|PF1||PF2|=16，故D错误，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线性质的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题．
8．（3分）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）
A．72元 B．300元 C．512元 D．816元
【分析】设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为16x，设箱子总造价为f（x）元，则f（x）＝15×16+12×3（2x+32x）＝72（x+16x）+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价．
【解答】解：设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为16x，
设箱子总造价为f（x）元，
∴f（x）＝15×16+12×3（2x+32x）＝72（x+16x）+240≥144x×16x+240＝816，
当且仅当x=16x，即x＝4时，
f（x）取最小值816．
故选：D．
【点评】本题考查箱子的最低总造价的求法，考查长方体的结构特征、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
9．（3分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
x
﹣1
0
2
4
5
f（x）
3
1
2.5
1
3
f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示．给出下列四个结论：
①f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增；
②f（x）有2个极大值点；
③f（x）的值域为[1，3]；
④如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是（　　）

A．③ B．①④ C．②③ D．③④
【分析】直接利用函数的导函数的图象，进一步画出函数的图象，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调区间，函数的极值和端点值进一步判断①②③④的结论．
【解答】解：根据函数的导数f′（x）的图象，
整理出函数f（x）的图象，
如图所示：

对于①，f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，故①错误；
对于②，f（x）有1个极大值点，2个极小值，故②错误；
对于③，根据函数的极值和端点值f（x）的值域为[1，3]，故③正确；
对于④，如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：函数的图象和导函数的图象的关系，函数的极值和函数的端点值的关系，函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10．（3分）已知椭圆C1：x2m2+y2＝1（m＞1）与双曲线C2：x2n2-y2＝1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（　　）
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
【分析】由题意可得m2﹣1＝n2+1，即m2＝n2+2，由条件可得m＞n，再由离心率公式，即可得到结论．
【解答】解：由题意可得m2﹣1＝n2+1，即m2＝n2+2，
又m＞1，n＞0，则m＞n，
由e12•e22=m2-1m2•n2+1n2=n2+1n2+2•n2+1n2
=n4+2n2+1n4+2n2
＝1+1n4+2n2＞1，
则e1•e2＞1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的离心率的关系，考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及转化思想和运算能力，属于中档题．
二、填空题（共8个空，每空4分，共32分.）
11．（4分）若P1（1，1），P2（0，1），P3(-1，32)，P4(1，32)四点中恰有三点在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，则椭圆C的方程为　x24+y2=1　．
【分析】由于P3，P4关于轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点，C不经过点P1，然后求出a，b，即可得到椭圆的方程．
【解答】解：由于P3，P4关于轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点，所以1a2+34b2=1．
又由1a2+1b2＞1a2+34b2=1知，C不经过点P1，所以点P2在上，所以b＝1．
因此a2＝4，故C的方程为x24+y2=1．
故答案为：x24+y2=1．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属基础题．
12．（4分）点P是椭圆x216+y29=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1||PF2|＝12，则∠F1PF2的大小　60°　．
【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，已知条件，转化求解即可．
【解答】解：椭圆x216+y29=1，
可得2a＝8，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
可得m+n=2a=8mn=124c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2，
化简可得：cos∠F1PF2=12
∴∠F1PF2＝60°
故答案为：60°．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
13．（4分）函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+5在[﹣4，4]上的最大值为　10　．
【分析】求导f′（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x+1）（x﹣3）；由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值．
【解答】解：∵f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+5，
∴f′（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x+1）（x﹣3）；
故当x∈[﹣4，﹣1），（3，4]时，f′（x）＞0；
当x∈（﹣1，3）时，f′（x）＜0；
故f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+5在∈[﹣4，﹣1），（3，4]上是增函数，
在（﹣1，3）上是减函数，
而f（﹣1）＝﹣1﹣3+9+5＝10，
f（4）＝64﹣48﹣36+5＝﹣15；
故函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+5在[﹣4，4]上的最大值为10；
故答案为：10．
【点评】本题考查了函数的最值的求法及导数的综合应用，属于中档题．
14．（4分）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是　y2＝16x　．
【分析】题意转化为点M与点F（4，0）的距离与它到直线l：x+4＝0的距离相等，
满足抛物线的定义，求解即可．
【解答】解：依题意可知：点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，
转化为点M与点F（4，0）的距离与它到直线l：x+4＝0的距离相等，
满足抛物线的定义，所以P＝8，点M的轨迹方程是y2＝16x
故答案为：y2＝16x
【点评】本题考查抛物线的定义，轨迹方程的求法，是基础题．
15．（4分）已知f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（1）＝3且f（x）的导函数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2，则不等式f（x）＜2x+1的解集为 　（1，+∞）　．
【分析】构造函数F（x）＝f（x）﹣2x﹣1，利用导数函数函数的单调性，即可求解．
【解答】解：令F（x）＝f（x）﹣2x﹣1，
则F'（x）＝f'（x）﹣2，
∵f（x）的导函数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2，
∴F'（x）＝f'（x）﹣2＜0恒成立，
∴F（x）是R上的减函数，
又F（1）＝f（1）﹣2﹣1＝0，
∴当x＞1时，F（x）＜F（1）＝0，即f（x）﹣2x﹣1＜0，
故不等式f（x）＜2x+1的解集为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
16．（4分）若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则a的值为　3　．
【分析】本题由题意推导出f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0，f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x＞a3，f（x）在（0，a3）上递减，在（a3，+∞）递增，由f（x）只有一个零点，解得a＝3．
【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，
∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），
①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1，
f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；
②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x＞a3，
∴f（x）在（0，a3）上递减，在（a3，+∞）递增，
又f（x）只有一个零点，
∴f（a3）=-a327+1＝0，解得a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，属中档题．
17．（4分）关于曲线C：1x2+1y2=1，有如下结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线x±y＝0对称；
③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；
④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝2无公共点；
⑤曲线C与曲线D：|x|+|y|＝22有4个公共点，这4点构成正方形．
其中正确结论的个数是 　4　．
【分析】直接利用曲线的性质，对称性的应用和直线与曲线的位置关系和曲线间的位置关系的应用判断①②③④⑤的结论．
【解答】解：对于①，将方程中的x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，曲线C关于原点对称，故①正确；
对于②，将方程中的x换为﹣y，把y换成﹣x，方程不变，曲线C关于直线x±y＝0对称，故②正确；
对于③，由方程得x2＞1，y2＞1，故曲线C不是封闭图形，故③错误；
对于④，曲线C：1x2+1y2=1，不是封闭图形，由于1x2+1y2=1x2+y2=2无解，故④正确；
对于⑤，曲线C与曲线D：由于1x2+1y2=1|x|+|y|=1x＞0，y＞0，解得x=2y=2，根据对称性，故有四个交点，这4点构成正方形，故⑤正确．
故答案为：4．
【点评】本题考查的知识要点：曲线方程的性质，对称性，直线和曲线的位置关系，方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18．（4分）若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y＝kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”，已知函数f（x）＝x2（x∈R），g（x）=1x（x＜0），h（x）＝2elnx，有下列命题：
①F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈(-132，0)内单调递增；
②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；
③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；•
④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y＝2ex﹣e．
其中真命题为　①②④　（请填所有正确命题的序号）
【分析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的导数，检验在x∈（-132，0）内的导数符号，即可判断；
②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y＝kx+b，x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，又1x≤kx+b对一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根据不等式的性质，求出k，b的范围，即可判断②③；
④存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值
【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2-1x，∴x∈（-132，0），F′（x）＝2x+1x2＞0，
∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（-132，0）内单调递增，故①对；
②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y＝kx+b，则x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，
又1x≤kx+b对一切x＜0成立，则kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，
即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k⇒﹣4≤k≤0，同理⇒﹣4≤b≤0，故②对，③错；
④函数f（x）和h（x）的图象在x=e处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，
那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e＝k（x-e），即y＝kx﹣ke+e，
由f（x）≥kx﹣ke+e（x∈R），可得x2﹣kx+ke-e≥0当x∈R恒成立，
则△≤0，只有k＝2e，此时直线方程为：y＝2ex﹣e，
下面证明h（x）≤2ex﹣e，令G（x）＝2ex﹣e﹣h（x）＝2ex﹣e﹣2elnx，
G′（x）=2e(x-e)x，
当x=e时，G′（x）＝0，当0＜x＜e时，G′（x）＜0，当x＞e时，G′（x）＞0，
则当x=e时，G（x）取到极小值，极小值是0，也是最小值．
所以G（x）＝2ex﹣e﹣g（x）≥0，则g（x）≤2ex﹣e当x＞0时恒成立．
∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y＝2ex﹣e，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，属于难题
三、解答题（19题12分，20题12分，21题14分，共38分）
19．（12分）已知抛物线E：y2＝8x．
（1）求抛物线的焦点及准线方程；
（2）过点P（﹣1，1）的直线l1与抛物线E只有一个公共点，求直线l1的方程；
（3）过点M（2，3）的直线l2与抛物线E交于点A，B．若弦AB的中点为M，求直线l2的方程．
【分析】（1）根据抛物线的方程与几何性质，得解；
（2）分直线l1的斜率为0和不为0两种情况，根据直线与抛物线只有一个公共点，由直线与x轴平行或Δ＝0，得解；
（3）利用点差法求出直线l2的斜率后，即可得解．
【解答】解：（1）由题意知，p＝4，
所以焦点为（2，0），准线方程为x＝﹣2．
（2）当直线l1的斜率为0时，y＝1；
当直线l1的斜率不为0时，设其方程为x+1＝m（y﹣1），
联立x+1=m(y-1)y2=8x，得y2﹣8my+8m+8＝0，
因为直线l1与抛物线E只有一个公共点，
所以Δ＝64m2﹣4（8m+8）＝0，解得m＝1或-12，
所以直线l1的方程为x﹣y+2＝0或2x+y+1＝0，
综上所述，直线l1的方程为y＝1或x﹣y+2＝0或2x+y+1＝0．
（3）由题意知，直线l2的斜率一定存在，设其斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），
则有y12=8x1，y22=8x2，
两式作差得，y12-y22=8（x1﹣x2），即k=y1-y2x1-x2=8y1+y2=82×3=43，
所以直线l2的方程为y﹣3=43（x﹣2），即4x﹣3y+1＝0．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的几何性质，熟练掌握点差法，直线与抛物线相切的位置关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小．
【分析】（Ⅰ）由题意得ca=12，a-c=1，求出a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，验证FP→⋅FQ→=0，即∠PFQ＝90°．当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．联立y=k(x-1)，3x2+4y2=12，得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合直线MA的方程为y=y1x1-2(x-2)．
求出P(4，2y1x1-2)．Q(4，2y2x2-2)．利用向量的数量积，转化求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得ca=12，a-c=1，
解得a＝2，c＝1，
从而b=a2-c2=3，
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，有M(1，32)，N(1，-32)，P（4，﹣3），Q（4，3），F（1，0），
则FP→=(3，-3)，FQ→=(3，3)，故FP→⋅FQ→=0，即∠PFQ＝90°．
当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．
联立y=k(x-1)，3x2+4y2=12，得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．
由题意，知Δ＞0恒成立，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3．
直线MA的方程为y=y1x1-2(x-2)．
令x＝4，得yP=2y1x1-2，即P(4，2y1x1-2)．
同理可得Q(4，2y2x2-2)．
所以FP→=(3，2y1x1-2)，FQ→=(3，2y2x2-2)．
因为FP→⋅FQ→=9+4y1y2(x1-2)(x2-2)=9+4k2(x1-1)(x2-1)(x1-2)(x2-2)=9+4k2[x1x2-(x1+x2)+1]x1x2-2(x1+x2)+4
=9+4k2(4k2-124k2+3-8k24k2+3+1)4k2-124k2+3-16k24k2+3+4=9+4k2[(4k2-12)-8k2+(4k2+3)](4k2-12)-16k2+4(4k2+3)=0，所以∠PFQ＝90°．
综上，∠PFQ＝90°．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
21．（14分）已知函数f（x）=2x+a2x+alnx，实数a＞0．
（1）当a＝2时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）在区间（0，10）上的单调性和极值情况；
（3）若存在x∈（0，+∞），使得关于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求得a＝2时，f（x）的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程；
（2）求得f（x）的导数，讨论a＞110时，0＜a≤110时，f（x）的单调性，计算可得所求极值；
（3）由题意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式2x+alnx﹣2＜0成立，令g（x）=2x+alnx﹣2，x＞0，求得导数和单调性、极值和最值，考虑最值小于0，再构造函数h（x），求得导数和单调性、最值，可得所求取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝2时，f（x）=2x+4x+2lnx，
导数为f′（x）=-2x2+4+2x，
可得f（x）在x＝1处的切线的斜率为4，又f（1）＝6，
所以f（x）在x＝1处的切线的方程为y﹣6＝4（x﹣1），即4x﹣y+2＝0；
（2）f（x）的导数为f′（x）=-2x2+a2+ax=(ax+2)(ax-1)x2，x＞0，
令f′（x）＝0，可得x=1a（-2a舍去），
①当0＜1a＜10，即a＞110时，当0＜x＜1a时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当1a＜x＜10时，f′（x）＞0，f（x）递增．
所以f（x）在（0，1a）上递减，在（1a，10）上递增，
f（x）在x=1a处取得极小值f（1a）＝3a﹣alna，无极大值；
②当1a≥10即0＜a≤110时，f′（x）＜0，f（x）在（0，10）上递减，无极值．
综上可得，当a＞110时，f（x）在（0，1a）单调递减，在（1a，10）上单调递增，
f（x）在x=1a时取得极小值f（1a）＝3a﹣alna，无极大值．
当0＜a≤110时，f（x）在区间（0，10）上递减，无极值；
（3）存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＜2+a2x成立
等价为存在x∈（0，+∞），使得不等式2x+alnx﹣2＜0成立．
令g（x）=2x+alnx﹣2，x＞0，g′（x）=-2x2+ax=ax-2x2，
因为a＞0，可得当0＜x＜2a时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞2a时，g′（x）＞0，g（x）递增，
所以当x=2a时，g（x）取得极小值，且为最小值g（2a）＝a+aln2﹣alna﹣2，
由题意可得a+aln2﹣alna﹣2＜0，
令h（x）＝x+xln2﹣xlnx﹣2，h′（x）＝ln2﹣lnx，
令h′（x）＝0，可得x＝2，
当x∈（0，2）时，h′（x）＞0，h（x）递增；
当x∈（2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减．
所以当x＝2时，h（x）取得极大值，且为最大值h（2）＝0．
所以满足a+aln2﹣alna﹣2＜0的实数a的取值范围是（0，2）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，以及不等式有解的条件，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．